--- title: "Gamma-Risiko: Einheiten, Positionskrümmung, Hedging und vollständige Neubewertung" description: "Prüfen Sie Gamma-Einheiten und Vorzeichen, Positionsskalierung, lokale Delta-Gamma-P/L, Cash-Gamma-Konventionen, diskretes Hedging, vollständige Neubewertung und Lebenszyklusrisiken." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Gamma-Risiko: Einheiten, Positionskrümmung, Hedging und vollständige Neubewertung > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Direkte Antwort Für einen Optionswert `V(S,...)` ist **Gamma** die lokale Krümmung `Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2`. Wird Delta in Basiswerteinheiten je Optionseinheit und `S` in Dollar gemessen, ist das Einheits-Gamma die Delta-Änderung bei einer Basiswertbewegung um `$1`. Eine Position mit vorzeichenbehafteter Kontraktanzahl `q`, Multiplikator oder Liefergegenstand `M` und Aktienhedge `h` hat `Delta_pos = q x M x Delta_i + h` und `Gamma_pos = q x M x Gamma_i`. Bei gewöhnlichen Vanilla-Optionen ist das Einheits-Gamma für eine Long-Option meist positiv und wird nach Anwendung des Vorzeichens einer Short-Position negativ. Diese Regel darf nicht auf jede digitale, Barrier-, angepasste, pfadabhängige oder an einer Ausübungsgrenze liegende Exponierung übertragen werden. Wenden Sie die Richtung nur einmal an: Liefert ein Datenfeed bereits vorzeichenbehaftetes, positionsskaliertes Gamma, darf nicht erneut mit `q` oder `M` multipliziert werden. ## Vorzeichenbehaftete Krümmungs- und Hedge-Aufzeichnung 1. Fixieren Sie exakte Serie, Bewertungszeitpunkt, Long- oder Short-Richtung, Anzahl, Multiplikator, aktuellen Liefergegenstand, Währung, Ausübungsart, Abrechnungsmethode und jeden Aktien- oder Proxy-Hedge. 2. Geben Sie Preiskoordinate und Einheiten an: Spot-Dollar, Indexpunkte, Futures-Punkte, prozentuale Bewegung, je Aktie, je Kontrakt oder bereits aggregierte Positionssensitivität. 3. Fixieren Sie Spot, Zeit, Zinsen, Dividenden, Leihkosten, Volatilitätsoberfläche und die vom Modell verwendete Oberflächendynamik; Gamma ist von diesen Eingaben abhängig. 4. Berechnen Sie Einheits- und vorzeichenbehaftete Positionswerte für Delta und Gamma getrennt, bewahren Sie Brutto- und Nettopositionen auf und prüfen Sie, ob die Plattform Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator oder Cash-Skalierung bereits angewandt hat. 5. Verwenden Sie für eine kleine Bewegung bei eingefrorenem Zustand `Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S` und `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2`; kennzeichnen Sie ausgelassene Theta-, Vega-, Carry-, Cross-Greek- und Kostenterme. 6. Validieren Sie mit zentrierten finiten Differenzen, symmetrischen Auf- und Abwärtsschocks, mehreren Bump-Größen und vollständiger Neubewertung unter Spot-, Zeit-, Oberflächen-, Sprung- und Liquiditätsszenarien; protokollieren Sie Hedge-Aufträge und tatsächliche Ausführungen. 7. Stimmen Sie Option, Aktien, Cash, Dividenden, Finanzierung, Leihe, Transaktionskosten, Margin, Ausübung, Zuteilung, Abrechnung, Gebühren, Steuern und die Differenz zwischen lokaler Attribution und realisierter P/L ab. Die Bezeichnungen Cash Gamma und Dollar Gamma sind nicht standardisiert. Eine verbreitete Definition ist `CashGamma = Gamma_pos x S^2`; die Gamma-bedingte Änderung des Dollar Delta für eine Rendite `r_move` beträgt `CashGamma x r_move`. Bei konstantem Gamma ist die P/L zweiter Ordnung für diese Bewegung `0.5 x CashGamma x r_move^2`. Ein Anbieter kann `0.5` einbeziehen, einen Schock von einem Prozentpunkt verwenden oder einen vorzeichenbehafteten Positionswert melden; deshalb müssen Formel und Einheiten immer angegeben werden. Eine deltaneutrale Position trägt weiterhin Gamma-Risiko: Nach einer Bewegung entsteht lokal ungefähr `Gamma_pos x Delta S` an Delta neu. Beim Long-Gamma-Rebalancing kann nach Anstiegen verkauft und nach Rückgängen gekauft werden; der theoretische Krümmungsertrag muss jedoch Theta, Volatilitätsneubewertung, Spreads, Markteinfluss, Finanzierung und Hedge-Fehler übersteigen. Eine Kurslücke bei geschlossenem Markt lässt sich nicht kontinuierlich absichern. ## Vier Rechenbeispiele - **Vorzeichenbehaftete Positionskrümmung:** Zehn Long-Calls haben `M = 100`, `Delta_i = 0.50` und `Gamma_i = 0.08 shares/$`. Damit sind `Delta_pos = 500 shares` und `Gamma_pos = 80 shares/$`. Für `Delta S = +$2` beträgt das geschätzte Delta `660 shares` und die P/L `+$1,160`; für `Delta S = -$2` sind es `340 shares` und `-$840`. Die Krümmung trägt in jedem Szenario `+$160` bei, sodass ihre gepaarte Summe `+$320` beträgt; die beiden gesamten P/L-Ergebnisse unterscheiden sich um `$2,000`. - **Cash-Gamma-Konventionen:** Fünf Long-Calls haben `M = 100`, `Gamma_i = 0.08 shares/$` und `S = $100`. Daher gelten `Gamma_pos = 40 shares/$` und `CashGamma = $400,000`. Bei einer Bewegung von `1%` beträgt die Gamma-bedingte Dollar-Delta-Komponente `$4,000`, während die Gamma-P/L zweiter Ordnung `0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20` beträgt. Bei einer Bewegung von `2%` beträgt die Gamma-P/L `$80`. Eine Bezeichnung ohne Formel lässt nicht erkennen, welche Zahl gemeint ist. - **Diskretes Gamma-Scalping:** Ausgangspunkt ist Deltaneutralität mit der konstanten Lehrannahme `Gamma_pos = 50 shares/$`. Der Pfad bewegt sich um `+$2`, wird neu abgesichert, dann um `-$2` und erneut abgesichert. Der lokale Gamma-Beitrag beträgt je Abschnitt `$100`, insgesamt `$200`; Theta ist `-$120`, und die beiden Hedge-Geschäfte kosten jeweils `$15`. Das Nettoergebnis ist `$200 - $120 - $30 = $50`. Es ist nicht garantiert, da Gamma, Ausführungen, Oberfläche und Pfad vereinfacht wurden. - **Lokale Näherung gegenüber vollständiger Neubewertung:** Ein europäischer Call hat `S = $100`, `K = $100`, `r = 4%`, `q_div = 1%`, `sigma = 25%` und `tau = 0.5`. Black-Scholes ergibt `V0 = $7.7215522303`, `Delta = 0.5659323171` und `Gamma = 0.0221205770`. Für `Delta S = +$5` beträgt die Schätzung zweiter Ordnung `$3.1061687980`; die vollständige Neubewertung bei unveränderter IV ergibt `$3.0956949428`, einen Fehler von `$0.0104738552/share` oder `$1.047386` bei `M = 100`. Steigt IV ebenfalls auf `30%`, beträgt die Gesamtänderung `$4.4412937626`; sie lässt sich nicht allein ursprünglichem Delta und Gamma zuordnen. ## Fehler bei der Gamma-Kontrolle - Long- und Short-Vorzeichen fehlen oder werden doppelt angewandt. - Anzahl und Multiplikator fehlen, werden verdoppelt oder sind bereits im Anbieterwert enthalten. - Ein angepasster Liefergegenstand oder Cash-Punktwert wird wie ein Standard-Aktienmultiplikator behandelt. - Spot-, Forward-, Futures-, Indexpunkt-, Währungs- oder Renditekoordinaten werden vermischt. - Eine Bewegung um `$1` wird mit einer Bewegung um `1%` verwechselt. - Cash Gamma, Dollar Gamma, Gamma-P/L und Dollar-Delta-Änderung werden ohne Formeln verwendet. - Der Taylor-Faktor `0.5` fehlt oder wird doppelt angewandt. - Einheits-, Kontrakt- und Positions-Gamma werden ohne Normalisierung verglichen. - Spot, Zeit, Zinsen, Dividenden, Leihe oder Modelleingaben sind veraltet. - Sticky-Strike-, Sticky-Delta- und andere Annahmen zur Oberflächendynamik sind inkonsistent. - IV-Niveau, Skew, Laufzeitstruktur, Vanna, Volga und Cross-Greek-Änderungen werden ignoriert. - Theta-Einheiten oder der genaue Intraday- beziehungsweise Overnight-Zeitablauf sind falsch. - Eine große Bewegung wird mit einem einzigen unveränderten lokalen Gamma bewertet. - Ein Sprung oder eine Kurslücke bei geschlossenem Markt wird als kontinuierlich absicherbar behandelt. - Digitale, Barrier-, American-Grenz- oder andere nicht glatte Exponierung wird wie Vanilla-Krümmung behandelt. - Fehler bei Bump, Gitter, Interpolation oder Solver der finiten Differenzen verfälschen Gamma. - Hedge-Latenz, Geld/Brief, Markteinfluss, Teilausführungen, Ablehnungen und Gebühren fehlen. - Leerverkaufsbeschränkungen, Leihe, Dividenden oder Proxy-Basisrisiko verhindern die Absicherung. - Margin, Kaufkraft, Zwangsliquidation, Ausübung, Zuteilung oder Abrechnung erzeugen zusätzliche Exponierung. - Finanzierung, Steuern, Cash, Aktien, Ausbuchung der Option und Attributionsresiduum werden nicht abgestimmt. ## Häufige Irrtümer - „Gamma ist die Preisänderung der Option.“ Delta ist die Preissensitivität erster Ordnung; Gamma ist die lokale Änderungsrate von Delta. - „Hohes Gamma prognostiziert eine große Marktbewegung.“ Gamma ist Sensitivität, keine Richtungs- oder Volatilitätsprognose. - „Long Gamma erzielt immer Gewinn.“ Die Krümmung muss Theta, Volatilitätsneubewertung, Spreads, Markteinfluss, Finanzierung und Hedge-Fehler übersteigen. - „Deltaneutral bedeutet risikofrei.“ Gamma erzeugt Delta bei einer Spotbewegung neu; andere Greeks und Lebenszyklusrisiken bleiben bestehen. - „Eine Gamma-Zahl gilt für einen großen Sprung.“ Gamma ist eine lokale Ableitung, deren Modellzustand und Wert sich während der Bewegung stark ändern können. ## Verwandte Themen - [Delta und Gamma](/de/options/delta-and-gamma/) - [Dollar-Gamma-Exponierung](/de/options/dollar-gamma-exposure/) - [Gamma-Scalping](/de/options/gamma-scalping/) ## Primäre und akademische Quellen - [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma) - [Options Delta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta) - [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta) - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - [Option Pricing and Replication with Transactions Costs](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x) - [When You Hedge Discretely: Optimization of Sharpe Ratio for Delta-Hedging Strategy under Discrete Hedging and Transaction Costs](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998) Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/gamma-risk/index.mdx