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title: "Lognormale Aktienkurse: Annahme, Mathematik und Grenzen"
description: "Verstehen Sie, warum klassische Optionsmodelle lognormale Aktienpreise verwenden, wie sich einfache und logarithmische Renditen unterscheiden, wie Durchschnitts- und Medianpreise voneinander abweichen und warum Fat Tails, Sprünge und sich ändernde Volatilität die Annahme einschränken."
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# Lognormale Aktienkurse: Annahme, Mathematik und Grenzen

> Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

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## Direkte Antwort

Klassische Optionsmodelle gehen häufig davon aus, dass ein zukünftiger Aktien- **Preis** logarithmisch normalverteilt ist, was bedeutet, dass seine kontinuierlich zusammengesetzte **logarithmische Rendite** normalverteilt ist. Der Preis selbst wird nicht als normal angenommen, und eine Rendite ist nicht „lognormal“. Unter geometrischer Brownscher Bewegung:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, wobei `Z∼N(0,1)`.

Dabei ist μ die Kursdrift unter dem verwendeten Wahrscheinlichkeitsmaß, σ die Volatilität und T der Zeithorizont. Die Exponentialfunktion hält modellierte Kurse positiv, macht logarithmische Mehrperiodenrenditen additiv und führt zu handhabbaren Optionsformeln. Reale Märkte erfüllen die Annahme nicht exakt: Renditen zeigen Schiefe, Fat Tails, Volatilitätscluster, Sprünge, Handelsunterbrechungen und wechselnde Verteilungen. Lognormalität ist ein transparenter Vergleichsmaßstab, kein Marktgesetz.

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## Verteilungs- und Bewertungsmechanik

Die einfache Rendite ist `R=S_T/S_0-1`; die logarithmische Rendite ist `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`. Logarithmische Renditen addieren sich über die Zeit, einfache Renditen werden dagegen multiplikativ verkettet. Ein Anstieg von `$100` auf `$110` und anschließender Rückgang auf `$99` ergibt `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`. Wer `+10%` und `-10%` als einfache Renditen addiert, käme fälschlich auf null.

Wenn `ln S_T∼N(m,v)` gilt, beträgt der Kursmedian `e^m`, der Mittelwert `e^(m+v/2)` und der Modalwert `e^(m-v)`. Die rechtsschiefe Kursverteilung hat null als Untergrenze und keine endliche Obergrenze. Sie kann in endlicher Zeit nicht exakt null erreichen; Ausfall und andere absorbierende Ereignisse müssen daher separat modelliert werden.

Unter dem physischen Maß erfordert die Wahl von μ eine Renditeannahme oder -schätzung. Unter dem risikoneutralen Black-Scholes-Maß wird die Kursdrift zu r−q; der Mittelwert der logarithmischen Rendite ist dann `(r-q-σ²/2)T`. Diese Verteilung bewertet bedingte Ansprüche unter Arbitragefreiheit und prognostiziert keine realen Häufigkeiten. Eine konstante `σ` würde zudem für alle Ausübungspreise einer Laufzeit dieselbe implizite Volatilität bedeuten, entgegen dem beobachteten Skew oder Smile.

<a id="example"></a>

## Ein Beispiel für eine einjährige Verteilung

Sei `S_0=$100`, und die logarithmische Einjahresrendite sei mit Mittelwert `5%` und Standardabweichung `20%` normalverteilt. Der Median des künftigen Kurses beträgt `$100e^0.05=$105.13`, sein Mittelwert `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25` und sein Modalwert `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`. Der „erwartete Kurs“ ist somit weder die Mitte noch der wahrscheinlichste Wert der Verteilung.

Mit `Z=-1` und `Z=+1` als Näherungen für das 16. und 84. Perzentil ergeben sich `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` und `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`. Die Spanne in Dollar ist asymmetrisch, obwohl das Intervall der logarithmischen Rendite symmetrisch ist.

Ein weiteres Beispiel zeigt, warum die Renditedefinition wichtig ist. Nach einem Rückgang um `50%` von `$100` auf `$50` und einem anschließenden Anstieg um `50%` liegt der Kurs nur bei `$75`; die kumulierte einfache Rendite beträgt `-25%`. Die logarithmischen Renditen summieren sich exakt zu `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`. Für die Erholung von `$50` auf `$100` ist ein Anstieg um `100%` erforderlich.

<a id="risks"></a>

## Checkliste für Tests und Modellrisiken

- Verwenden Sie Gesamtrendite- oder korrekt bereinigte Kursdaten; Aktiensplits und gewöhnliche Ausschüttungen können in unbereinigten Reihen falsche Sprünge erzeugen.
- Stimmen Sie Zeitstempel, Währungen, Börsenschlusszeiten, fehlende Beobachtungen und handelsfreie Tage ab, bevor Sie Renditen berechnen.
- Geben Sie ausdrücklich an, ob Sie einfache oder logarithmische Renditen verwenden; nur bei kleinen Veränderungen liegen beide nahe beieinander.
- Vergleichen Sie empirische Schiefe, übermäßige Kurtosis, 1 %/5 %/95 %/99 %-Quantile, Histogramme und Q-Q-Diagramme mit einem normalen Benchmark.
- Prüfen Sie ruhige Phasen und Krisen getrennt. Schon die Mischung wechselnder Volatilitätsregime kann eine unbedingte Renditeverteilung mit Fat Tails erzeugen.
- Testen Sie die serielle Abhängigkeit in Renditen und quadrierten Renditen. Volatilitätsclustering verstößt gegen konstante unabhängige Inkremente.
- Wenden Sie die `√T`-Skalierung rund um Ergebnisveröffentlichungen, geplante Ereignisse, langes Gedächtnis oder Regimewechsel nicht mechanisch an.
- Trennen Sie die für die Prognose verwendeten physikalischen Parameter von den für die Preisgestaltung abgeleiteten risikoneutralen Parametern.
- Nutzen Sie für die Bewertung über mehrere Ausübungspreise die aktuelle implizite Volatilitätsoberfläche, statt jedem Ausübungspreis dieselbe At-the-money-Volatilität aufzuzwingen.
- Unterziehen Sie Sprünge, Ausfall, Handelsstopps, Liquiditätsverlust und eine Neubewertung der Volatilität außerhalb der stetigen Diffusion einem Stresstest.
- Validieren Sie Parameter und Absicherungsfehler außerhalb der Stichprobe; eine Anpassung an historische Extreme beweist keine künftige Stabilität.
- Simulieren Sie für pfadabhängige Optionen Zwischenpfade und Diskretisierungsfehler, nicht nur lognormale Terminalpreise.

<a id="misconceptions"></a>

## Häufige Irrtümer

- „Aktienrenditen sind logarithmisch normal.“ Die klassische Aussage ist, dass die Preise logarithmisch normal sind und die logarithmischen Renditen normal sind.
- „Positiv modellierte Preise beweisen Realismus.“ Positivität erfasst keine Ausfälle, Sprünge, Fat Tails oder Volatilitätsregime.
- „Der mittlere Preis ist der wahrscheinlichste Preis.“ Mittelwert, Median und Modus einer Lognormalverteilung unterscheiden sich.
- „Ein symmetrischer Log-Rendite-Bereich ist in Dollar symmetrisch.“ Durch Potenzierung entsteht eine asymmetrische Preisspanne.
- „Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit.“ Sie ist das mit diskontierter arbitragefreier Bewertung konsistente Maß und dient einem anderen Zweck als eine reale Prognose.
- „Die jährliche Volatilität ist immer die tägliche Volatilität mal `√252`.“ Diese Skalierung erfordert stabile unabhängige Inkremente.
- „Eine historische Volatilität bewertet jede Option.“ Marktpreise implizieren im Allgemeinen eine vom Ausübungspreis und von der Laufzeit abhängige Volatilität.
- „Seltene Ereignisse sollten als Ausreißer gestrichen werden.“ Nach Prüfung der Daten können Extreme wichtige Evidenz gegen die angenommene Randverteilung sein.
- „Eine Stichprobe lognormaler Endkurse bewertet jedes Derivat.“ Barriere-, asiatische und amerikanische Optionen hängen vom Pfad oder von Ausübungsentscheidungen ab.

<a id="related"></a>

## Verwandte Themen

- [Geometrische Brownsche Bewegung](/de/options/geometric-brownian-motion/)
- [Black-Scholes-Modell](/de/options/black-scholes-model/)
- [Risikoneutrale Bewertung](/de/options/risk-neutral-pricing/)
- [Historische Volatilität](/de/options/historical-volatility/)
- [Volatilitätsskew](/de/options/volatility-skew/)
- [Jump-Diffusion-Optionsmodell](/de/options/jump-diffusion-option-model/)

<a id="sources"></a>

## Akademische Quellen

- [Black und Scholes: Die Preisgestaltung von Optionen und Unternehmensverbindlichkeiten](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: Theorie der rationalen Optionspreisgestaltung](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Mandelbrot: Die Variation bestimmter spekulativer Preise](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Fama: Das Verhalten der Börsenkurse](https://doi.org/10.1086/294743)
- [Cboe: Der Cboe SKEW Index](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/lognormal-stock-returns/index.mdx