--- title: "Varianz-Swap-Replikation: Von einem Optionsstreifen zum Varianz-Exposure" description: "Erfahren Sie, wie ein Streifen aus Optionen aus dem Geld einen Log-Kontrakt und die faire Varianz annähert, wie die Gewichte je Ausübungspreis berechnet werden und welche Replikationsfehler entstehen können." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Varianz-Swap-Replikation: Von einem Optionsstreifen zum Varianz-Exposure > Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen. Geltungsbereich: Dieser Artikel erläutert eine beispielhafte Näherung für die faire Varianz mit europäischen Optionen unter den genannten Annahmen zu stetigen Pfaden und zum Markt. Er beschreibt weder einen bestimmten Cboe-Index noch einen OTC-Varianzswap, eine börsengehandelte Option, ein Brokerkonto, eine Margin-Vereinbarung oder eine steuerliche Behandlung. Produktbedingungen, Datenregeln, Zugangsberechtigung, Schutzmechanismen sowie rechtliche und steuerliche Folgen unterscheiden sich nach Handelsplatz, Konto, Rechtsordnung und Zeitpunkt; im Einzelfall sind die aktuellen maßgeblichen Dokumente und qualifizierte Fachleute heranzuziehen. ## Direkte Antwort **Varianz-Swap-Replikation** verbindet die realisierte Renditevarianz mit einem Portfolio, das eine logarithmische Auszahlung, eine dynamisch angepasste Termin- oder Basisposition und Bargeld enthält. Die Terminal-Log-Auszahlung kann wiederum durch ein Kontinuum europäischer Calls und Puts über Strikes hinweg dargestellt werden. Dies führt zu einer praktischen Annäherung an die faire Varianz eines Optionsstreifens. Die Kernaussage lautet nicht: „Alle Optionen kaufen, und schon entsteht Varianz.“ Unter idealisierten Annahmen erhalten Puts aus dem Geld unterhalb eines Referenzausübungspreises und Calls aus dem Geld oberhalb davon Gewichte proportional zu `1/K²`; der Optionsstreifen liefert die Konvexität am Laufzeitende, während der dynamische Handel entlang des Pfads diese Auszahlung mit der realisierten Varianz verknüpft. Reale Märkte bieten nur diskrete Strikes, endliche Tails, Bid/Ask Quotes, diskrete Absicherung und vertragsspezifische Abwicklung. Das Ergebnis ist eine Annäherung mit explizitem Replikations- und Ausführungsrisiko, keine garantierte Arbitrage. ## Vom Log-Kontrakt zum Optionsstreifen Für eine kontinuierliche Diffusion setzt die Formel von Itô, angewendet auf den Logarithmus des Preises, die kumulativen quadrierten Erträge mit einer dynamisch gehandelten Position und einer terminalen logarithmischen Auszahlung in Beziehung. Eine statische Replikationsidentität zerlegt dann eine ausreichend reibungslose Endauszahlung in Bargeld, einen Forward und Optionen über alle Strikes hinweg. Für die logarithmische Auszahlung beträgt die Optionsdichte `1/K²`. Eine weit verbreitete diskrete Fair-Varianz-Näherung ist: `σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²` Dabei ist `T` die Restlaufzeit in Jahren, `F` der aus den Optionen abgeleitete Forward, `K₀` der erste Ausübungspreis bei oder unter `F`, `R` der laufzeitkongruente risikofreie Zinssatz und `Q(Kᵢ)` der ausgewählte Optionspreis. Bei einer Konstruktion nach Cboe-Art werden OTM-Puts für `KᵢK₀` und der Mittelwert aus Put und Call bei `K₀` verwendet. Für einen inneren Ausübungspreis gilt `ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2`; an den Rändern wird das benachbarte Intervall genutzt. Der Faktor `1/K²` ist nur ein Teil des Gewichts. Strike-Abstand `ΔK`, Zeit, Kurse, Preis, Forward-Anpassung und Optionsauswahlregeln sind alle wichtig. Das Ergebnis ist die annualisierte Varianz; Das Ziehen der Quadratwurzel und die Multiplikation mit 100 ergibt nur dann eine Zahl im Volatilitätsstil, wenn die Varianz nicht negativ ist und die Konventionen übereinstimmen. Die VIX-Methodik ist eine beobachtbare Implementierung im Zusammenhang mit der Varianz-Swap-Mathematik, aber VIX selbst ist ein Index mit vorgeschriebenen Optionsauswahl-, Interpolations-, Timing- und Verbreitungsregeln. Es ist nicht identisch mit jedem OTC-Varianz-Swap-Kontrakt oder seinem realisierten Teil. ## Beispiel für einen One-Strike-Beitrag Betrachten Sie einen OTM-Put in einem 30-Tage-Streifen. Es gelten `T=30/365`, `R=4%`, Ausübungspreis `K=90`, Abstand zu den benachbarten Ausübungspreisen `ΔK=5` und ausgewählter Optionspreis `Q(K)=$0.60` je Indexeinheit. Sein Beitrag zur Summe einschließlich des vorangestellten Annualisierungsfaktors beträgt: `(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)` `= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904` Das sind etwa `90.4` Varianzbasispunkte, denn ein Varianzbasispunkt entspricht `0.0001`. Dies ist **nicht** die gesamte faire Varianz, und `√0.00904≈9.51%` ist nicht die endgültige Volatilität des Streifens. Alle zulässigen Ausübungspreise müssen addiert und anschließend der Forward-Korrekturterm abgezogen werden. Angenommen, eine veraltete Quote setzt den ausgewählten Preis dieses Puts auf `$0.90` statt `$0.60`. Sein berechneter Beitrag erhöht sich um 50% auf rund `0.01356`. Dies zeigt, wie stark Tail-Quotes, Auswahlregeln und Liquidität eine Schätzung trotz korrekter Formel beeinflussen können. Bei börsennotierten Aktienoptionen gelten die angegebenen Prämien normalerweise pro Aktie und ein Standardvertrag hat üblicherweise einen Multiplikator von 100 Aktien. Diese vertragliche Barumrechnung ist vom normalisierten Index oder der Varianzformel getrennt. Fügen Sie niemals den Multiplikator ein, es sei denn, die Methodik erfordert dies. ## Replikationslücken und Kontrollen - Verwenden Sie Calls, Puts, Forward, Zinssätze und Zeitstempel derselben Fälligkeit und desselben Beobachtungszeitpunkts; asynchrone Quotes können eine falsche Oberfläche erzeugen. - Leiten Sie `F` und `K₀` nach einer einheitlichen dokumentierten Methode ab, statt den Forward mechanisch durch den Kassakurs zu ersetzen. - Wenden Sie die Regeln für Ausübungspreisauswahl, Bid oder Ask von null, Mittelwert, Randpunkte und Interpolation exakt an; diese Entscheidungen verändern den Streifen. - Überprüfen Sie sowohl Bid als auch Ask. Eine glatte Mittelwertberechnung beweist nicht, dass das gesamte Portfolio gleichzeitig gehandelt werden kann. - Quantifizieren Sie die Tail-Kappung. Fehlende Puts mit niedrigen und Calls mit hohen Ausübungspreisen lassen das theoretische Kontinuum unvollständig. - Vergleichen Sie mehrere Strike-Raster und Kursfilter, um Diskretisierung und Sensibilität gegenüber veralteten Preisen aufzudecken. - Passen Sie die Definition der realisierten Varianz an: logarithmische oder einfache Renditen, Beobachtungskalender, Stichprobenhäufigkeit, Annualisierung, Störungsregeln und Abrechnungspreis. - Identitäten mit kontinuierlichem Pfad können zu Sprüngen und Fehlern bei der diskreten Abtastung führen. Dynamische Absicherung bringt auch Gap-, Liquiditäts- und Transaktionskostenrisiken mit sich. - Kapitalmaßnahmen, Dividenden, amerikanische Ausübung (englisch: exercise), Abwicklungsstil, Steuern, Marge und Vertragsanpassungen können die Ausführung börsennotierter Optionen von der idealisierten europäischen Ableitung unterscheiden. - Ein Varianznominal kann ein nichtlineares Geldbetragsrisiko erzeugen. Prüfen Sie Auszahlungsobergrenze, Varianz-Strike, Nominalkonvention und Abrechnungsbedingungen des Vertrags. ## Häufige Irrtümer - **„Allein die Regel `1/K²` gibt die Gewichtung an.“** `ΔK`, Optionspreis, Diskontierung, Zeit, Auswahl und Vorwärtsanpassung sind ebenfalls erforderlich. - **„Nur Optionen am Geld bestimmen die Varianz.“** Die Konstruktion nutzt einen breiten Querschnitt von OTM-Puts und -Calls. - **„Der Optionsstreifen allein zahlt genau die realisierte Varianz.“** Die theoretische Identität enthält auch dynamische Handels- und Bargeldbedingungen. - **„VIX ist ein Varianzswap.“** Es handelt sich um einen Index, der nach einer eigenen Methodik berechnet wird; Vertragsauszahlungen und realisierte Legs müssen separat überprüft werden. - **„Entferntere Ausübungspreise können ignoriert werden, da ihre Prämien gering sind.“** Der Schwanz hilft bei der Darstellung extremer Zustände und Kürzungen führen zu Fehlern. - **„Eine modellfreie Formel hat keine Annahmen.“** Sie verringert die Abhängigkeit von einem gewählten stochastischen Volatilitätsmodell, verlässt sich aber dennoch auf Markt-, Pfad-, Stichproben- und Implementierungsbedingungen. - **„Eine korrekte Kalkulationstabelle gewährleistet eine ausführbare Absicherung.“** Große Spreads, veraltete Kurse, Teilfüllungen, Margin und Rebalancing-Kosten bleiben bestehen. ## Verwandte Themen - [Varianzrisikoprämie](/de/options/variance-risk-premium/) - [Implizite Volatilität](/de/options/implied-volatility/) - [Implizite und realisierte Volatilität](/de/options/iv-and-rv/) - [Optionsmodellrisiko](/de/options/option-model-risk/) ## Maßgebliche Quellen - [Ein Leitfaden zu Volatilitäts- und Varianz-Swaps](https://doi.org/10.3905/jod.1999.319129) – Kresimir Demeterfi, Emanuel Derman, Michael Kamal und Joseph Zou - [Varianzrisikoprämien](https://doi.org/10.1093/rfs/hhn038) – Peter Carr und Liuren Wu - [Cboe Volatility Index Mathematics Methodology](https://cdn.cboe.com/resources/indices/Cboe_Volatility_Index_Mathematics_Methodology.pdf) – Cboe Global Indices - [Merkmale und Risiken standardisierter Optionen](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) – Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/de/options/variance-swap-replication/index.mdx