--- title: "Delta-Gamma-Näherung: lokales P&L, Einheiten und Neubewertung" description: "Schätzen Sie lokale Wertänderungen von Optionen und Portfolios mit vorzeichenrichtigem Delta, Gamma, Cross-Gamma, kompatiblen Einheiten, Prüfungen mit finiten Differenzen und vollständiger Neubewertung." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Delta-Gamma-Näherung: lokales P&L, Einheiten und Neubewertung > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Direkte Antwort Für einen Modellwert `V_i(S, x)` bei festem Zeitstempel und Modellzustand lautet die einfaktorielle **Delta-Gamma-Näherung** `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²`. Dabei sind `Delta_i = ∂V_i / ∂S`, `Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²`, und `ΔS` ist eine absolute Bewegung in derselben Basiswert-Preiskoordinate, auf die sich die Ableitungen beziehen. Die Formel ist eine lokale Taylor-Schätzung zweiter Ordnung der Modellwertänderung. Sie ist weder Prognose noch Wahrscheinlichkeit, ausführbares P&L oder Ersatz für vollständige Neubewertung. Ihre Auslegung verlangt den exakten Anspruch, die vorzeichenrichtige Position, Multiplikator, Währung, Koordinate, Volatilitätsfläche, Zeit, Zinsen, Dividenden, Leihe, Ausübungsmodell, Abwicklung und Anbieterskalierung.
Optionswertkurve mit Delta-Tangente und einer Gamma-Krümmungskorrektur Optionswertkurve mit Delta-Tangente und einer Gamma-Krümmungskorrektur
Die Delta-Gamma-Schätzung ist lokal; eine vollständige Neubewertung kontrolliert das endliche Szenario.
## Vorzeichen- und einheitenkonsistentes Näherungsregister `q_i` sei die vorzeichenrichtige Zahl der Optionskontrakte, positiv bei Long- und negativ bei Short-Positionen; `M_i` der kompatible Prämienmultiplikator; und `h` die vorzeichenrichtigen Basiswerteinheiten. Für Ansprüche auf dieselbe kompatible Preiskoordinate ist das Positions-Delta `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`, das Positions-Gamma `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i` und die lokale Positionsschätzung `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²`. Eine Aktie trägt ein Delta von `+1` je Long-Einheit und Gamma `0` bei. 1. Schreiben Sie jede exakte Serie, Zeitstempel, Positionsvorzeichen, Anzahl, Multiplikator, Liefergegenstand, Währung, Ausübungsart, Abwicklungsmethode, Preiskoordinate und Modellversion fest. Ähnliche Symbole belegen keine kompatiblen Ansprüche. 2. Fixieren Sie Modellzustand und Schockkonvention: Spot oder Forward, Zinsen, Dividenden, Leihe, exakte Zeit bis Verfall, Volatilitätsfläche, Sticky-Strike- oder Sticky-Delta-Regel und Behandlung diskreter Ereignisse. Eine gleichzeitige Zeit- oder Volatilitätsänderung ist kein reines Spot-Delta-Gamma-Szenario. 3. Normieren Sie jedes Bein auf kompatible Griechen je Einheit. Unterscheiden Sie Spot-, Forward-, Futures-, prämienbereinigtes und Cash-Delta; Gamma je `$1`, Indexpunkt, Futures-Punkt oder `1% spot move`; sowie Anbieterwerte, die Anzahl oder Multiplikator bereits enthalten können. 4. Aggregieren Sie mit vorzeichenrichtigem `q_i × M_i` und fügen Sie erst danach den Basiswert-Hedge getrennt hinzu. Verrechnen Sie inkompatible Währungen, Koordinaten, Verfälle, Abwicklungsarten oder unabhängig kalibrierte Flächen nicht allein deshalb, weil ein Dashboard eine einzige Zahl zeigt. 5. Verwenden Sie für mehrere Risikofaktoren `x` die Gradienten- und Hesse-Form `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx`. In einer symmetrischen Hesse-Matrix wird das außerdiagonale Paar in der quadratischen Form zweimal gezählt; sein vereinfachter Beitrag lautet daher `Gamma_AB × ΔA × ΔB`, nicht null und nicht nochmals das Doppelte. 6. Validieren Sie Griechen glatter Modelle mit zentrierten Störungen: `Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` und `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²`. Variieren Sie `ε`, um Abschneidung, Auslöschung, Gitter- und Flächenneukalibrierungseffekte offenzulegen. 7. Bewerten Sie jedes Bein für endliche Szenarien vollständig neu und stimmen Sie den Residualbetrag ab. Ersetzen Sie beim Handel Modellmarken durch ausführbare Geld-Brief-Kurse und berücksichtigen Sie Ausführungen, Gebühren, Hedge-Slippage, Leihe, Dividenden, Zuteilung, Ausübung, Abwicklungszahlungen, Steuern und Griechen nach dem Schock. Das Hinzufügen von `Vega × ΔIV` oder `Theta × Δt` ist erst nach Definition der Volatilitäts- und Zeiteinheiten sowie der Richtung der Zeitableitung zulässig. Trotzdem können Vanna, Vomma, Charm, Skew-Umformung, Kreuzterme und höhere Ordnungen fehlen. Einen großen Schock aufzuteilen hilft nur, wenn der gesamte Zustand und die Griechen aktualisiert werden; es bleibt eine Näherung und kann pfadabhängig werden. ## Durchgerechnete Beispiele - **Ein Call gegenüber vollständiger Neubewertung.** Ein europäischer Call hat `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, eine stetige Rendite `y = 1%`, `σ = 25%` und `τ = 0.5`. Eine Black-Scholes-Referenz ergibt `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` und `Gamma_i = 0.0221205770`. Bei `ΔS = +5` ist der Delta-Term `2.8296615855`, der Gamma-Term `0.2765072125` und die Schätzung `ΔV_DG = 3.1061687980`; der geschätzte Wert ist somit `10.8277210283`. Die vollständige Neubewertung bei gleicher impliziter Volatilität ergibt `V_1 = 10.8172471731`, eine Änderung von `3.0956949428` und einen Residualbetrag `full − DG = −0.0104738552` je Aktie oder `−$1.047386` je `M = 100`. Beträgt die implizite Volatilität am Endpunkt stattdessen `30%`, sind der vollständige Wert `12.1628459929` und die Gesamtänderung `4.4412937626`; die ursprüngliche reine Spot-Schätzung lässt `1.3351249646` an Zustandsänderung und Interaktion aus. - **Vorzeichenrichtige Short-Position.** Sechs Short Calls haben `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` und `Gamma_i = 0.04`; somit sind `D_pos = −330 shares` und `G_pos = −24 shares per $1`. Bei `ΔS = +2` betragen Delta- und Gamma-Term `−$660` und `−$48`, insgesamt `−$708`; das aktualisierte Delta liegt bei etwa `−378 shares`. Bei `ΔS = −2` sind es `+$660` und `−$48`, insgesamt `+$612`; das aktualisierte Delta liegt bei etwa `−282 shares`. Negatives Gamma macht den Krümmungsbeitrag in beiden Richtungen negativ, nicht das Gesamt-P&L symmetrisch. - **Optionen mit Aktien-Hedge.** Halten Sie vier Calls mit `Delta_i = 0.35` und `Gamma_i = 0.025`, verkaufen Sie drei Puts mit `Delta_i = −0.40` und `Gamma_i = 0.030`, verwenden Sie `M = 100` und halten Sie `200 shares` short. Das Options-Delta ist `+140 + 120 = +260 shares`; netto gilt `D_pos = +60 shares`. Das Gamma ist `+10 − 9 = +1 share per $1`. Bei `ΔS = +5` ist die Positionsschätzung `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`, das aktualisierte Delta etwa `+65 shares`. Die Beinzurechnung beträgt `+$825.00` aus den Calls, `+$487.50` aus den Puts und `−$1,000` aus den Aktien und stimmt sich auf `+$312.50` ab. - **Cross-Gamma mit zwei Faktoren.** Angenommen werden `ΔA = +2`, `ΔB = −3`, `Delta_A = 120`, `Delta_B = −80`, `Gamma_AA = 4`, `Gamma_BB = 2` und symmetrische `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5`, sämtlich bereits in kompatiblen Positions- und Währungseinheiten. Der lineare Term ist `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`; die diagonale Krümmung ist `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`; der vereinfachte Kreuzterm ist `1.5 × 2 × (−3) = −9`. Insgesamt ergeben sich `488`. Ohne Cross-Gamma ergeben sich `497`; wird der vereinfachte Kreuzterm nochmals mit zwei multipliziert, ergeben sich `479`. ## Risiken und Kontrollen - Falsche Serie, falsches Kürzel, Verfall, Ausübungspreis, Optionsart oder Liefergegenstand machen die Näherung ungültig. - Wird das Positionsvorzeichen ausgelassen, kehren sich Delta, Gamma, Hedge-Richtung und Zuordnung um. - Kontraktzahl und Prämienmultiplikator können doppelt gezählt oder ausgelassen werden. - Angepasste Kontrakte, Futures-Optionen und anbieteraggregierte Griechen können nicht standardisierte Einheiten verwenden. - Spot-, Forward-, Futures-, Logpreis-, prämienbereinigte und Cash-Koordinaten sind nicht austauschbar. - Ein absoluter Preisschock unterscheidet sich von einem Prozent- oder Standardabweichungsschock. - Währung und Devisenumrechnung können scheinbar vergleichbare Griechen inkonsistent machen. - Unterschiedliche Zeitstempel oder veraltete Basiswert-, Flächen- und Optionsmarken erzeugen falsche Verrechnungen. - Sticky-Strike-, Sticky-Delta-, Skew- und Laufzeitstrukturregeln verändern die gemessene Sensitivität. - Zinsen, Dividenden, Leihe, Finanzierung und exakte Verfallszeit beeinflussen Werte und Griechen. - Zeit- und Volatilitätsterme können bei unterschiedlichen Anbietereinheiten gegensätzliche Vorzeichen oder Faktoren von 100 haben. - Amerikanische Ausübung und diskrete Dividenden erzeugen Grenzen, die einer glatten europäischen Formel fehlen. - Digitale, Barrier- und andere unstetige Ansprüche können instabiles oder distributionsähnliches Gamma haben. - Nahe dem Verfall können Gamma und finite Differenzen stark vom Ausübungspreis und Gitter abhängen. - Große Schocks legen dritte und höhere Ordnungen offen, die feste Ausgangs-Griechen auslassen. - Sprünge, Kurslücken und Handelsunterbrechungen umgehen Annahmen stetiger lokaler Neugewichtung. - Cross-Gamma, Korrelation und Faktorzuordnung können in Multi-Asset-Portfolios fehlen oder doppelt gezählt werden. - Zu große Störungen finiter Differenzen erzeugen Abschneidefehler; winzige Störungen erzeugen Auslöschungsrauschen. - Modellmarken und Griechen garantieren keine ausführbaren Preise, Größen oder Hedge-Liquidität. - Dynamische Absicherung, Gebühren, Einfluss, Leihe, Zuteilung, Abwicklung, Modellversionen und Brokeraufzeichnungen erfordern eine abschließende Abstimmung. ## Häufige Irrtümer - „Der Gamma-Term ist `Gamma_i × (ΔS)²`.“ Der Taylor-Koeffizient ist `½`. - „Positives Gamma garantiert Gewinn in beiden Richtungen.“ Es verbessert den Wert lokal gegenüber der Tangente; Delta, Prämie, Zeit, Volatilität, Kosten und Pfad bleiben relevant. - „Delta-neutral bedeutet risikofrei.“ Es beseitigt einen aktuellen Term erster Ordnung, nicht Gamma, Vega, Theta, Sprung-, Basis-, Liquiditäts- oder Modellrisiko. - „Das Hinzufügen beliebiger angezeigter Vega- und Theta-Werte vervollständigt die P&L-Schätzung.“ Einheiten, Ableitungsrichtung, Kreuzsensitivitäten, Flächenänderungen und höhere Ordnungen müssen ebenfalls übereinstimmen. - „Präzise Griechen oder wiederholte kleine Schritte ersetzen die vollständige Neubewertung.“ Sie verbessern die Zuordnung, doch endliche Szenarien, Ausführung und Lebenszyklus verlangen weiterhin vollständige Bewertung und Abstimmung. ## Verwandte Themen - [Delta und Gamma](/de/options/delta-and-gamma/) - [Charm, Vanna und Vomma](/de/options/charm-vanna-vomma/) - [Delta-neutrale Positionen](/de/options/delta-neutral/) ## Maßgebliche Quellen - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/delta-gamma-approximation/index.mdx