--- title: "Optionsbewertung mit dem Trinomialbaum: Drei-Zustands-Gitter und vorzeitige Ausübung" description: "Erstellen Sie ein rekombinierendes Aufwärts-Mitte-Abwärts-Gitter, kalibrieren Sie risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten und prüfen Sie Rückwärtsdiskontierung, vorzeitige Ausübung und Konvergenz." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Optionsbewertung mit dem Trinomialbaum: Drei-Zustands-Gitter und vorzeitige Ausübung > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. ## Direkte Antwort Ein Trinomialbaum bewertet eine Option auf einem diskreten Zeit- und Preisgitter, wobei der Basiswert bei jedem Schritt **steigt, auf einem mittleren Niveau bleibt oder fällt**. Nach der Kalibrierung risikoneutraler Übergangswahrscheinlichkeiten berechnet er die Auszahlungen bei Fälligkeit und arbeitet durch Diskontierung des wahrscheinlichkeitsgewichteten Werts an jedem Knoten bis zum heutigen Wert zurück. Der zusätzliche mittlere Zweig bietet mehr Freiheitsgrade als ein Binomialbaum, um Momente abzugleichen, Knoten an Ausübungspreisen oder Barrieren auszurichten und das numerische Verhalten zu verbessern. Dadurch wird der Preis nicht automatisch genauer. Parametrisierung, Schrittzahl, Dividenden, Ausübungsregel, Randbehandlung und Markteingaben bestimmen das Ergebnis. Bäume sind besonders für Optionen amerikanischer Art geeignet, weil an jedem Knoten Fortführungswert und sofortige Ausübung verglichen werden können. Die drei Kurse sind Rechenzustände und keine Vorhersage der einzigen Kurse, die eine Aktie tatsächlich annehmen wird. Dieser Beitrag behandelt die theoretische Bewertung einfacher Aktienoptionen, insbesondere von OCC emittierter, an US-Börsen notierter Optionen, mit Prüfstand 2026-08-22. Brokerfreigabe, Kontomargin sowie steuerliche und rechtliche Behandlung hängen von Produkt und Rechtsordnung ab; aktuelle Vertrags- und Kontobedingungen sind beim Broker, an der Börse, in OCC-Unterlagen und bei qualifizierten Beratern zu prüfen. ## Gitter- und Rückwärtsinduktion Definieren Sie für die Schrittlänge `Δt` Kursmultiplikatoren `u > m > d` und Wahrscheinlichkeiten `pᵤ`, `pₘ`, `p_d`. Ein rekombinierender Baum ist so parametrisiert, dass Pfade wie „erst aufwärts, dann abwärts“ zu einem vorhandenen Knoten zurückkehren und die Knotenanzahl überschaubar bleibt. Dabei sind `r` und `q` stetig verzinste Sätze für den jeweiligen Schritt. Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten müssen mindestens Folgendes erfüllen: `pᵤ + pₘ + p_d = 1` und, mit kontinuierlicher Dividendenrendite `q`, `pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)`. Ein konkretes Trinomialschema ergänzt Varianz- oder Momentenbedingungen, um die drei Wahrscheinlichkeiten und Multiplikatoren festzulegen; Normierung und erwartetes Wachstum allein vervollständigen einen Einperiodenmarkt mit drei Zuständen nicht und bestimmen kein eindeutiges risikoneutrales Maß. Alle Wahrscheinlichkeiten müssen zwischen null und eins liegen. Negative „Wahrscheinlichkeiten“ weisen auf ein ungültiges Gitter oder unvereinbare Parameter hin, nicht auf eine handelbare Prognose. Legen Sie bei Ablauf `V = max(S−K,0)` für einen Kaufoption (Call) oder `max(K−S,0)` für einen Verkaufsoption (Put) fest. An jedem früheren Knoten liegt der europäische Fortsetzungswert `V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`. Für eine amerikanische Option verwenden Sie `V = max(V_continue, intrinsic value)`. Bis zur Wurzel wiederholen. Bei diskreten Bardividenden müssen die Aktienbaum- oder Knotenübergänge den Rückgang ohne Dividende widerspiegeln. Griechen können aus benachbarten Knoten geschätzt werden, aber die Gitterausrichtung und endliche Differenzen führen zu numerischem Rauschen. ## Ein-Schritt-Beispiel Seien `S₀ = $100`, der Ausübungspreis des Put `K = $105` und der risikofreie Wachstumsfaktor für einen Schritt `R = 1.02`. Verwenden Sie `u = 1.10`, `m = 1.00`, `d = 0.90` und die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Dies sind hypothetische Lehrwerte ohne Dividende, keine Kalibrierung an eine quotierte Option oder einen Marktdatensatz. `pᵤ = 0.35`, `pₘ = 0.50`, `p_d = 0.15`. Sie summieren sich zu eins, und das erwartete Aktienwachstum beträgt `0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`. | Aktienkurs am Ende | Put-Auszahlung `max(105−S,0)` | Wahrscheinlichkeitsgewichtete Auszahlung | | ---: | ---: | ---: | | `$110` | `$0` | `$0` | | `$100` | `$5` | `$2.50` | | `$90` | `$15` | `$2.25` | Der europäische Put-Wert beträgt `V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`. Beim amerikanischen Put beträgt der sofortige Ausübungswert an der Wurzel `$105 − $100 = $5`. Da `$5 > $4.6569`, wählt dieses Ein-Schritt-Modell die Ausübung und bewertet den amerikanischen Put mit `$5`. Zur Gegenprüfung unter denselben europäischen Annahmen ohne Dividende zahlt der entsprechende Call nur im Aufwärtszustand `$5`, also `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`. Dann gilt `C − P = −$2.9412`, passend zu `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`. ## Modellprüfungen und Risiken - Geben Sie die genaue Baumparametrisierung an; „trinomial“ allein legt `u`, `d` und die Wahrscheinlichkeiten nicht fest. - Verwerfen Sie negative Wahrscheinlichkeiten und prüfen Sie die risikoneutralen Wachstums- und Varianzbedingungen. - Erhöhen Sie die Schrittzahl und dokumentieren Sie die Konvergenz, statt einem einzelnen Gitter zu vertrauen. - Vergleichen Sie europäische Ergebnisse unter gleichen Annahmen mit Black-Scholes und prüfen Sie inneren Wert sowie Arbitragegrenzen. - Stellen Sie amerikanische den europäischen Werten gegenüber und untersuchen Sie die Ausübungsgrenze. - Modellieren Sie diskrete Dividenden, Zinssätze, Leihkosten, Ausübungsart, Abwicklung und Vertragsanpassungen korrekt. - Richten Sie wichtige Ausübungspreise, Barrieren und Dividendentermine möglichst am Gitter aus. - Unterziehen Sie Volatilität, Schrittzahl, Zeitdiskretisierung und Randbedingungen Stresstests. - Trennen Sie den Modellwert von ausführbaren Bid/Ask-Kursen, Gebühren, Slippage und verfügbarem Volumen. - Nutzen Sie eine unabhängige Implementierung oder Referenzfälle, um Indexierungs- und Diskontierungsfehler aufzudecken. ## Häufige Irrtümer - „Die drei Zweige prognostizieren steigende, unveränderte und fallende Kurse.“ Sie sind für die Bewertung kalibrierte Rechenzustände. - „Die Wahrscheinlichkeiten sind historische Häufigkeiten.“ Es sind vom Modell bestimmte risikoneutrale Gewichte. - „Mehr Zweige garantieren Genauigkeit.“ Ein schlecht kalibrierter Trinomialbaum liefert weiterhin falsche Ergebnisse. - „Die vorzeitige Ausübung im Beispiel beweist, dass ein realer Inhaber jetzt ausüben sollte.“ Die Aussage hängt von einem groben Gitter und fehlenden Eingaben ab. - „Der Modellpreis ist ein fairer, ausführbarer Kurs.“ Ausführungen hängen von Angebot und Nachfrage, Spreads, Beständen und Kosten ab. - „Konvergenz beweist, dass das Modell wahr ist.“ Sie zeigt nur numerische Stabilität innerhalb der Annahmen, nicht deren Markttauglichkeit. ## Verwandte Themen - [Binomiale Optionspreise](/de/options/binomial-option-pricing/) - [Black-Scholes-Modell](/de/options/black-scholes-model/) - [Frühübung](/de/options/early-exercise/) - [Risikoneutrale Preisgestaltung](/de/options/risk-neutral-pricing/) ## Maßgebliche Quellen - [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216) - [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132) - [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula) - [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options) - [OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/trinomial-tree-option-pricing/index.mdx