--- title: "Charm, Vanna und Vomma: Vorzeichen, Einheiten und vollständige Neubewertung" description: "Misst die zeitbedingte Veränderung von Delta, die Wechselwirkung zwischen Delta und Volatilität sowie die Krümmung von Vega mit eindeutigen Zeitkonventionen, Volatilitätseinheiten, Finite-Differenzen-Kontrollen, Positionsskalierung und Modellgrenzen." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Charm, Vanna und Vomma: Vorzeichen, Einheiten und vollständige Neubewertung > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Kurzantwort **Charm, Vanna und Vomma** sind lokale Ableitungen einer festgelegten Optionspreisfunktion, keine Prognosen oder vertraglichen Auszahlungen. Charm misst die Reaktion von Delta auf den Zeitablauf, Vanna die Wechselwirkung zwischen Spotpreis und Volatilität und Vomma, häufig auch Volga genannt, die Reaktion von Vega auf die Volatilität. Eine Kennzahl ist erst aussagekräftig, wenn Zeitrichtung, Volatilitätsskala, Modellkoordinaten, Positionsvorzeichen, Stückzahl und Multiplikator bekannt sind. Für den Wert `V(S,σ,τ,...)` gelten `Delta=∂V/∂S` und das unskalierte Vega `Vega_raw=∂V/∂σ`, wobei die Volatilität `σ` als Dezimalzahl angegeben wird und `τ` die Restlaufzeit bezeichnet. Bei hinreichender Glattheit und einheitlichen Koordinaten gilt `Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S`, während `Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ` gilt. Die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen bedeutet nicht, dass ein tatsächlicher Schock der Marktoberfläche mit einem Modell-Bump identisch ist. Zeit- und Anzeigeeinheiten sind die größten Fehlerquellen. Mit `τ=T−t` ist `Charm_τ=∂Delta/∂τ`; bezogen auf die Kalenderzeit lautet Charm dagegen `Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ`. Der lokale Effekt eines ACT/365-Tages bei ansonsten unveränderten Eingaben beträgt `−Charm_τ/365`. Eine Veränderung der Volatilität um einen Prozentpunkt entspricht `0.01` in Dezimalschreibweise, daher gelten `Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw` und `Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw`. Wer unskalierte und angezeigte Werte vermischt, erzeugt Faktoren von `100` oder `10,000`. ## Siebenstufiger Kontrollprozess für Greeks 1. **Anspruch und Modellzustand festschreiben.** Erfassen Sie Bewertungszeitpunkt, genaue Optionsserie, Long- oder Short-Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator, Spot- oder Terminpreis, Zinssätze, Dividenden, Leihkosten, Volatilitätsoberfläche, Restlaufzeit, Ausübungsart, Erfüllung und Modellversion. 2. **Elementare Ableitungen und Koordinaten angeben.** Nennen Sie `Delta`, `Vega_raw`, `Vanna_raw` und `Vomma_raw`; unterscheiden Sie Spot- von Forward-Delta, prämienbereinigte von unbereinigten Größen und geben Sie an, ob die Oberfläche nach Ausübungspreis, Delta oder einer anderen Koordinate konstant gehalten wird. 3. **Zeitkonvention und Vorzeichen von Charm festlegen.** Unterscheiden Sie Kalenderzeit `t` und Restlaufzeit `τ`, nennen Sie `Charm_t` oder `Charm_τ` und geben Sie an, ob der Wert pro Jahr, nach ACT/365, ACT/252 oder bereits täglich ausgewiesen wird. Ein bereits täglicher Anbieterwert darf nicht nochmals durch die Tageszahl geteilt werden. 4. **Volatilitäts- und Krümmungseinheiten festlegen.** Unterscheiden Sie Dezimalvolatilität und Volatilitätspunkte, unskaliertes und angezeigtes Vega, einen parallelen skalaren Bump und einen Bump nach Strike-Skew oder Delta-Oberfläche; dokumentieren Sie die Umrechnung für Vanna und Vomma. 5. **Mit finiten Differenzen validieren.** Verwenden Sie soweit möglich zentrale Differenzen, vergleichen Sie Vanna über Delta-gegen-Volatilität und Vega-gegen-Spotpreis, vergleichen Sie Vomma anhand der Vega-Steigung und Preiskrümmung und wiederholen Sie die Rechnung mit kleineren Bumps, um Trunkations- oder Auslöschungsfehler sichtbar zu machen. 6. **Aggregieren und vollständig neu bewerten.** Normalisieren Sie zunächst jede Serie und multiplizieren Sie anschließend mit vorzeichenbehafteter Stückzahl und Multiplikator. Lokale Werte für Delta, Gamma, Charm, Vanna und Vomma dienen nur der Attribution; als Kontrolle sind vollständige Szenarien für Spotpreis, Zeit, Volatilität, Skew, Laufzeitstruktur, Zinsen, Dividenden, Leihkosten und kombinierte Schocks zu rechnen. 7. **Modell und Ausführung abstimmen.** Vergleichen Sie Anbieterversionen und Bump-Konventionen, ausführbare Geld- und Briefkurse, diskrete Absicherungsmengen, Liquidität, Gebühren und tatsächliche Ausführungen. Speichern Sie Greeks vor und nach dem Schock, statt eine Midpoint-Sensitivität als garantierte Absicherung zu behandeln. ## Durchgerechnete Beispiele - **Zeitkonvention und Vorzeichen von Charm.** In einem Black-Scholes-Beispiel mit stetiger Dividendenrendite seien `S=100`, `K=100`, `r=5%`, `q=2%`, `σ=20%` und `τ=0.5`. Dann sind `d1=0.1767766953`, `d2=0.0353553391` und das Call-Delta `0.5644849345`. Hier gilt `Charm_τ=+0.0574497873 per year`; die lokale kalenderzeitliche Veränderung für einen ACT/365-Tag beträgt somit `−0.0574497873/365=−0.0001573967`. Die vollständige Neubewertung bei `τ=0.5−1/365=0.4972602740` ergibt ein Delta von `0.5643272616` und eine exakte Eintagesänderung von `−0.0001576729`. Bei einem Multiplikator von `100` sinkt das richtungsbezogene Äquivalent von `56.4485` auf `56.4327 shares`, also um `−0.0158 share`; das endliche Ergebnis entspricht nicht exakt der Ableitungsschätzung. - **Zentrale Differenz und Skalierung von Vanna.** Bei denselben Eingaben beträgt das Call-Delta `0.5652807208` für `σ=19%` und `0.5638956602` für `σ=21%`. Die zentrale Schätzung lautet `(0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility` beziehungsweise `−0.0006925303 Delta per vol point`. Der analytische lokale Wert bei `20%` ist `Vanna_raw=−0.0687394860`, entsprechend `−0.0006873949 per vol point`. Ein Long-Kontrakt mit Multiplikator `100` verändert sich bei einem Anstieg der impliziten Volatilität um einen Punkt daher um etwa `−0.0687395 delta-equivalent share`, noch vor Oberflächenrekalibrierung und höheren Ordnungen. - **Vomma aus der Vega-Steigung.** Für einen Black-Scholes-Call mit `S=100`, `K=120`, `r=4%`, `q=1%`, `σ=25%` und `τ=1` beträgt das unskalierte Vega `35.1268247986`, das angezeigte Vega also `0.3512682480 price per vol point`. Das analytische `Vomma_raw=49.9650569089` entspricht `0.0049965057 price per vol-point²`. Das angezeigte Vega beträgt `0.3459770760` bei `24%` und `0.3559948122` bei `26%`; die zentrale Schätzung lautet somit `(0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point²`. Die Abweichung vom analytischen Wert ist ein Fehler des endlichen Bumps und kein neues Greek. - **Lokale Krümmung gegenüber vollständiger Neubewertung.** Im vorstehenden Beispiel mit `K=120` steigt der Modellpreis von `4.4188911173` bei `25%` impliziter Volatilität auf `6.2276105891` bei `30%`. Das entspricht exakt `+1.8087194718 per share` oder `+$180.8719472` bei einem Multiplikator von `100`. Vega allein schätzt `0.3512682480×5=1.7563412399`. Unter Einbeziehung von Vomma ergibt sich `1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611` beziehungsweise `+$181.8797561` je Kontrakt, noch immer `+$1.0078089` mehr als die vollständige Neubewertung. Die Attribution zweiter Ordnung verbessert eine lokale Näherung, ersetzt aber keinen erneuten Modelllauf. ## Risiken und Validierungskontrollen - Prüfen Sie die genaue Optionsserie, den Anspruch und den Bewertungszeitpunkt. - Dokumentieren Sie Modellfamilie, Kalibrierung und Implementierungsversion. - Unterscheiden Sie Spot-, Forward- und prämienbereinigte Delta-Koordinaten. - Speichern Sie die vollständige Volatilitätsoberfläche samt Interpolation. - Geben Sie Sticky-Strike, Sticky-Delta oder eine andere Bump-Konvention an. - Bewahren Sie Annahmen zu Zinsen, Dividenden, Ausschüttungen und Leihkosten. - Modellieren Sie gegebenenfalls amerikanische Ausübung und vorzeitige Ausübungsgrenzen. - Behandeln Sie diskrete Dividenden getrennt von Formeln mit stetiger Rendite. - Unterscheiden Sie Barausgleich, physische Erfüllung und Folgeexposition nach Ausübung. - Legen Sie `t` gegenüber `τ` sowie die Vorzeichenkonvention von Charm fest. - Legen Sie ACT/365, ACT/252, Handelstage oder eine bereits tägliche Skala fest. - Rechnen Sie zwischen Dezimalvolatilität und Volatilitätspunkten ohne Faktor-100-Fehler um. - Rechnen Sie unskaliertes Vega und Vomma ohne Faktor-10.000-Fehler um. - Wenden Sie Long- oder Short-Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator und Währung konsistent an. - Halten Sie Einheiten je Aktie, Punkt, Kontrakt und Portfolio getrennt. - Prüfen Sie Finite-Differenzen-Bumps auf Trunkation und Konvergenz. - Vermeiden Sie Bumps, bei denen Kurs- oder numerisches Rauschen dominiert. - Testen Sie Verfall, Sprünge, Ereignisse, Handelsunterbrechungen und nicht glatte Auszahlungen. - Saldieren Sie unterschiedliche Laufzeiten, Oberflächen, Modelle oder Erfüllungsansprüche nicht unbesehen. - Stimmen Sie Midpoint-Greeks mit ausführbaren Absicherungen, Gebühren und vollständiger Neubewertung ab. ## Häufige Irrtümer - **„Charm prognostiziert das Delta von morgen.“** Charm ist eine lokale Ableitung unter einer festgelegten Zeit- und Konstanthaltungsannahme. - **„Vanna ist immer positiv.“** Das Vorzeichen hängt von Anspruch, Moneyness, Zeit, Modell und Koordinatenkonvention ab. - **„Vomma ist Vega und immer positiv.“** Vomma ist die Krümmung von Vega; Vorzeichen und Höhe hängen von Modell und Zustand ab. - **„Anbieterwerte sind unmittelbar vergleichbar.“** Zeitkonventionen, Vorzeichen, Volatilitätseinheiten, Oberflächen, Modelle und Kontraktskalierungen können abweichen. - **„Greeks zweiter Ordnung machen eine vollständige Neubewertung überflüssig oder garantieren eine Absicherung.“** Endliche Schocks, Kreuzwirkungen, Sprünge, Liquidität und diskrete Kontrakte bleiben bestehen. ## Verwandte Themen - [Delta und Gamma](/de/options/delta-and-gamma/) - [Theta](/de/options/theta/) - [Vega](/de/options/vega/) ## Maßgebliche Quellen - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - Grundlage für lokale Ableitungen bei glatten europäischen Optionen mit konstanter Volatilität; keine universellen Greek-Bezeichnungen und keine allgemeine Abdeckung amerikanischer Ausübung, diskreter Dividenden, Smiles oder Sprünge. - [Option pricing: A simplified approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Diskreter Baum- und Konvergenzrahmen, der die Modellierung vorzeitiger Ausübung unterstützen kann; keine universelle Konvention für Greeks höherer Ordnung oder eine aktuelle Oberfläche. - [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - Belegt die Modellabhängigkeit von Sensitivitäten durch Volatilitätsdynamik, Korrelation und Vol-of-Vol; keine Garantie für die Richtigkeit einer bestimmten Kalibrierung. - [Vanna-Volga and the Greeks](https://doi.org/10.1002/wilm.10852) - Direkte Behandlung von Vanna und Volga in einem Vanna-Volga-Rahmen mit FX- und methodenspezifischen Grenzen; keine universellen Aktien- oder Charm-Konventionen. - [How to Calculate Options Prices and Their Greeks: Exploring the Black Scholes Model from Delta to Vega](https://www.wiley-vch.de/en/areas-interest/finance-economics-law/how-to-calculate-options-prices-and-their-greeks-978-1-119-01162-0) - Praxisorientierte Darstellung von Sensitivitäten erster und zweiter Ordnung; keine Börsenregel, ausführbare Quote oder universelle Anzeigeskala. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - Numerische Differentiation und symmetrische Interpolationskontrollen; kein Optionsmodell, keine Definition gemischter Ableitungen und keine kanonische Bump-Größe. - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - Vertrags-, Ausübungs-, Zuteilungs- und Risikogrenzen standardisierter Optionen; keine Formeln, Werte, Vorzeichen oder Einheiten für Greeks. - [Cboe Volatility Index](https://cdn.cboe.com/resources/vix/VIX_Methodology.pdf) - Offizielle quotenbasierte Methodik für implizite Volatilität mit Kontrollen für Strikes, Zeit und Filterung; keine Oberfläche einer Einzeloption, Definition eines Greeks zweiter Ordnung oder ausführbare Absicherung. Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/charm-vanna-vomma/index.mdx