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title: "Tauschoptionen: Margrabe-Bewertung und Relative-Value-Risiko"
description: "Bewerten Sie eine Tauschoption mit expliziten Mengen, Carry, Volatilität und Korrelation und steuern Sie Abrechnung, Ausführung und Kontrahentenrisiko."
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# Tauschoptionen: Margrabe-Bewertung und Relative-Value-Risiko

> Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

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## Direkte Antwort

Eine **Tauschoption** gibt dem Inhaber das Recht, nicht die Pflicht, eine festgelegte Menge eines Vermögenswerts abzugeben und eine festgelegte Menge eines anderen zu erhalten. Liefert der Anspruch `a` Einheiten von Vermögenswert 1 gegen `b` Einheiten von Vermögenswert 2 bei `T`, lautet sein Payoff in gemeinsamer Währung `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`. Tauschverhältnis, Vermögenswerte, Währung, Fixing und Liefergegenstand sind Vertragsdaten, kein später zu unterstellender Multiplikator.

Die Margrabe-Formel bewertet einen engen europäischen Anspruch ohne Bar-Strike unter gemeinsam lognormalen Vermögenswerten, deterministischem proportionalem Carry, konstanten Volatilitäten und Korrelation, kontinuierlichem Handel und reibungsloser Replikation. Sie ist eine Modellreferenz, kein ausführbarer Kurs, keine Hedge-Garantie, kein standardisierter Börsenvertrag und kein bilateraler Close-out-Betrag.

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## Anspruch und Modell aufbauen

1. Formulieren Sie Payoff, Mengen, gemeinsame Bewertungswährung, Ausübungsart, Fixing, Abrechnung und Kapitalmaßnahmenregeln. Verlassen Sie sich nicht auf die Bezeichnung „Tauschoption“.
2. Definieren Sie `X1 = a x S1` und `X2 = b x S2`. Fixieren Sie synchrone Spots, stetige Ausschüttungsrenditen `q1` und `q2`, annualisierte Volatilitäten `sigma1` und `sigma2`, Renditekorrelation `rho` und Jahresbruchteil `T`.
3. Berechnen Sie `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)`. Prüfen Sie Kovarianzen, Einheiten, Zeitstempel und positive Semidefinitheit.
4. Bewerten Sie mit `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`, wobei `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))` und `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`.
5. Bewerten Sie über beide Volatilitätsoberflächen, Korrelation, Carry, Sprünge und Liquidität neu. Niedrigere `rho` erhöht meist `sigmaR` und den Vanilla-Wert; historische Korrelation ist aber weder handelbarer Input noch vollständige gemeinsame Verteilung.
6. Ordnen Sie den Modellanspruch dem Instrument zu. Börsen-, FLEX- und bilaterale OTC-Verträge können bei Multiplikator, Ausübung, physischer oder barer Abrechnung, Fixing, Sicherheiten, Close-out, Netting, Streit und Kontrahent abweichen.
7. Erfassen Sie ausführbare Ein- und Ausstiegsseiten, Gebühren, Hedges, Finanzierung, Sicherheiten, Ausschüttungen, Abrechnungscash oder Bestand und Bewertungsresiduen. Stimmen Sie Vertrag und Kassenbuch ab; behandeln Sie den Modellwert nicht als realisierte GuV.

Das Fehlen eines expliziten risikofreien Zinses ist ein Numeraire-Ergebnis, kein Beleg für irrelevante Finanzierung. Forwards, Ausschüttungen, Wertpapierleihe, Sicherheitenverzinsung, FX, Finanzierungsspreads und Close-out zählen. Bei verschiedenen Währungen sind Abrechnungswährung und FX- oder Quanto-Regel zuerst festzulegen; Rohpreise verschiedener Währungen dürfen nicht subtrahiert werden.

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## Vier durchgerechnete Beispiele

- **Eins-zu-eins-Wert.** Für `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50` und `q1=q2=0` gelten `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751` und `d2=0.4159129058`. Der Modellwert ist `$13.815554` je Recht, der aktuelle innere Wert `max(110-100,0)=$10`. Dies ist kein Handelsangebot.
- **Mengen gehören ins Modell.** Ein Recht tauscht `b=200` Aktien von Vermögenswert 2 gegen `a=150` von Vermögenswert 1. Mit `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%` und `q2=3%` sind `X1=$12,000`, `X2=$11,000`, relative Volatilität `28.9274955708%`, `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820` und Wert etwa `$1,799.02`. Ein angenommener `100`-Aktien-Multiplikator ändert den Anspruch.
- **Korrelation ist Modellrisiko.** Im ersten Beispiel ergeben `rho=0.90`, `sigmaR=14.8323969742%` und etwa `$11.086226`; bei `rho=-0.50` ergeben sich `sigmaR=43.5889894354%` und etwa `$18.464726`. Dies prognostiziert keine realisierte Korrelation; Oberflächen, Sprünge, Carry und Hedgekosten können dominieren.
- **Abrechnung und Ausführung sind getrennt.** Drei Rechte tauschen je `80` Aktien von Vermögenswert 2 gegen `50` von Vermögenswert 1. Bei `S1=$140` und `S2=$80` ist der Payoff je Recht `max(50x140-80x80,0)=$600`, die Barabrechnung `$1,800`; physisch sind `240` Aktien abzugeben und `150` zu erhalten. Bei `S1=$138.50` und `S2=$80.40` sind es `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`, also `$321` weniger. Ein Dealer-Mark ersetzt das Vertragsfixing nicht.

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## Siebenstufiger Ablauf und Kontrollen

- Falscher Vermögenswert, Klasse, Index, Währung oder Rechtsträger.
- Falsche Richtung, Vorzeichen, Menge, Verhältnis, Multiplikator oder Liefergegenstand.
- Payoff in inkompatiblen Währungen ohne FX- oder Quanto-Regel.
- Abweichende Ausübungsart, Fälligkeit, Fixingzeit, Zeitzone oder Abrechnung.
- Fehler bei Kapitalmaßnahme, Ausschüttung, Sonderdividende, Leihe oder Quellensteuer.
- Veraltete oder asynchrone Spots, Forwards, Kurven, Oberflächen oder FX-Daten.
- Fehler bei Volatilitätseinheit, Tageszählung, Rendite oder Kovarianzskalierung.
- Inkonsistente Korrelationsmatrix oder instabile historische Schätzung.
- Eine Korrelation verdeckt Strike-, Laufzeit-, Regime- und Tail-Abhängigkeit.
- Versagen konstanter Volatilität, Korrelation oder Lognormalität.
- Gemeinsame oder idiosynkratische Sprünge, Ausfälle, Stopps und Schließungen.
- Relative Delta, Cross-Gamma, Vega, Korrelation und Carry ändern sich gemeinsam.
- Kontinuierliche Replikation über Gap, Stopp oder illiquide Sitzung unterstellt.
- Modellpreis mit synchronem ausführbarem Bid oder Offer verwechselt.
- FLEX- oder Börsenspezifikation auf einen individuellen Zwei-Asset-Anspruch übertragen.
- Abweichung bei OTC-Bestätigung, Sicherheit, Netting, Close-out oder Bewertung.
- Kontrahentenausfall, Wrong-Way-Risk, Sicherheitenlücke oder unsichere Verwertung.
- Teilausführungen, Basisrisiko, Markteinfluss, Gebühren und asymmetrische Finanzierung.
- Physischer Bestand, Cash-Fixing, FX-Konversion und Steuern nicht abgestimmt.
- Modellversion, Datenstand, Bestätigung, Sicherheiten und End-GuV nicht abgestimmt.

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## Häufige Fehlannahmen

- „Tauschoption bedeutet börsengehandelte Option.“ Das eine ist ein Payoff, das andere Handelsplatz und Marktstruktur.
- „Das Tauschverhältnis kann nach der Bewertung angewandt werden.“ Mengen ändern den relativen Gegenwartswert und gehören in Logarithmus und beide Barwertterme.
- „Der risikofreie Zins verschwindet, daher zählt Finanzierung nicht.“ Numeraire-Aufhebung beseitigt Carry, Sicherheiten, Leihe, FX oder Dealer-Finanzierung nicht.
- „Korrelation ist beobachtbar und stabil.“ Sie wird geschätzt, ist zustandsabhängig und nur ein Teil von gemeinsamer Oberfläche und Sprungrisiko.
- „Ein geschlossener Wert ist ein handelbarer Close-out-Preis.“ Ausführung, Kredit, Recht, Liquidität, Hedgekosten und Streit können abweichen.

<a id="related"></a>

## Verwandte Themen

- [Implizite Volatilität](/de/options/implied-volatility/)
- [Implizite Korrelation](/de/options/implied-correlation/)
- [Quanto-Optionen](/de/options/quanto-options/)

<a id="sources"></a>

## Primärquellen

- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)

Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/exchange-options/index.mdx