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title: "Black-Scholes-Merton-Modell: Kontrakt, Daten, implizite Volatilität und Greeks"
description: "Wenden Sie das Black-Scholes-Merton-Modell erst an, nachdem Optionsanspruch, Bewertungszeitachse, Abzinsung, Dividenden, Volatilitätsquote, Erfüllung und Einheiten der Greeks abgestimmt sind."
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# Black-Scholes-Merton-Modell: Kontrakt, Daten, implizite Volatilität und Greeks
> Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.
## Direkte Antwort
Das **Black-Scholes-Merton-Modell** ist ein arbitragefreier Rahmen, keine rechtlich bindende Quote und keine Prognose des Basiswerts. Seine bekannte geschlossene Lösung bewertet eine europäische Standardoption unter bestimmten Annahmen zu Diffusion, Finanzierung, Dividenden, Handel und Marktstetigkeit. Vor der Anwendung sind Serie, Ausübungsrecht, Liefergegenstand, Multiplikator, offizieller Abrechnungswert und Währung festzulegen: Eine amerikanische Aktienoption mit physischer Lieferung und eine europäische, bar abgerechnete Indexoption sind unterschiedliche Ansprüche, auch wenn Bildschirm-Strike und Verfall übereinstimmen.
Für Kassapreis `S₀`, Strike `K`, Laufzeit in Jahren `T`, stetig verzinsten Nullkuponzins `r`, stetige proportionale Dividendenrendite `q` und annualisierte Volatilität `σ` lauten die europäischen Formeln `C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)` und `P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)`, wobei `d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)`, `d₂ = d₁ − σ√T`, und `N(x)` die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Bei abgestimmten Eingaben gilt `C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)`.
Das Modell wird auch invertiert: Die **implizite Volatilität** ist jene `σ`, mit der ein gewähltes Modell einen gewählten Preis reproduziert. Sie hängt von Kontrakt, Zeitpunkt, Basiswertdaten, Kurve, Dividenden, Quoteseite, numerischem Verfahren und Modell ab. Preis, implizite Volatilität und Greek sind Modellergebnisse mit Konventionen und Einheiten; keines davon ist allein ein ausführbarer Handel, eine physische Wahrscheinlichkeit oder eine Absicherungsgarantie.
## Siebenstufiger Prozess für Kontrakt, Daten, Bewertung und Kontrolle
1. **Anspruch vor der Formel klassifizieren.** Erfassen Sie Emittenten- oder Clearinganspruch, Basiswert, Optionstyp, Strike, Verfall, letzten Handel, Ausübungsart, offizielle Abrechnung, Bar- oder physische Erfüllung, Multiplikator, Liefergegenstand, Währung und Anpassungen. Die geschlossene Lösung gilt für einen europäischen Vanilla-Payoff; amerikanische vorzeitige Ausübung, angepasste Liefergegenstände, Barrieren und Pfadabhängigkeit erfordern ein passendes Modell.
2. **Bewertungsuhr und Einheiten fixieren.** Legen Sie Bewertungszeit `t₀`, Verfalls- oder Abrechnungszeit, Zeitzone, Geschäftstagskalender und Jahresbruch `T` fest; unterscheiden Sie letzten Handel, Ausübungsfrist und offizielle Feststellung. Kennzeichnen Sie Prämien und Greeks je Basiseinheit, Quotepunkt, Kontrakt oder Gesamtposition.
3. **Synchronisierte Marktdaten aufbauen.** Verwenden Sie zeitgleichen Spot oder Forward, Strike, laufzeitgerechten Diskontfaktor `D(0,T)`, datierte Dividenden oder begründete stetige Rendite, Wertpapierleihe, Finanzierung sowie Bid, Ask und Größe. Eine Treasury-CMT-Rendite ist eine Parrendite und nicht automatisch der stetige Nullkuponzins `r`; erstellen Sie eine konsistente Diskontkurve.
4. **Grenzen und passende Parität prüfen.** Testen Sie im europäischen Fall mit stetiger Dividende `max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT)` und `max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT)`. Vergleichen Sie nur Ansprüche mit gleicher Ausübung, Strike, Laufzeit, Lieferung und Abrechnung. Bei bekannten deterministischen Bardividenden sind deren diskontierte Cashflows und die entsprechende Parität zu verwenden.
5. **Modell ausdrücklich auswählen und rechnen.** Black-Scholes-Merton unterstellt stetige Diffusion, konstante Volatilität und Zinsen, friktionslosen kontinuierlichen Handel, keine Sprünge sowie ausreichende Finanzierung, Leihe, Leerverkäufe und Replikation. Binomialbaum oder andere numerische Verfahren können amerikanische Ausübung und diskrete Ereignisse abbilden; stochastische oder lokale Volatilität und Sprünge adressieren andere Risiken, benötigen aber weitere Parameter.
6. **Preise sorgfältig in implizite Volatilität invertieren.** Untersuchen Sie Preise außerhalb der Modellgrenzen; lösen Sie Bid, Midpoint und Ask getrennt mit dokumentiertem Solver, Toleranzwert und Volatilitätsmaximum. Im Inneren ist eine endliche europäische Vanilla-IV meist eindeutig, weil der Wert mit `σ` steigt; am Rand kann die Lösung null, unendlich oder nicht endlich sein. Prüfen Sie Flächen auf veraltete Quotes und Kalender- oder Butterfly-Arbitrage.
7. **Lokales Risiko berichten und mit dem Markt abstimmen.** Berechnen Sie Delta, Gamma, Vega, Theta und Rho mit Vorzeichen, Nenner und Zeitkonvention; sichern Sie Snapshot und Modellversion. Stressen Sie Sprünge, Dividenden, Skew, Laufzeitstruktur, Leihe, diskrete Absicherung, Kosten und Liquidität. Trennen Sie Modellwert, ausführbares Bid oder Ask, Ausführungen, offizielle Abrechnung und realisierten Cashflow und reproduzieren Sie wesentliche Rechnungen.
## Durchgerechnete Beispiele
- **Geschlossene Bewertung und Parität.** Es gelten `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%`, `q = 2.00%` und `σ = 20.00%`. Dann sind `d₁ = 0.250000`, `d₂ = 0.050000`, `N(d₁) = 0.598706326` und `N(d₂) = 0.519938806`. Der Call ist `C = $9.227006`, der Put `P = $6.330081`. Die Differenz `C − P = $2.896925` entspricht `$100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925`; dies sind Modellwerte je Einheit vor Multiplikator und Kosten.
- **Greeks benötigen Einheiten.** Bei gleichen Eingaben beträgt Call-Delta `0.586851`, Put-Delta `−0.393348` und gemeinsames Gamma `0.018951 delta per $1 underlying move`. Vega ist `37.901158 per 1.00 volatility`, entsprechend `$0.379012 per 1 volatility point`. Call-Theta ist `−$5.089319 per year` oder `−$0.013943 per calendar day` bei einfacher Anzeige `÷ 365`; Call-Rho ist `49.458109 per 1.00 decimal rate` oder `$0.494581 per 100 bp`. Diese lokalen Sensitivitäten ändern sich und sind noch mit Multiplikator und Positionsgröße zu multiplizieren.
- **Vom Marktpreis zum IV-Intervall.** Behalten Sie `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%` und `q = 2.00%` bei. Ein Callpreis von `$11.123762` impliziert `σ = 25.00%`, mit `d₁ = 0.245000` und `d₂ = −0.005000`. Bei `20.00%` und `30.00%` betragen die Modellwerte `$9.227006` und `$13.020281`. Aus der ausführbaren Quote `$10.90 bid / $11.35 ask` folgen `24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV`; nur eine Midpoint-IV verschweigt die Bandbreite.
- **Bekannte diskrete Dividende und Parität.** Gegeben seien `S₀ = $100`, `K = $95`, `T = 0.5`, stetiges `r = 4.00%` und eine Dividende von `$2` bei `t = 0.25`. Ihr Barwert ist `PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100`, und `PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874`. Die europäische Parität lautet `C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026`; ist `C = $8.20`, so ist `P = $3.298974`. Ein undokumentiertes stetiges `q` oder die Anwendung auf amerikanische Optionen verändert den Anspruch.
## Risiken und Validierungskontrollen
- Prüfen Sie Serie, Rechtsanspruch und Produktspezifikation vor der Modellierung.
- Bestätigen Sie amerikanische, europäische oder andere Ausübungsrechte; das Basiswertetikett genügt nicht.
- Unterscheiden Sie Barzahlung, physische Lieferung und angepassten Korb samt Multiplikator und Währung.
- Fixieren Sie offizielle Quelle, Zeitpunkt, Rundung, Korrekturen und Störungsregeln der Abrechnung.
- Synchronisieren Sie Spot, Option, Zins, Dividende und Leihe auf einen vertretbaren Zeitpunkt.
- Trennen Sie letzten Handel, Verfall, Ausübungsfrist und Abrechnung bei der Berechnung von `T`.
- Verwenden Sie konsistente Kalender, Zinstage, Annualisierung und Zinskonventionen.
- Ersetzen Sie Nullkuponzins oder Diskontfaktor nicht mechanisch durch eine Treasury-Parrendite.
- Modellieren Sie Dividendenbeträge und -termine; `q` kann frühe Ausübung und Ereignisse verdecken.
- Berücksichtigen Sie Leiheknappheit, Finanzierung, Sicherheiten und Leerverkaufsbeschränkungen.
- Prüfen Sie Grenzen und Parität nur bei gleichartigen Ansprüchen und synchronen Daten.
- Behandeln Sie veraltete, gekreuzte, gesperrte, einseitige oder größenlose Quotes als Warnsignal.
- Berichten Sie Bid- und Ask-IV bei wesentlichem Spread; der Midpoint ist nicht ausführbar.
- Erkennen Sie Solverfehler, Randlösungen, Toleranzsensitivität und willkürliche Obergrenzen.
- Prüfen Sie Inter- und Extrapolation auf Kalender-, Vertikalspread- und Butterfly-Arbitrage.
- Stressen Sie Sprünge, Ergebnisse, Ausschüttungen, Handelsstopps und Gaps.
- Stressen Sie stochastische Volatilität, Skew-Dynamik und Inputkorrelationen.
- Quantifizieren Sie diskretes Rebalancing, Latenz, Markteinfluss, Gebühren und fehlende Handelbarkeit.
- Kennzeichnen Sie Vorzeichen, Skala und Zeitkonvention jedes Greeks; extrapolieren Sie nicht zu weit.
- Trennen Sie Modellwert, ausführbaren Preis, Bilanz- oder Steuermaß, Abrechnung und realisierte GuV.
## Häufige Fehlannahmen
- **„Black-Scholes ist der rechtlich richtige oder ausführbare Preis.“** Regeln definieren den Anspruch und Märkte den Handel; das Modell liefert einen bedingten Referenzwert.
- **„`N(d₂)` ist die reale Wahrscheinlichkeit, im Geld zu verfallen.“** Es ist eine modellspezifische risikoneutrale Größe, keine physische Prognose.
- **„Implizite Volatilität wird direkt beobachtet und prognostiziert realisierte Volatilität.“** Sie wird modellabhängig abgeleitet und kann Prämien, Angebot, Nachfrage und Datenfehler enthalten.
- **„Eine Volatilität und ein Satz Greeks gelten für alle Strikes und Laufzeiten.“** Märkte zeigen Flächen, und lokale Sensitivitäten ändern sich.
- **„Kontinuierliche Delta-Absicherung beseitigt das Risiko.“** Sprünge, diskreter Handel, Liquidität, Kosten, frühe Ausübung, Dividenden- und Modellfehler bleiben.
## Verwandte Themen
- [Implizite Volatilität](/de/options/implied-volatility/)
- [Binomiale Optionsbewertung](/de/options/binomial-option-pricing/)
- [Amerikanische und europäische Optionen](/de/options/american-and-european/)
## Maßgebliche Quellen
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - ursprünglicher Black-Scholes-Rahmen für stetige Options- und Unternehmensbewertung.
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - Mertons Entwicklung zu Arbitragefreiheit, Annahmen und Bewertungsergebnissen.
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - diskretes Cox-Ross-Rubinstein-Modell und Konvergenz für Ausübung und Ereignisse.
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - Erweiterung um stochastische Volatilität und Modellrisiko jenseits konstantem `σ`.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - Rechte, Ausübung, Zuteilung, Abrechnung und Risiken standardisierter Optionen.
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - produktspezifischer Beleg für Ausübung, Abrechnung, Multiplikator und Zeitplan.
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - Methodik der Treasury-Parzinskurve; ein Parpunkt ist nicht automatisch Nullkuponzins.
- [Search Filings](https://www.sec.gov/search-filings) - Portal zum Auffinden von Filings und Supplements; materielle Bedingungen sind dem konkreten Filing zu entnehmen.
Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/black-scholes-model/index.mdx