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title: "Valoración binomial de opciones: réplica, carry, ejercicio anticipado y convergencia"
description: "Construya y valide un árbol recombinante, separe carry y descuento, replique valores nodales y controle ejercicio anticipado, convergencia y límites de ejecución."
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# Valoración binomial de opciones: réplica, carry, ejercicio anticipado y convergencia

> Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

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## Respuesta directa

Un modelo binomial valora una opción en una retícula de estados discretos; no pronostica que el subyacente vaya a realizar literalmente solo dos movimientos. En cada nodo aplica un factor alcista `u` o bajista `d`, valora los flujos contractuales terminales y retrocede hasta hoy. Bajo un mercado completo con un único factor de riesgo, el mismo valor nodal puede verificarse mediante una cartera local de acciones y efectivo que lo replica.

Para un paso de longitud `Delta t`, separe el factor de crecimiento de financiación `B = exp(r Delta t)` del factor de crecimiento por carry del subyacente `G = exp((r - q) Delta t)`. Con un rendimiento proporcional continuo `q`, el peso de valoración sin arbitraje es

`p = (G - d) / (u - d)`, sujeto a `d < G < u`.

La continuación europea es `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`. En un nodo donde el tenedor puede ejercer, el valor americano o bermudeño es `V = max(H,C)`, con `H` como valor de ejercicio inmediato y `C` como valor de continuación. El marco produce un valor de modelo por unidad del subyacente; multiplicador, cantidad, liquidación oficial, precios ejecutables, comisiones, margen y crédito siguen siendo elementos separados.

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## Mecanismo

1. **Fije el derecho y el reloj.** Registre subyacente y serie exactos, call o put, strike, hora de valoración, vencimiento y cómputo de días, fechas y estilo de ejercicio, liquidación oficial, multiplicador, entregable, moneda, dividendos, préstamo, ajustes y unidades de salida.
2. **Elija y documente la retícula.** Defina `N`, `Delta t = T / N` y una parametrización. La elección CRR habitual es `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` y `d = 1 / u`; otros árboles pueden igualar momentos distintos y converger de otra forma.
3. **Separe carry y descuento.** Construya `B = exp(r Delta t)` con la tasa cero coherente con el modelo y `G = exp((r - q) Delta t)` con el carry continuo; después calcule `p = (G - d) / (u - d)`. Un dividendo en efectivo conocido exige tratar explícitamente el nodo ex dividendo y puede romper la recombinación simple.
4. **Construya estados y derechos terminales.** En un árbol recombinante de factores constantes, `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`. Aplique la regla contractual de call, put, efectivo, entrega física o ajustada, barrera, promedio u otra regla terminal a la variable oficial; la dependencia de trayectoria exige estado adicional.
5. **Retroceda y pruebe el ejercicio.** Descuente el valor neutral al riesgo de los hijos en cada nodo. Para derechos europeos use continuación; para americanos compare `H` y `C` en cada fecha permitida; para bermudeños compare solo en las fechas contractuales y respete aviso y liquidación.
6. **Valide réplica y cálculo.** En cada nodo de un paso, calcule `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` y la posición de efectivo `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`. Revise pagos por estado, límites, paridad, duplicación de pasos, oscilación par-impar, otros árboles, código independiente y frontera de ejercicio.
7. **Lleve la salida del modelo a la cuenta.** Calibre curvas, dividendos, préstamo y la superficie strike-vencimiento; convierta el valor unitario mediante multiplicador y cantidad reales; compare bid y ask ejecutables; someta a estrés cobertura discreta, gaps, costes, liquidez, margen, asignación, liquidación, impuestos y versión del modelo.

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## Ejemplos resueltos

- **Réplica de un período.** Sea `S0 = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`, y una call europea con `K = $100`. Entonces `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`; los pagos son `$20/$0`; y `C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`. La réplica da `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` y `b = -$38.095238`. La cartera paga `$60 - $40 = $20` al alza y `$40 - $40 = $0` a la baja; su coste inicial es `$50 - $38.095238 = $11.904762`.
- **Put americana y ejercicio anticipado.** Use un árbol de dos pasos con `S0 = $100`, `K = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`; por tanto `p = 0.625`. Los pagos terminales del put para `$144/$96/$64` son `$0/$4/$36`. En el primer nodo alcista, continuación es `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571`, superior al intrínseco `$0`. En el nodo bajista es `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095`, inferior al ejercicio inmediato `$20`, por lo que se ejerce. El valor americano es `$7.993197`, el europeo `$6.292517` y la prima discreta por ejercicio anticipado `$1.700680`.
- **Carry y convergencia no monótona.** Sea `S0 = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5%` con capitalización continua, rendimiento continuo `q = 2%` y `sigma = 20%` anualizada. Con CRR, la call europea vale `$11.073541` con un paso, `$8.342293` con dos, `$9.855621` con tres, `$8.760327` con cuatro y, con `64` pasos, `$9.196691`, acercándose al valor Black-Scholes-Merton coherente de `$9.227006`. Más pasos mejoran el límite del modelo, pero no tienen que moverse monótonamente ni corrigen flujos erróneos.
- **Valor de modelo frente a dólares ejecutables.** Reutilice el valor por acción `$11.904762`, pero suponga mercado ejecutable `$11.60 bid / $12.20 ask`. Comprar un contrato estándar con `M = 100` y `Q = 1` cuesta `$12.20 x 100 = $1,220`, frente al importe de modelo `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`, diferencia de `$29.5238` antes de comisiones. Vender inmediatamente al bid devuelve `$11.60 x 100 = $1,160`, pérdida de ida y vuelta de `$60`. El `Delta = 0.50` equivale a `50` acciones con ese multiplicador, pero reajustes discretos, gaps, préstamo y ejecución impiden garantizar la réplica.

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## Lista de control del modelo y ciclo de vida

- Case subyacente, raíz, call o put, strike, vencimiento, estilo de ejercicio, liquidación, multiplicador, moneda y entregable exactos.
- Fije hora de valoración, calendario, zona horaria, fracción anual, pasos, fechas nodales y tratamiento de días hábiles.
- Declare la parametrización y si sus momentos, carry, sesgo u otros objetivos coinciden con el modelo previsto.
- Mantenga `B` para descuento separado de `G` para carry cuando importen dividendos, tasas extranjeras, rendimiento de conveniencia o préstamo.
- Exija `d < G < u`; si `p` queda fuera de `[0,1]`, falla el esquema sin arbitraje: no es una probabilidad pronosticada.
- Separe el rendimiento continuo `q` de distribuciones conocidas discretas, especiales, inciertas o dependientes de trayectoria.
- Verifique el pago terminal con liquidación oficial, entrega monetaria o física, contratos ajustados y acciones corporativas.
- Añada estado suficiente para barreras, promedios, lookbacks, múltiples activos, volatilidad o tasas estocásticas, crédito y demás dependencia de trayectoria.
- Aplique ejercicio anticipado solo al titular del derecho contractual y en fechas válidas antes de los plazos de aviso.
- Distinga conjuntos de oportunidades americano, bermudeño y europeo de liquidación monetaria, física o por futuros.
- Registre cada nodo donde `H` supera `C` y pruebe la sensibilidad de la frontera a dividendos, tasas, préstamo y parámetros numéricos.
- Verifique réplica nodal y pagos cuando los supuestos impliquen completitud; no suponga cobertura continua sin coste en la práctica.
- Revise límites sin arbitraje, paridad, monotonicidad, convexidad y casos límite antes de confiar en un precio.
- Compare varios números de pasos, secuencias pares e impares, duplicación, otras parametrizaciones y una implementación independiente.
- No trate oscilación, decimales estables o coincidencia entre rutas de código relacionadas como prueba de exactitud.
- Calibre toda la superficie y curvas relevantes; una volatilidad histórica o cotización ATM no es universal.
- Separe valor de modelo, midpoint teórico, marca bursátil, liquidación oficial, bid ejecutable, ask ejecutable y precio de liquidación.
- Convierta salidas unitarias con multiplicador y cantidad reales; los contratos ajustados o no estándar pueden no usar `100`.
- Estrese bid-ask, ejecuciones parciales, momento de cobertura discreta, saltos, suspensiones, liquidez, financiación, préstamo, margen, asignación y liquidación del bróker.
- Conserve entradas, fuente de datos, versión de dividendos y acciones corporativas, código y solver, pruebas de convergencia, aprobaciones, gastos, impuestos y conciliación final.

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## Errores comunes

- **"La probabilidad neutral al riesgo pronostica el siguiente movimiento."** `p` es un peso de valoración coherente con activos negociables y supuestos sin arbitraje, no un pronóstico físico.
- **"El factor libre de riesgo siempre entra en ambas fórmulas."** El descuento usa `B` y el peso del subyacente usa el factor de carry `G`; coinciden solo en el caso simplificado sin rendimiento.
- **"Más pasos garantizan un precio correcto."** El refinamiento solo aborda la discretización de un modelo; puede oscilar y no corrige dividendos, volatilidad, liquidación o ejercicio erróneos.
- **"El valor americano es el europeo más una prima fija."** El valor de ejercicio anticipado depende de estado, fecha, tasas, dividendos, préstamo y modelo, y puede ser cero.
- **"La réplica vuelve libre de riesgo el precio de pantalla."** La prueba supone completitud y ausencia de fricciones; persisten spreads ejecutables, coberturas discretas, gaps, financiación, margen, impuestos y liquidación.

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## Temas relacionados

- [Opciones americanas y europeas](/es/options/american-and-european/)
- [Modelo Black-Scholes](/es/options/black-scholes-model/)
- [Volatilidad implícita](/es/options/implied-volatility/)

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## Fuentes autorizadas

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier; establece la réplica discreta CRR y el marco neutral al riesgo bajo sus supuestos, no entradas actuales ni precio ejecutable.
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley; desarrolla la valoración de dos estados, no afirma que los precios reales tengan solo dos resultados ni que todo mercado incompleto tenga precio único.
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis; respalda oscilación, parametrización y convergencia en los modelos estudiados, no límites de error universales.
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier; respalda convergencia del put americano y límites de aceleración en los árboles analizados, no todos los productos o precios.
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press; respalda cotas y comparaciones bajo supuestos concretos, no política de ejercicio del bróker ni exactitud garantizada.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; cubre derechos, ejercicio, asignación, liquidación, ajustes y riesgos, no calibración binomial ni recomendación.
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation; documenta una variante CRR propia para determinados servicios de delta, no la implementación de este artículo ni un precio universal.
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets; ofrece herramientas educativas actuales de precio teórico y griegas, no cotización ejecutable, validación independiente ni garantía de supuestos contractuales.

Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/binomial-option-pricing/index.mdx