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title: "Zinssätze in der Optionsbewertung: Kurven, Carry und Rho"
description: "Zinsnotierungen in Diskontfaktoren umrechnen, konsistente Forwardpreise konstruieren, Rho korrekt skalieren und Szenarien für Kurve, Dividenden, Ausübung und Ausführung vollständig neu bewerten."
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# Zinssätze in der Optionsbewertung: Kurven, Carry und Rho
> Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung. Investitionen können zu Verlusten führen.
## Direkte Antwort
Zinssätze gehen über Diskontfaktoren, den Forwardpreis des Basiswerts, Finanzierung sowie den Zeitpunkt von Ausübungs- und Erfüllungszahlungen in Optionswerte ein. Es gibt keinen universellen einzelnen Zinssatz: Die Bewertung benötigt eine währungs- und laufzeitkonsistente Kurve unter einer offengelegten Besicherungs- oder Finanzierungskonvention. Leitzinsziel, Tagesgeld-Fixing, Treasury-Par-Rendite und Nullkuponzins sind unterschiedliche Größen.
Bei einem kontrollierten Vergleich europäischer Aktienoptionen erhöhen höhere Zinssätze typischerweise den Wert einer Call-Option und senken den einer Put-Option, wenn Kassakurs, Dividenden, Wertpapierleihe, Volatilität und alle anderen Eingaben unverändert bleiben. Dieses Vorzeichen ist weder eine Marktgewinnregel noch ein allgemeines Ergebnis für amerikanische Ansprüche, Optionen auf Anleihepreise oder Renditen, Optionen auf Futures, Caps, Floors oder Swaptions. Rho ist eine lokale Modellableitung, keine Prognose und kein vollständiges Maß des Zinskurvenrisikos.
## Kontrollierter Arbeitsablauf
1. Anspruch und Zeitpunkte festlegen: Basiswert, Call oder Put, Ausübungspreis, Währung, Bewertungszeitpunkt, Verfall, Ausübungs- und Erfüllungstage, amerikanische oder europäische Ausübungsart, Bar- oder physische Erfüllung, Multiplikator und vorzeichenbehaftete Position.
2. Zweck der Kurve definieren: Diskontierung, Besicherung, Finanzierung oder Wertpapierleihe; Quelle, Geld- oder Briefseite, Zeitstempel und Instrumente dokumentieren. Weder den Leitzins noch eine einzelne Constant-Maturity-Rendite als vollständige Kurve einsetzen.
3. Einfache, diskontierte, nominale und stetig verzinste Notierungen mit ihrer Zinstagekonvention in positive Diskontfaktoren `D(0,t)` umrechnen. Zahlungszeitpunkte nach dokumentierten Regeln bootstrappen und interpolieren; negative Nullkuponzinsen können gültig `D(0,t)>1` ergeben.
4. Carry konsistent konstruieren. Bei konstanten stetigen Zinssätzen gilt `D(0,T)=exp(-r*T)` und `F=S*exp((r-q)*T)`; bei deterministischen Bardividenden gilt `FP=S-PV(dividends)` und `F=FP/D(0,T)`. Dividenden, Wertpapierleihe, auslaendischen Carry und Kapitalmassnahmen getrennt halten.
5. Modell an Ausübungsart und Auszahlungsprofil anpassen. Europäische Paritaet oder geschlossene Formeln nur für kompatible Ansprüche verwenden; für amerikanische Optionen einen ausuebungssensitiven Baum oder eine PDE und für Anleihe-, Rendite-, Futures- oder Zinsauszahlungen produktspezifische Modelle einsetzen.
6. Risikoeinheiten angeben: rohes `Rho_raw=partial V/partial r`, `Rho_100bp=Rho_raw*0.01` und `Rho_1bp=Rho_raw*0.0001`, jeweils pro Aktie, Kontrakt oder vorzeichenbehaftete Position. Die Kurve für parallele Verschiebungen, Versteilung, Abflachung und Key-Rate-Schocks neu aufbauen und vollständig neu bewerten.
7. Modellattribution von ausführbaren Geld- und Briefkursen, Ausführungen, Gebühren, Finanzierung, Wertpapierleihe, Margin, Sicherheiten und Steuern trennen. Tatsächliche Zahlungszeitpunkte, Ausübung oder Zuteilung, Erfüllung und GuV gegen die gespeicherte Kurvenversion abstimmen.
## Durchgerechnete Beispiele
- **Exakte europäische Paritaet:** Bei `S=100`, `K=100`, `T=2`, `q=0` und stetigem `r=2%` beträgt der Diskontfaktor `0.960789439152`, der diskontierte Ausübungspreis `96.078943915232` und `C-P=3.921056084768`. Bei `r=5%` lauten die Werte `0.904837418036`, `90.483741803596` und `9.516258196404`; Call minus Put verändert sich um `5.595202111636` je Aktie. Dies ist eine kontrollierte Relative-Value-Identitaet, keine Gewinnprognose.
- **Verzinsung und Zinstagekonvention:** Fuer `182` Tage ergibt eine einfache ACT/360-Notierung von `5.25%` den Wert `D=1/(1+0.0525*182/360)=0.974144579291`. Bei `T=182/365=0.498630136986` beträgt der äquivalente stetige Nullkuponzins `5.2535026897%`. Sind das stetige `q=1%` und `S=100`, lautet der konsistente Forwardpreis `102.143576091945`; die direkte Verwendung von 5,25 Prozent unter einer anderen Konvention verändert das Ergebnis.
- **Rho-Einheiten und vollständige Neubewertung:** Eine europäische Option mit `S=K=100`, `T=2`, `q=1%`, `sigma=25%` und `r=2%` hat einen Call-Wert von `14.609621487800`, einen Put-Wert von `12.668698072357`, ein rohes Call-Rho von `86.885943346376` und ein rohes Put-Rho von `-105.271944484089`. Je `100` Basispunkte sind dies `0.868859433464` und `-1.052719444841`. Die vollständige Neubewertung bei `r=3%` ergibt `15.491134163794` für den Call und `11.647720191543` für den Put, also Veränderungen von `+0.881512675994` und `-1.020977880814`; die linearen Fehler mit dem alten Rho betragen `+0.012653242530` beziehungsweise `+0.031741564027` je Aktie.
- **Ausübungsuntergrenze amerikanischer Optionen:** Bei `S=80`, `K=100`, `T=1`, `r=5%`, `q=0` und `sigma=20%` ist ein europäischer Put `16.982362022884` wert und liegt damit unter dem sofortigen Ausübungswert von `20`. Ein amerikanischer Put muss mindestens `20` wert sein; die Differenz von `3.017637977116` zeigt, weshalb eine europäische Formel dieses Ausübungsrecht nicht bewerten kann. Unabhängig davon ergibt `r=-1%` den gültigen Wert `D=1.010050167084`; negative Zinssätze duerfen nicht auf null begrenzt werden.
## Risiken und Validierung
- **Währungsrisiko:** Eine Kurve in der falschen Währung diskontiert den falschen Zahlungsanspruch.
- **Mandatsrisiko:** Besicherungs-, Finanzierungs-, Diskont- und Wertpapierleihkurven sind nicht austauschbar.
- **Notierungsrisiko:** Par-Rendite, Nullkuponzins, Forwardzins und Leitzinsziel sind unterschiedliche Größen.
- **Verzinsungsrisiko:** Einfache, diskontierte, nominale und stetige Notierungen muessen umgerechnet werden.
- **Zinstagekonventionsrisiko:** ACT/360, ACT/365F und 30/360 veraendern Jahresbruchteile und Werte.
- **Zeitpunktrisiko:** Bewertungs-, Verfalls-, Ausübungs-, Liefer- und Barzahlungstage unterscheiden sich.
- **Zeitstempelrisiko:** Veraltete oder nicht synchronisierte Kurven- und Optionsdaten erzeugen ein falsches Rho.
- **Bootstrap-Risiko:** Instrumente, Interpolation und Extrapolation beeinflussen die Diskontfaktoren an den Stuetzstellen.
- **Schockrisiko:** Eine einzelne Parallelverschiebung erfasst weder Versteilung noch Abflachung oder lokale Bewegungen.
- **Negativzinsrisiko:** Das Begrenzen von Zinssätzen oder Diskontfaktoren zerstört gültige ökonomische Zusammenhaenge.
- **Dividendenrisiko:** Fehler bei Betrag, Ex-Tag oder Zahlungstag verschieben den Forwardpreis.
- **Doppelzaehlungsrisiko:** Eine stetige Dividendenrendite und dieselben diskreten Dividenden duerfen nicht gleichzeitig angesetzt werden.
- **Wertpapierleiherisiko:** Leihvergütung und Hard-to-Borrow-Kosten veraendern Carry und Ausübungsanreize.
- **Koordinatenrisiko:** Kassa- und Forward-Moneyness können sich nach einem Kurvenschock unterschiedlich bewegen.
- **Ausübungsartrisiko:** Europäische und amerikanische Ansprüche benoetigen unterschiedliche Paritaets- und Ausübungsbehandlungen.
- **Lebenszyklusrisiko:** Ausübung durch den Inhaber und Zuteilung an den Stillhalter erzeugen unterschiedliche Handlungen und Zahlungsstroeme.
- **Einheitenrisiko:** Rohes Rho, Rho je 100 oder 1 Basispunkt sowie Einheiten je Aktie oder Kontrakt können verwechselt werden.
- **Greek-Risiko:** Lokales Rho ersetzt weder den Neuaufbau der Kurve noch die vollständige Neubewertung.
- **Risiko gemeinsamer Bewegungen:** Kassakurs, implizite Volatilität, Skew, Dividenden und Finanzierung bewegen sich häufig zusammen mit den Zinssätzen.
- **Ausführungsrisiko:** Geld-Brief-Spanne, Gebühren, Liquiditaet, Margin und Steuern trennen die Modellveraenderung von der GuV.
## Häufige Fehlannahmen
- **„Der Leitzins ist für jede Laufzeit die richtige Eingabe.“** Jeder Zahlungszeitpunkt benötigt einen konsistenten Diskontfaktor.
- **„Höhere Zinssätze lassen jeden Call oder jede Position gewinnen.“** Anspruchsart, andere Eingaben und Ausübungsrechte können dominieren.
- **„Rohes Rho mal 100 ergibt die Veränderung für 100 Basispunkte.“** Ein Schock von 100 Basispunkten in Dezimalschreibweise ist `0.01`, und die Einheiten muessen uebereinstimmen.
- **„Zinssätze und Dividenden sind austauschbar.“** Sie entstehen aus unterschiedlichen Zahlungsstroemen und duerfen nicht doppelt gezählt werden.
- **„Die Rho-Vorzeichen von Aktienoptionen gelten für jedes Zinsprodukt.“** Optionen auf Anleihen, Renditen, Futures und Zinssätze haben andere Auszahlungsrichtungen.
## Verwandte Themen
- [Rho](/de/options/rho/)
- [Impliziter Forwardpreis](/de/options/implied-forward-price/)
- [Zinskurve](/de/stocks/yield-curve/)
## Massgebliche Quellen
- [Federal Reserve H.15](https://www.federalreserve.gov/releases/h15/) — beobachtete ausgewählte Zinssätze, keine universelle Diskontkurve für Optionen.
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) — Konstruktion der Par-Kurve und indikative Eingaben, keine ausführbaren Nullkupon- oder Finanzierungszinssaetze.
- [New York Fed SOFR Averages](https://www.newyorkfed.org/markets/reference-rates/sofr-averages-and-index) — rückblickende Konventionen für die Tagesgeldverzinsung, kein vollständiger Auftrag für eine Forwardkurve.
- [OIC Rho](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/rho) — didaktische lokale Sensitivitaet und übliche Skalierung, kein vollständiges Kurvenrisiko und keine GuV.
- [OCC Characteristics and Risks](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — Kontrakt- und Lebenszyklusrisiken, keine numerische Kurvenkonstruktion.
- [Cboe Theoretical Options Methodology](https://cdn.cboe.com/api/global/us_indices/governance/Cboe_American_and_European-Style_Theoretical_Options_Calculation_Methodology.pdf) — veröffentlichte Konventionen für Ausübungsart, Kurve und Dividenden, keine universelle Handelspraxis oder Ausführungskurse.
- [Black und Scholes](https://doi.org/10.1086/260062) — Grundlage des europäischen Modells mit konstantem Zinssatz, nicht für amerikanische Ausübung oder reale Ausführung.
- [Merton, Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) — Theorie zu Carry, Dividenden und Arbitragefreiheit unter Annahmen, keine aktuellen Kontraktregeln.
Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/interest-rate-options-pricing/index.mdx