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title: "Modelo de Heston: varianza neutral al riesgo, motores numericos y calibracion"
description: "Audite Heston mediante parametros neutrales al riesgo, limites de varianza, shocks correlacionados, convenciones de la funcion caracteristica, calibracion ponderada por cotizaciones y validacion numerica."
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# Modelo de Heston: varianza neutral al riesgo, motores numericos y calibracion

> Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversion. Invertir puede ocasionar perdidas.

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## Respuesta directa

Bajo una medida neutral al riesgo habitual `Q`, el modelo de Heston especifica `dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q)` y `dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q)`, con `d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt`. Los cinco parametros de valoracion son `v_0`, `theta`, `kappa`, `xi` y `rho`.

Son parametros de calibracion neutrales al riesgo salvo que se declare un mapeo fisico-neutral mediante la prima de riesgo de varianza. Pueden generar varianza estocastica, skew bajista y efectos temporales, pero un conjunto ajustado no es una verdad unica del mercado, una prevision de volatilidad ni prueba de calidad de cobertura.

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## Construya, calibre y valide en siete pasos

1. Fije el derecho contractual, reglas de ejercicio y liquidacion, moneda, marca temporal, forward, curva de descuento, dividendos, prestamo y si usa medida fisica `P` o de valoracion `Q`.
2. Declare la EDE y unidades: `v_0` y `theta` son varianzas anualizadas, `kappa` tiene unidades `1/year`, `xi` tiene `1/sqrt(year)` y `rho` es adimensional en `[-1, 1]`. Documente cualquier mapeo `P` a `Q` de prima de riesgo de varianza.
3. Exija signos y correlacion admisibles y evalue `2 kappa theta >= xi^2`. El proceso exacto de raiz cuadrada es no negativo; la condicion suficiente de Feller trata de si cero es inalcanzable o hay positividad estricta, y su incumplimiento no vuelve negativa la varianza exacta ni invalida todo precio.
4. Fije la convencion de funcion caracteristica, por ejemplo `phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)]`, junto con coordenadas log-price o log-forward, signo de Fourier, amortiguacion, descuento, ramas de raiz y logaritmo complejos, limite de integracion, malla y tolerancia.
5. Limpie bid, ask, tamano, forward, descuento, dividendos y operaciones societarias sincronizados y ejecutables. Elimine con reglas documentadas datos obsoletos, cruzados, sin tamano o con arbitraje estatico; defina si el objetivo pondera precio, IV, Vega, spread u otra medida.
6. Calibre desde multiples inicios e informe limites, penalizaciones Feller, conjuntos casi optimos alternativos, residuos normalizados por spread, gradientes o condicionamiento del Jacobiano e inestabilidad de parametros, no solo un RMSE.
7. Valide paridad put-call, limite de volatilidad determinista, convergencia de cuadratura y FFT, comprobaciones por diferencias finitas o Monte Carlo, sesgo del esquema, precios fuera de muestra y P/L de cobertura; someta a tension saltos, eventos, liquidez, recalibracion y liquidacion.

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## Cuatro ejemplos desarrollados

- **Momentos y diagnostico Feller.** Sean `v_0 = 0.09`, `theta = 0.04`, `kappa = 2`, `xi = 0.30`, `rho = -0.70` y `t = 0.5`. Entonces `E^Q[v_t] = 0.0583939721`, `sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473`, la semivida es `0.3465735903 year = 4.1588830834 months` y `2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09`. Se cumple la condicion suficiente, pero `sqrt(E[v_t])` no es `E[sqrt(v_t)]` ni una IV de opcion.
- **Construccion de shocks correlacionados.** Con `rho = -0.70`, `Z_S = -1.2` y el independiente `Z_perp = 0.5`, use `Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214`. Para `S = $100`, `v = 0.04`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `kappa = 2`, `theta = 0.04`, `xi = 0.30` y `Delta t = 1/252`, un diagnostico Euler simple da `S_next = $98.4980627429`, `v_next = 0.0445245047` y `sqrt(v_next) = 0.2110083048`. Comprueba signo y unidades; Euler simple no es la recomendacion de produccion.
- **Varianza integrada esperada.** Con el primer conjunto y `T = 1.5`, `E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years`. La varianza media esperada es `0.0558368822`, cuya raiz es `0.2362982907`. No es varianza realizada de una trayectoria ni IV cotizada directamente.
- **Los pesos cambian el diagnostico.** Tres cotizaciones tienen bid/ask/modelo/Vega `(5.10, 5.30, 5.18, 12)`, `(2.00, 2.10, 2.08, 4)` y `(0.45, 0.55, 0.60, 1.5)`. Los residuos al midpoint son `-0.02`, `+0.03` y `+0.10`; normalizados por semispread, `-0.2`, `+0.6` y `+2.0`. La SSE de precios es `0.0113`, la SSE por spread `4.40` y los residuos por Vega `-0.0016667`, `+0.0075` y `+0.0666667` decimales de volatilidad. El objetivo cambia que error considera grave el optimizador.

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## Riesgos de modelo, calibracion y numericos

- Mezclar parametros fisicos y neutrales al riesgo u omitir la prima de riesgo de varianza.
- Confundir varianza con volatilidad o aplicar mal la raiz cuadrada.
- Mezclar unidades anualizadas de anos, dias, tipos, dividendos y volatilidad.
- Usar forward, descuento o dividendos continuos o discretos incorrectos.
- Permitir signos invalidos o `rho` fuera de `[-1, 1]`.
- Tratar fallo de Feller como varianza exacta negativa o invalidez automatica.
- Usar Euler ingenuo que genera varianza negativa y pagos sesgados.
- Ignorar sesgo y convergencia entre truncamiento, QE y esquemas exactos.
- Mezclar convenciones de log-price, log-forward, signo Fourier o funcion caracteristica.
- Elegir ramas complejas incoherentes y activar Little Heston Trap.
- Usar corte, resolucion, damping FFT o tolerancia insuficientes.
- Fallar limites deterministas, paridad, probabilidad y pruebas con motores independientes.
- Calibrar cotizaciones obsoletas, asincronas, indicativas, cruzadas o sin tamano.
- Introducir superficies con arbitraje estatico o distorsiones societarias.
- Tratar errores al midpoint como ejecutables ignorando bid-ask y tamano.
- Suponer equivalentes objetivos por precio, IV, Vega y spread.
- Confiar en un inicio pese a minimos locales, direcciones planas e identificacion debil.
- Sobreajustar una superficie sin validar precio y cobertura fuera de muestra.
- Suponer que Heston continuo constante captura saltos, eventos, impago, toda sonrisa y dinamica futura.
- Omitir liquidez, costes, margen, liquidacion, controles de recalibracion y gobierno.

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## Errores frecuentes

- **"Heston predice la volatilidad."** Especifica dinamica condicional tras elegir medida y parametros.
- **"Fallar Feller vuelve negativa la varianza e invalida precios."** Comportamiento exacto del limite y discretizacion son asuntos distintos.
- **"Forma cerrada significa sin numerica."** La valoracion aun requiere inversion de funcion caracteristica y controles numericos.
- **"El mejor ajuste identifica de forma unica dinamica y cobertura."** Distintos conjuntos y objetivos pueden ajustar parecido.
- **"Volatilidad estocastica captura crashes y toda sonrisa."** Heston estandar sigue siendo difusion continua de parametros constantes.

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## Temas relacionados

- [Volatilidad implicita](/es/options/implied-volatility/)
- [Valoracion Monte Carlo de opciones](/es/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [Valoracion por diferencias finitas](/es/options/finite-difference-option-pricing/)

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## Fuentes primarias y academicas

- [Solucion cerrada para opciones con volatilidad estocastica](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Teoria de la estructura temporal de tipos](https://doi.org/10.2307/1911242)
- [Valoracion de opciones mediante FFT](https://doi.org/10.21314/JCF.1999.043)
- [Simulacion simple y eficiente del modelo Heston](https://doi.org/10.21314/JCF.2008.189)
- [Simulacion exacta de volatilidad estocastica y difusiones afines con saltos](https://doi.org/10.1287/opre.1050.0247)
- [Comparacion de esquemas sesgados de simulacion](https://doi.org/10.1080/14697680802392496)
- [La pequena trampa de Heston](https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/Literature/HestonTrap.pdf)
- [Calibracion completa y rapida del modelo Heston](https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.05.018)

Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/heston-model/index.mdx