--- title: "Delta und Gamma: lokale Richtung, Krümmung und Positionseinheiten" description: "Messen Sie lokale Richtung und Krümmung einer Option mit expliziten Modellkoordinaten, vorzeichenrichtigen Anzahlen, kompatiblen Multiplikatoren, Schätzungen zweiter Ordnung, Hedge-Einheiten, finiten Differenzen und vollständiger Neubewertung." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Delta und Gamma: lokale Richtung, Krümmung und Positionseinheiten > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Direkte Antwort Für einen Modellwert `V(S, t, σ, ...)` ist **Delta** die lokale erste Ableitung `Delta = ∂V / ∂S`, und **Gamma** ist die lokale Krümmung `Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S`. Delta schätzt die Wertänderung bei einer kleinen Bewegung um eine Einheit in der gewählten Basiswertkoordinate; Gamma schätzt, wie sich Delta verändert, wenn sich diese Koordinate bewegt. Beide sind mit einem Zeitstempel versehene Modellergebnisse, keine Prognosen, Wahrscheinlichkeiten, ausführbaren Kurse oder dauerhaften Hedge-Verhältnisse. Ihre Bedeutung hängt vom exakten Anspruch, Positionsvorzeichen, der Preiskoordinate, Volatilitätsfläche, Zeit, den Zinsen, Ausschüttungen, Leihkosten, dem Ausübungsmodell, der Abwicklung, Kurseinheit, dem Multiplikator und der Skalierung des Anbieters ab.
Gekrümmte Optionswertlinie mit einer Delta-Tangente und durch Gamma veränderten Steigungen Gekrümmte Optionswertlinie mit einer Delta-Tangente und durch Gamma veränderten Steigungen
Delta ist die lokale Tangente; Gamma ist die lokale Änderungsrate dieser Tangente.
## Vorzeichen- und einheitenkonsistentes Griechen-Register `q` sei die vorzeichenrichtige Zahl der Optionskontrakte, positiv bei Long- und negativ bei Short-Positionen; `M` der kompatible Prämienmultiplikator; `h` die vorzeichenrichtigen Basiswerteinheiten; `Delta_i` das Modell-Delta je Optionseinheit; und `Gamma_i` das Modell-Gamma je Optionseinheit und je Bewegung um eine Preiseinheit. Das Positions-Delta in basiswertäquivalenten Einheiten ist `Δ_pos = q × M × Delta_i + h`, das Positions-Gamma ist `Γ_pos = q × M × Gamma_i`. Eine Aktie hat ein Delta von `+1` je Long-Einheit und ein Gamma von `0`. 1. Schreiben Sie exakte Serie, Zeitstempel, Long- oder Short-Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator, Liefergegenstand, Kurswährung, Basiswertkoordinate, Ausübungsart, Abwicklung und Modellversion fest. Verrechnen Sie Griechen wirtschaftlich unterschiedlicher Ansprüche nicht bloß deshalb, weil deren Symbole ähnlich aussehen. 2. Deklarieren Sie Ableitungskoordinate und Skalierung. Unterscheiden Sie Spot-Delta von Forward-, Futures-, prämienbereinigtem oder Cash-Delta; unterscheiden Sie Gamma je `$1`, Indexpunkt, Futures-Punkt oder `1% spot move`; und erfassen Sie, ob der Anbieter bereits mit Kontraktzahl oder Multiplikator multipliziert hat. 3. Fixieren Sie den Modellzustand: Spot oder Forward, Zinsen, Dividenden, Leihkosten, Zeit bis zum exakten Verfall, Volatilitätsfläche, Sticky-Strike- oder Sticky-Delta-Schockregel, Behandlung diskreter Ereignisse und numerische Methode. Ein angezeigter Grieche ist ohne diesen Zustand nicht unabhängig reproduzierbar. 4. Berechnen Sie bei einer kleinen Bewegung `ΔS` die Taylor-Wertänderung je Einheit `ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²` und das lokal aktualisierte Delta `Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS`. Multiplizieren Sie die Preisschätzung mit dem vorzeichenrichtigen `q × M`; multiplizieren Sie einen bereits aggregierten Anbieterwert nicht erneut. 5. Validieren Sie analytische oder Anbieter-Griechen bei glatter Bewertungsfunktion mit zentrierten Störungen: `Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S)` und `Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S²`. Verkleinern und vergrößern Sie `h_S`, um Effekte von Abschneidung, Auslöschung, Gitter oder Flächenneukalibrierung offenzulegen. 6. Aggregieren Sie erst, nachdem jedes Bein auf dasselbe Basiswertäquivalent, dieselbe Preiseinheit, Währung, denselben Zeitstempel und dieselbe Vorzeichenkonvention normiert wurde. Fügen Sie dann Aktien- oder Futures-Hedge-Einheiten hinzu und testen Sie Spot, Zeit, Volatilität, Skew, Zinsen, Dividenden, Leihe, Sprünge und Ausübungsgrenzen. 7. Verwenden Sie für endliche Szenarien die vollständige Neubewertung als Kontrolle und für den Handel ausführbare Geld-Brief-Kurse. Stimmen Sie Ausführungen, Hedge-Anzahl, Gebühren, Leihe, Zuteilung, Abwicklung, Modellversion und Griechen nach dem Schock ab, statt eine lokale Taylor-Schätzung als realisiertes P&L zu behandeln. Bei gewöhnlichen Long Vanilla Calls und Puts in einem glatten europäischen Modell ist Gamma positiv; eine Short-Position kehrt das Positions-Gamma um. Dies ist keine allgemeingültige Aussage über digitale Auszahlungen, Barrieren, amerikanische Ausübungsgrenzen, angepasste Ansprüche, Portfolios oder Anbieterkonventionen. Nahe dem Verfall kann sich Gamma am Ausübungspreis konzentrieren und weit im oder aus dem Geld klein bleiben; Sprünge machen die stetige lokale Beschreibung unvollständig. ## Durchgerechnete Beispiele - **Lokale Preis- und Hedge-Schätzung eines Long Calls.** Ein Long Call hat den Wert `V_0 = $3.10`, `Delta_i = 0.42`, `Gamma_i = 0.06`, `q = +1` und `M = 100`. Bei `ΔS = +$1.50` beträgt der Delta-Term `0.42 × $1.50 = $0.6300` je Aktie und der Krümmungsterm `½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675`, also `ΔV_Taylor = $0.6975` je Aktie oder `+$69.75` je Kontrakt. Der geschätzte Wert beträgt `$3.7975`, und `Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51`. Das Positions-Delta steigt von `+42 shares` auf ungefähr `+51 shares`; ein statischer Hedge mit 42 Short-Aktien ist nicht länger neutral. - **Short Gamma kehrt Positionsvorzeichen um.** Sechs Short Calls haben `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` und `Gamma_i = 0.04`. Das anfängliche Positions-Delta beträgt `−330 shares`, das Positions-Gamma `−24 shares per $1`. Bei `ΔS = +$2` verändert sich das geschätzte Positions-Delta um `−48 shares` auf `−378 shares`; das Options-P&L beträgt ungefähr `−6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708`. Bei `ΔS = −$2` ergibt dieselbe lokale Formel `+$612`. Ein Delta-neutraler Händler würde im Anstieg etwa 48 weitere Aktien kaufen oder im Rückgang etwa 48 verkaufen, vor Kosten und Modelländerungen. - **Portfolioaggregation umfasst Aktien und vorzeichenrichtige Optionsbeine.** Halten Sie vier Calls mit `Delta_i = 0.35`, `Gamma_i = 0.025`, verkaufen Sie drei Puts mit `Delta_i = −0.40`, `Gamma_i = 0.030`, verwenden Sie `M = 100` und halten Sie `200 shares` short. Das Options-Delta ist `+140 + 120 = +260 shares`; nach der Aktienposition beträgt das Netto-Delta `+60 shares`. Das Options-Gamma ist `+10 − 9 = +1 share per $1`. Bei `ΔS = +$5` steigt das lokale Netto-Delta auf ungefähr `+65 shares`. Die beiden Optionsbeine tragen `+$825.00` und `+$487.50` bei, die Aktien dagegen `−$1,000`; daraus ergibt sich eine Portfolio-Schätzung zweiter Ordnung von `+$312.50` vor Gebühren, Leihe, impliziter Volatilität und Zeitablauf. - **Lokale Taylor-Zuordnung gegenüber vollständiger Neubewertung.** Für einen europäischen Call mit `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, stetiger Rendite `y = 1%`, `σ = 25%` und `τ = 0.5` liefert eine Black-Scholes-Referenz `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` und `Gamma_i = 0.0221205770`. Bei `ΔS = +5` beträgt die Schätzung zweiter Ordnung `0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980` je Aktie. Die vollständige Neubewertung bei unveränderter impliziter Volatilität ergibt `V_1 = 10.8172471731`, eine Änderung von `3.0956949428`; somit weicht die lokale Schätzung um `0.0104738552` oder ungefähr `$1.047386` je 100er-Multiplikator ab. Steigt die implizite Volatilität ebenfalls auf `30%`, beträgt der vollständige Wert `12.1628459929`; die Gesamtänderung `4.4412937626` lässt sich nicht allein dem ursprünglichen Delta und Gamma zuordnen. ## Risiken und Kontrollen - Eine falsche Serie, ein falsches Kürzel, Verfalldatum, falscher Ausübungspreis, Optionstyp oder Liefergegenstand machen die Griechen-Abbildung ungültig. - Wird das Long- oder Short-Vorzeichen ausgelassen, kehren sich Positions-Delta, Gamma, Hedge-Richtung und P&L-Zuordnung um. - Kontraktzahl und Prämienmultiplikator können doppelt gezählt oder ausgelassen werden. - Angepasste Kontrakte und Futures-Optionen können andere Einheiten als gewöhnliche Aktien verwenden. - Spot-, Forward-, Futures-, prämienbereinigtes und Cash-Delta sind nicht austauschbar. - Gamma je Preiseinheit unterscheidet sich von einem auf `1% spot move` skalierten Gamma oder Cash-Gamma. - Währung und Devisenumrechnung können scheinbar vergleichbare Griechen inkonsistent machen. - Unterschiedliche Zeitstempel oder veraltete Basiswert- und Optionskurse erzeugen falsche Verrechnungen. - Mittelpunkt- oder Modell-Griechen garantieren keine ausführbaren Options- oder Hedge-Preise. - Volatilitätsfläche, Sticky-Regel, Skew und Laufzeitstruktur verändern beide Griechen. - Annahmen zu Zinsen, Dividenden, Leihe und Finanzierung beeinflussen Modellwerte und Hedges. - Amerikanische Ausübung und diskrete Dividenden schaffen Grenzen, die einer glatten europäischen Formel fehlen. - Barabrechnung, physische Lieferung und Bestand nach Ausübung erzeugen unterschiedliche operative Risiken. - Nichtglattheit nahe dem Verfall kann Gamma am Ausübungspreis groß, instabil oder gitterabhängig machen. - Große Bewegungen machen eine Extrapolation mit festem Delta und Gamma ungültig. - Sprünge, Handelsunterbrechungen und Kurslücken umgehen Annahmen stetiger Neugewichtung. - Zu große Störungen bei finiten Differenzen erzeugen Abschneidefehler; winzige Störungen erzeugen Auslöschungsrauschen. - Die Verrechnung unterschiedlicher Verfälle, Flächen, Modelle, Währungen oder Abwicklungsarten kann Basisrisiken verbergen. - Diskrete Hedge-Größe, Geld-Brief-Spanne, Gebühren, Markteinfluss, Aktienleihe und Liquidität verändern realisierte Ergebnisse. - Unterschiede bei Modell, Anbieter, Rundung, Zuteilung, Abwicklung und Brokeraufzeichnungen erfordern eine abschließende Abstimmung. ## Häufige Irrtümer - „Delta ist eine universelle Wahrscheinlichkeit.“ Es ist eine lokale Ableitung; Wahrscheinlichkeitsinterpretationen erfordern bestimmte Modelle, Numeraire und Konventionen. - „Delta bleibt konstant.“ Gamma und jede veränderliche Modelleingabe verändern es. - „Ein Delta-neutrales Portfolio ist risikolos.“ Gamma-, Vega-, Theta-, Sprung-, Basis-, Liquiditäts-, Ausführungs- und Modellrisiken bleiben bestehen. - „Gamma prognostiziert unmittelbar die Preisänderung.“ Es geht über `½ × Gamma_i × (ΔS)²` in die lokale Preisentwicklung ein und verändert sich während der Bewegung. - „Präzise Griechen machen eine vollständige Neubewertung überflüssig.“ Lokale Ableitungen helfen bei der Zuordnung; endliche Szenarien, Ausführung und Lebenszyklusereignisse erfordern weiterhin vollständige Bewertung und Abstimmung. ## Verwandte Themen - [Charm, Vanna und Vomma](/de/options/charm-vanna-vomma/) - [Delta-Gamma-Näherung](/de/options/delta-gamma-approximation/) - [Delta-neutrale Positionen](/de/options/delta-neutral/) ## Maßgebliche Quellen - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - Oxford University Press - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/delta-and-gamma/index.mdx