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title: "SABR-Modell: Alpha, Beta, Rho, Nu, Kalibrierung und Modellrisiko"
description: "Verstehen Sie das stochastische Volatilitätsmodell von SABR, wie Alpha, Beta, Rho und Nu ein Lächeln mit impliziter Volatilität formen und wie Sie Hagan-Näherungen kalibrieren und validieren."
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# SABR-Modell: Alpha, Beta, Rho, Nu, Kalibrierung und Modellrisiko

> Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

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## Direkte Antwort

Diese Seite erläutert zu Bildungszwecken die Modellpraxis für börsengehandelte und außerbörsliche europäische Optionen, einschließlich Anwendungsfällen für Zins- und Devisenoptionen. Sie ist keine Spezifikation eines bestimmten Marktes, Produkts, Brokers, Kontos, Clearingarrangements oder einer Rechtsordnung; Konventionen, Zulässigkeit, Dokumentation und Steuerbehandlung hängen vom Handelsplatz und dem anwendbaren Recht ab. Fakten und Quellen wurden am 2026-08-22 geprüft; dies ist keine individuelle Anlage-, Rechts- oder Steuerberatung.

Das **SABR-Modell** ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, bei dem sich ein Forward `F_t` und sein Volatilitätsniveau `α_t` zufällig bewegen und ihre Schocks korrelieren. Es wird häufig verwendet, um ein Lächeln mit impliziter Volatilität mit einem kleinen, interpretierbaren Parametersatz zu parametrisieren und Lächeln-konsistente Preise und Empfindlichkeiten zu generieren.

SABR ist keine universelle Volatilitätsoberfläche. Die Kalibrierung erfolgt üblicherweise separat je Verfall oder je Verfall/Tenor einer Zinsoption unter Verwendung einer Black-, Normal- oder Shifted-Quotierung. Die bekannte Hagan-Formel für die implizite Volatilität ist eine asymptotische Annäherung an das Modell, kein exakter Preis und nicht automatisch bei allen Strikes und Laufzeiten arbitragefrei.

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## Dynamik und Parameterrollen

Unter einem Preismaß lauten die klassischen Forward-SABR-Dynamiken:

`dF_t = α_t F_t^β dW_t¹`

`dα_t = ν α_t dW_t²`

`d⟨W¹,W²⟩_t = ρ dt`

mit aktuellem `α > 0`, üblicherweise `0 ≤ β ≤ 1`, `ν ≥ 0` und `−1 < ρ < 1`.

- **Alpha (`α`)** legt die aktuelle Volatilitätsskala fest, entspricht jedoch im Allgemeinen nicht der impliziten ATM-Volatilität.
- **Beta (`β`)** steuert die Elastizität: `β = 1` ist logarithmisch normal, `β = 0` ist normal und Zwischenwerte erzeugen eine CEV-Skalierung.
- **Rho (`ρ`)** korreliert Vorwärts- und Volatilitätsschocks und beeinflusst stark die Lächelnasymmetrie.
- **Nu (`ν`)** ist die Volatilität der Volatilität und erhöht üblicherweise die Krümmung des Lächelns, wenn sie ansteigt.

Diese Interpretationen sind nicht unabhängig. Alpha und Beta können sich um ATM kompensieren; Rho und Nu können sich über einen begrenzten Strike-Bereich kompensieren. Viele Implementierungen fixieren oder beschränken Beta stark und kalibrieren dann Alpha, Rho und Nu. Ein geringer Anpassungsfehler ist kein Beweis für die Parameteridentifizierung oder eine realistische zukünftige Lächelndynamik.

Für Black-Style SABR ist eine führende ATM-Intuition:

`ATM Black IV ≈ α / F^(1−β)`

mit Laufzeitkorrekturen aller Parameter. Normales SABR wird häufig verwendet, wenn Zinssätze oder Forwards nahe oder unter null liegen können. Shifted SABR wendet eine Verschiebung auf `F` und `K` an; diese Verschiebung verändert Dynamik und Extremflügel und muss als Modellparameter geregelt werden.

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## Beispiel für eine Parameterskala

Sei der Forward `F = 100`, mit Fälligkeit `T = 1 year`, festem `β = 0.50` und `α = 2.00`. Die führende ATM-Näherung ist:

`ATM IV ≈ 2.00 / 100^(1−0.50) = 2.00 / 10 = 20.00%`

Wenn der Forward auf `81` fällt, während Alpha bei `2.00` gehalten wird, ergibt sich die gleiche Näherung:

`2.00 / 81^0.50 = 2.00 / 9 = 22.22%`

Somit bedeutet unverändertes Alpha nicht unverändertes ATM IV, wenn `β < 1`. Umgekehrt ist der Vergleich von Alpha zwischen Vermögenswerten mit unterschiedlichen Einheiten oder Beta-Werten im Allgemeinen bedeutungslos.

Vergleichen Sie nun zwei beispielhafte Konfigurationen mit denselben `F`, `T`, `β` und `α`:

| Satz | `ρ` | `ν` | Typischer qualitativer Effekt |
| --- | ---: | ---: | --- |
| A | `−0.20` | `0.30` | mildere negative Schräge und Krümmung |
| B | `−0.70` | `0.80` | steilere Abwärtsschräge und stärkere Krümmung |

Diese Beschreibung ist bedingt und stellt keine numerische Preisgarantie dar. Ein gültiger Vergleich muss die ausgewählte Black-/Normal-Formel bei tatsächlichen Strikes bewerten, IV-Fehler in Preisfehler umwandeln und die Extrapolation überprüfen. Parameter B können zu beobachteten Knoten passen, erzeugen jedoch instabile oder unplausible Fernflügel.

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## Checkliste für Kalibrierung und Validierung

- Festlegen der Konventionen für Basiswert, Forward-Konstruktion, Diskontierung, Verfall, Laufzeit, Abwicklung und Quote.
- Bereinigen Sie zeitgleiche Bid/Ask-Kurse und behalten Sie Liquiditätsgewichte und Ausschlussgründe bei.
- Entscheiden Sie sich explizit zwischen Black-, Normal- und Shifted-SABR. Mischen Sie niemals ihre Volatilitätseinheiten.
- Fixieren oder binden Sie Beta mit dokumentierter Begründung und wiederholen Sie die Bewertung unter alternativen Beta-Werten.
- Erzwingen Sie `α > 0`, `ν ≥ 0` und eine sichere innere Grenze für Rho.
- Verwenden Sie mehrere anfängliche Schätzungen und prüfen Sie lokale Minima, Parameterkovarianz und tägliche Sprünge.
- Minimieren Sie ggf. Preis- oder Vega-gewichtete Fehler, nicht ungewichtete IV-Fehler aus Gewohnheit.
- Berichten Sie separat für ATM-, Downside-, Upside- und Bid/Ask-Abdeckung.
- Führen Sie „Leave-One-Out“- oder „Out-of-Sample“-Prüfungen durch, anstatt sich nur auf In-Sample-Residuen zu verlassen.
- Wandeln Sie das angepasste Lächeln wieder in Optionspreise um und prüfen Sie die Strike-Monotonie und Konvexität.
- Überprüfen Sie die Kalenderkonsistenz über separat kalibrierte Abläufe hinweg.
- Vergleichen Sie Hagan-Näherungspreise und Griechen mit einer genaueren numerischen Methode bei langen Laufzeiten, hohem Nu, extremem Rho und entfernten Strikes.
- Stressen Sie Alpha, Beta, Rho, Nu, Forward, Verschiebung, Zinsen und Korrelationen gemeinsam.
- Behalten Sie Marktdaten, versionierte Formel, Zielfunktion, Grenzen, Löser, Anfangswerte und Kalibrierungszeitstempel bei.

<a id="misconceptions"></a>

## Häufige Irrtümer

- „SABR ist ein exakt geschlossenes Preismodell.“ Die beliebte Formel ist eine asymptotische Näherung der impliziten Volatilität.
- „Alpha ist ATM IV.“ Es hängt auch von der Vorwärtsskalierung, Beta, Reife, Rho- und Nu-Korrekturen ab.
- „Rho ist die historische Preis-Volatilitäts-Korrelation.“ Es handelt sich um einen risikoneutralen Modellparameter, der auf Optionspreise kalibriert ist.
- „Nu kontrolliert nur die Flügel.“ Parameter interagieren, und eine Änderung von Nu kann sich auf ATM- und Absicherungssensitivitäten auswirken.
- „Beta kann immer frei geschätzt werden.“ Alpha-Beta-Kollinearität macht die Anpassung oft instabil.
- „Eine perfekte Passform des Lächelns beweist eine gute Absicherung.“ Unterschiedliche Dynamiken können zum gleichen Vanilla-Snapshot passen und Exoten unterschiedlich absichern.
- „Normale und Black-Volatilitäten sind austauschbare Prozentsätze.“ Sie verwenden unterschiedliche Einheiten und Preiskonventionen.
- „Shifted SABR löst negative Zinssätze ohne Kosten.“ Die Verschiebung ist eine zusätzliche strukturelle Annahme, die sich auf die Enden auswirkt.
- „Positiv angepasste IV bedeutet keine Arbitrage.“ Die resultierende Preiskurve kann immer noch gegen Konvexitäts- oder Kalenderbedingungen verstoßen.
- „Eine SABR-Anpassung beschreibt die gesamte Oberfläche.“ Unabhängige Slices können bei Ablauf und Laufzeit inkonsistent sein.

<a id="related"></a>

## Verwandte Themen

- [Dupire lokale Volatilität](/de/options/dupire-local-volatility/)
- [Lokales Volatilitätsmodell](/de/options/local-volatility-model/)
- [Implizite Volatilität](/de/options/implied-volatility/)
- [Optionsmodellrisiko](/de/options/option-model-risk/)

<a id="sources"></a>

## Quellen

- [Hagan et al.: Managing Smile Risk](https://www.next-finance.net/IMG/pdf/pdf_SABR.pdf)
- [Obloj: Optimieren Sie Ihr Lächeln – Korrektur nach Hagan et al.](https://arxiv.org/abs/0708.0998)
- [Fukasawa: Über asymptotisch-arbitragefreie Approximationen der impliziten Volatilität](https://arxiv.org/abs/2201.02752)
- [Choi und Seo: Optionspreisgestaltung nach dem normalen SABR-Modell mit Gaußschen Quadraturen](https://arxiv.org/abs/2301.02797)

Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/sabr-model/index.mdx