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title: "Movimiento browniano geometrico: medidas, simulacion exacta y riesgo de modelo"
description: "Audite el GBM mediante las medidas fisica y neutral al riesgo, los momentos lognormales, la simulacion exacta frente a Euler, el error de Monte Carlo, la observacion de trayectorias y las limitaciones del modelo."
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# Movimiento browniano geometrico: medidas, simulacion exacta y riesgo de modelo
> Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversion. Invertir puede ocasionar perdidas.
## Respuesta directa
Bajo la medida fisica `P`, el movimiento browniano geometrico con parametros constantes es `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`. Su solucion exacta es `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]`, por lo que `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)` y los precios a horizonte finito son estrictamente positivos.
Aqui `mu` es el parametro instantaneo de crecimiento esperado del precio, no el crecimiento medio del rendimiento logaritmico. Bajo la medida neutral al riesgo `Q`, un activo ex dividendo con rendimiento continuo `q` sigue `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`. Estas medidas responden preguntas distintas y utilizan movimientos brownianos distintos; las probabilidades neutrales al riesgo no son previsiones de rentabilidad.
## Construya y valide el GBM en siete pasos
1. Indique si la tarea es una prevision fisica, una valoracion neutral al riesgo, una prueba de tension, una prueba numerica o docencia; no mezcle resultados de `P` y `Q`.
2. Fije `S_0`, moneda, convencion de precio o rentabilidad total, `mu` o `r - q`, volatilidad, tipos, dividendos, horizonte, marca temporal, computo de dias, capitalizacion y tratamiento de operaciones societarias.
3. Escriba la EDE especifica de la medida, la solucion exacta y las unidades. Bajo `P`, `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` y `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`.
4. Valide la media y varianza del rendimiento logaritmico, la media, varianza, mediana, moda y cuantiles del precio, y la diferencia entre rendimiento simple y logaritmico antes de usar trayectorias o pagos.
5. Para un GBM constante por tramos, simule con `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]`, variables independientes `Z_i ~ N(0,1)`, un generador registrado y una semilla reproducible. Compare Euler solo como estudio de discretizacion.
6. Informe el numero de trayectorias, estimador, error estandar, intervalo de confianza y convergencia. Para barreras, extremos, primer paso u observacion discreta, trate los cruces entre pasos con puentes brownianos o una aproximacion de observacion explicita.
7. Separe el error de parametros, muestreo, discretizacion y estructura del modelo; someta a tension saltos, volatilidad estocastica, colas pesadas, apalancamiento, impago, liquidez, suspensiones, costes de transaccion, liquidacion y cambios de regimen.
## Cuatro ejemplos desarrollados
- **Momentos de la distribucion fisica.** Sean `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` y `T = 1`. La media del rendimiento logaritmico es `0.06` y su varianza `0.04`. La mediana es `$106.1836546545`, la media `$108.3287067675`, la moda `$102.0201340027`, la varianza `$478.9188716836` y la desviacion estandar `$21.8842151261`. Los choques `Z = -1` y `Z = +1` producen `$86.9358235399` y `$129.6930086666`; son escenarios, no limites.
- **Trayectoria exacta frente a Euler.** Con `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` y `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]`, los precios exactos son `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` y `$117.9393118711`. Euler termina en `$119.3300424062`. La transicion exponencial exacta conserva la positividad con estos coeficientes constantes; Euler tiene sesgo de discretizacion y puede generar valores negativos.
- **Valor neutral al riesgo de una opcion.** Sean `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` y `T = 0.75`. El forward es `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995` y `d_2 = -0.2470027504`; el valor de la call europea es `$7.2291486749`. La deriva fisica `mu` no interviene en este precio controlado por ausencia de arbitraje.
- **Error de muestreo de Monte Carlo.** Bajo `P`, tome `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` y `T = 0.5`. Para `S_T > $120`, el umbral es `z_star = 0.9217649222` y la probabilidad exacta `0.1783256040`. Con `N = 100,000` trayectorias independientes, el error estandar teorico de Bernoulli es `0.0012104775`; una semiamplitud al `95%` es `0.0023725358`, lo que da el intervalo de referencia centrado en la verdad `[0.1759530681, 0.1806981400]`. Mas trayectorias reducen el error de muestreo, no el de modelo.
## Riesgos de datos, numericos y de modelo
- Mezclar medidas fisicas y neutrales al riesgo o sus movimientos brownianos.
- Tratar `mu` como crecimiento medio del rendimiento logaritmico o como rendimiento simple finito.
- Confundir precio ex dividendo, rentabilidad total y distribuciones reinvertidas.
- Mezclar `r`, `r - q`, dividendos discretos, capitalizacion y convenciones de forward.
- Mezclar unidades temporales de calendario, negociacion, intradia y anualizadas.
- Aplicar la volatilidad como porcentaje en vez de decimal o con una anualizacion incorrecta.
- Usar parametros obsoletos, datos revisados, informacion futura o marcas temporales incoherentes.
- Confiar en una estimacion corta y ruidosa de la deriva para anticipar la direccion.
- Suponer incrementos logaritmicos gaussianos, estacionarios e independientes en todo regimen.
- Considerar compatible la volatilidad constante con la sonrisa, estructura temporal, agrupamiento y efecto de apalancamiento.
- Omitir saltos, gaps nocturnos, impagos a cero y suspensiones de negociacion.
- Suponer que un modelo lognormal captura colas pesadas y dependencia en crisis.
- Ignorar tipos, dividendos y coste de prestamo estocasticos o la correlacion multiactivo.
- Usar Euler cuando existe una transicion GBM exacta o ignorar que puede producir precios negativos.
- No registrar generador, semilla, metodo antitetico o de reduccion de varianza y datos de reproducibilidad.
- Informar trayectorias sin error estandar del estimador, intervalo de confianza y convergencia.
- Omitir cruces de barrera entre pasos, extremos y sucesos de primer paso.
- Confundir mas pasos temporales con menor error estructural del modelo.
- Tratar el ajuste a un precio o momento de la distribucion como validacion del modelo.
- Omitir precios ejecutables, liquidez, costes, cierre del mercado, liquidacion del producto, gobierno y conciliacion.
## Errores frecuentes
- **"El GBM predice el precio de una accion."** Define una distribucion condicional bajo parametros elegidos.
- **"La deriva del rendimiento logaritmico es mu."** Es `mu - 0.5 sigma^2` con la notacion fisica utilizada aqui.
- **"La probabilidad neutral al riesgo es una prevision real."** Es una medida de valoracion bajo supuestos de mercado declarados.
- **"Mas pasos o trayectorias hacen realista el modelo de mercado."** Abordan el error de discretizacion o muestreo, no la economia ausente.
- **"Los precios lognormales positivos limitan el riesgo bajista."** Pueden acercarse arbitrariamente a cero y el GBM omite el impago repentino.
## Temas relacionados
- [Modelo Black-Scholes](/es/options/black-scholes-model/)
- [Valoracion de opciones por Monte Carlo](/es/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [Modelo de opciones con difusion de saltos](/es/options/jump-diffusion-option-model/)
## Fuentes primarias y academicas
- [Sobre ecuaciones diferenciales estocasticas](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Matematicas del precio especulativo](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [La valoracion de opciones y pasivos corporativos](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Teoria de la valoracion racional de opciones](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Introduccion algoritmica a la simulacion numerica de ecuaciones diferenciales estocasticas](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Distribucion lognormal](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Valoracion de opciones cuando los rendimientos del subyacente son discontinuos](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [La variacion de ciertos precios especulativos](https://doi.org/10.1086/294632)
Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/geometric-brownian-motion/index.mdx