--- title: "SVI-Volatilitätsmodell: Anpassung der Gesamtvarianz ohne statische Arbitrage" description: "Verstehen Sie die fünf Parameter von Raw SVI, berechnen Sie ein Lächeln in Log-Forward-Moneyness, kalibrieren Sie ausführbare Angebote und testen Sie Positivität, Butterfly, Kalender und Wing-Einschränkungen." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # SVI-Volatilitätsmodell: Anpassung der Gesamtvarianz ohne statische Arbitrage > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Direkte Antwort **SVI**, oder Stochastic Volatility Inspired, ist eine parametrische Darstellung der impliziten **Gesamtvarianz** über Strikes hinweg bei einem Verfallsdatum. In seiner Raw-SVI-Form: `w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}` wobei `w(k) = σ_imp²(k,T)T` und `k = ln(K/F_T)` die Log-Forward-Moneyness ist. Raw SVI verwendet fünf Parameter, um Notierungen diskreter Optionen in ein glattes Lächeln für Interpolation, Bewertung, Greeks und Relativwertdiagnosen umzuwandeln. Trotz seines Namens ist ein angepasster SVI-Slice an sich kein stochastischer Prozess oder eine Prognose zukünftiger Volatilität. Es beschreibt eine statische risikoneutrale Preisoberfläche. Separate Auswahlmöglichkeiten bestimmen, wie sich die Abschnitte über die Laufzeiten hinweg verbinden und wie sich die Oberfläche im Laufe der Zeit bewegt. Dieser Artikel behandelt Vanilla-Optionsquotierungen mit einer synchronisierten Forward- und Diskontkurve, vor allem börsennotierte europäische oder europäisch gleichwertige Kontrakte. Er erläutert Modelle und Marktdaten und ist keine Empfehlung für ein bestimmtes Konto; Vertragsbedingungen, Liquidität, Steuerbehandlung und rechtliche Pflichten hängen von Produkt, Markt, Broker und Rechtsordnung ab. Der Faktenstand wurde bis zum 22.08.2026 geprüft und stellt keine Anlage-, Rechts- oder Steuerberatung dar. ## Was die fünf Parameter steuern - `a`: Vertikale Gesamtvarianzebene, aber nicht unbedingt ATM-Varianz. - `b ≥ 0`: Gesamtmaßstab der linken und rechten Flügelneigung. - `−1 < ρ < 1`: Asymmetrie; negativ `ρ` macht die linke asymptotische Steigung größer als die rechte. - `m`: horizontale Lage des Lächelnzentrums in Log-Moneyness. - `σ > 0`: Glätte und Breite um die Mitte; Dieser Parameter ist keine implizite Volatilität. Die asymptotischen Gesamtvarianzsteigungen betragen links `b(1−ρ)` und rechts `b(1+ρ)`. Die minimale Gesamtvarianz beträgt: `w_min = a + bσ√(1−ρ²)` Für die nichtnegative Gesamtvarianz ist also `a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0` erforderlich. Diese grundlegenden Beschränkungen garantieren **nicht** das Fehlen von Butterfly-Arbitrage. Für ein zweimal differenzierbares Gesamtvarianz-Lächeln gilt häufig folgende Dichtebedingung: `g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0` für alle relevanten `k` zusammen mit geeignetem Flügelverhalten. Ein negativer `g(k)` entspricht einer negativen risikoneutralen Dichte in einer Konstruktion mit kontinuierlichen Strikes. Robuste Implementierungen erzwingen analytische Bereiche ohne Arbitrage oder testen ein ausreichend breites, dichtes Gitter einschließlich der Flügel; visuelle Glätte und niedriger RMSE sind unzureichend. ### Eine Scheibe ist keine Oberfläche Durch die unabhängige Kalibrierung jeder Laufzeit können sich die Slices über die Zeit kreuzen. Unter konsistenten Forward- und Discount-Konventionen sollte die Gesamtvarianz bei fester Log-Forward-Moneyness in einer Standardkonstruktion ohne Kalender-Arbitrage mit der Laufzeit nicht abnehmen. SSVI und verwandte Parametrisierungen verknüpfen Slices mit expliziten Einschränkungen. Ereignislaufzeiten können zu echten Schritten in der Gesamtvarianz führen; eine Kontrolle ohne Arbitrage sollte gültige Ereignisinformationen bewahren, anstatt sie kosmetisch zu glätten. ## Beispiel: Lesen eines Raw-SVI-Slices Sei `T = 0.25` Jahr und: `a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20` Das Positivitätsminimum beträgt: `w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0` Bewerten Sie drei Log-Moneyness-Punkte: | `k` | Gesamtvarianz `w(k)` | `IV = √[w(k)/T]` | | ---: | ---: | ---: | | `−0.20` | `0.04828` | `43.95%` | | `0` | `0.03000` | `34.64%` | | `+0.20` | `0.02828` | `33.64%` | Unter `k = 0`: `w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000` Unter `k = −0.20`: `w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828` Der negative `ρ` erzeugt einen steileren linken Flügel. Seine asymptotischen Steigungen betragen links `0.10(1−(−0.5)) = 0.15` und rechts `0.10(1+(−0.5)) = 0.05`. Diese Berechnung beweist weder eine gute Marktanpassung noch das Fehlen statischer Arbitrage. Für den gesamten Abschnitt sind noch die `g(k)`/Dichte- und Flügelprüfungen erforderlich, und benachbarte Abläufe erfordern Kalenderprüfungen. Außerdem werden die Werte auf Jahresbasis IV aus der Gesamtvarianz abgeleitet; Der Vergleich von `w` anstelle der rohen IV ist über alle Laufzeiten hinweg von entscheidender Bedeutung. ## Checkliste für Kalibrierung und Produktion - Fixieren Sie einen Ablauf und leiten Sie einen synchronisierten Forward- und Discount-Faktor aus zuverlässigen Eingaben oder Verkaufsoption (Put)-Kaufoption (Call)-Parität ab. - Konvertieren Sie jeden Ausübungspreis (englisch: strike) in `k = ln(K/F_T)` und jeden gültigen IV in `w = IV²T` mit einem Takt. - Bevorzugen Sie ausführbare OTM-Kurse; Dokumentieren Sie die Behandlung von Nullangeboten, gekreuzten Märkten, veralteten Kursen, Kapitalmaßnahmen und Deep Wings. - Passen Sie Preis-, IV- oder Gesamtvarianzfehler mit an Vega, Bid-Ask-Breite und Liquidität gebundenen Gewichten an; Melden Sie das gewählte Ziel. - Verwenden Sie Parametergrenzen und mehrere Startpunkte; Rohe SVI-Parameter können sich gegenseitig kompensieren. - Überprüfen Sie angepasste Optionspreise anhand von Bid/Ask, nicht nur anhand eines statistischen Durchschnittsfehlers. - Erzwingen Sie nichtnegative Gesamtvarianz, Butterfly-/Dichtebeschränkungen und gültige asymptotische Flügel. - Testen Sie die Monotonie des Kalenders über alle Abläufe hinweg in konsistenten Koordinaten und bewahren Sie erklärbare Ereignisschritte. - Überprüfen Sie die Interpolation zwischen Abläufen und die Extrapolation über die angegebenen Flügel hinaus. Das meiste Risiko kann außerhalb des geeigneten Bereichs liegen. - Berechnen Sie Preise und Griechen auf dichten Strike-/Laufzeitgittern neu und vergleichen Sie numerische Ableitungen über Gittergrößen hinweg. - Markieren Sie Schätzungen fehlender Knoten als Modellwerte und nicht als Marktbeobachtungen. - Parametersprünge und Residuen im Zeitverlauf überwachen; Eine stabile Preisoberfläche kann instabile Rohparameter haben. - Behandeln Sie die Entfernung eines Angebots von SVI nicht als Arbitrage, bis die ausführbaren Paketpreise, Gebühren, Dividenden und Einschränkungen überprüft wurden. - Versionieren Sie die Daten, die Vorwärtskurve, den Löser, die Einschränkungen, die Gewichte und die Fallback-Regeln, damit eine Markierung reproduziert werden kann. ## Häufige Irrtümer - **„SVI ist ein Prognosemodell für stochastische Volatilität.“** Ein kalibriertes Segment ist eine statische Parametrisierung mit impliziter Gesamtvarianz. - **„`σ` ist die implizite Volatilität der Option.“** Es ist der Mittenbreitenparameter von Raw SVI; IV ist `√(w/T)`. - **„`a` ist ATM-Varianz.“** Andere Parameter und `m` bestimmen ebenfalls den Wert und das Minimum in der Nähe von ATM. - **„Fünf gültige Parametergrenzen machen das Lächeln Arbitrage-frei.“** Die Bedingungen für Butterfly-, Wings- und Cross-Maturity-Kalender bleiben bestehen. - **„Ein niedrigerer RMSE ist immer eine bessere Oberfläche.“** Es kann dem Lärm entgegenkommen oder wirtschaftlich kritische Einschränkungen verletzen. - **„Jeder Ablauf kann unabhängig angepasst werden.“** Gute Slices können sich überschneiden und bei Kombination eine Kalenderarbitrage implizieren. - **„Ein SVI-Residuum ist ein Handelssignal.“** Schlechte Daten, Illiquidität, Sonderdividenden und unterschiedliche Ausführungskosten können dies erklären. ## Verwandte Themen - [Implizite Volatilität](/de/options/implied-volatility/) - [Lokales Volatilitätsmodell](/de/options/local-volatility-model/) - [Skew-Dynamik](/de/options/skew-dynamics/) - [Optionsmodellrisiko](/de/options/option-model-risk/) ## Akademische Quellen - [Gatheral and Jacquier: Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986) - [Martini and Mingone: No Arbitrage SVI](https://arxiv.org/abs/2005.03340) - [Guo et al.: Generalized Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1137/120900320) - [Gatheral and Jacquier: Convergence of Heston to SVI](https://arxiv.org/abs/1002.3633) Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/svi-volatility-model/index.mdx