--- title: "Modelo de volatilidad local: de los precios de opciones a la volatilidad dependiente del estado" description: "Entiende cómo el modelo de volatilidad local de Dupire transforma una superficie de opciones europeas sin arbitraje en una difusión dependiente del estado y por qué un ajuste exacto no garantiza una dinámica realista de la sonrisa." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modelo de volatilidad local: de los precios de opciones a la volatilidad dependiente del estado > Contenido solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Toda inversión puede generar pérdidas. ## Respuesta directa Un **modelo de volatilidad local** define la volatilidad instantánea como una función determinista del precio actual del subyacente y del tiempo. En un modelo sencillo de renta variable neutral al riesgo, `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t`. A diferencia de Black-Scholes, que usa una sola volatilidad constante, una difusión de volatilidad local bien calibrada puede reproducir los precios actuales de opciones europeas para distintos precios de ejercicio y vencimientos. Esa propiedad de calibración se refiere a las distribuciones marginales neutrales al riesgo de hoy; no pronostica la volatilidad realizada ni la superficie de volatilidad implícita de mañana. El modelo proporciona un proceso de trayectorias internamente coherente para valorar y cubrir, pero su dependencia determinista del estado puede producir movimientos futuros de la sonrisa distintos de los observados en el mercado. ## Mecánica de calibración de Dupire Sea `C(K,T)` el precio en el momento cero de una opción de compra europea con precio de ejercicio `K` y vencimiento `T`. Con una tasa de capitalización continua `r` y una rentabilidad por dividendo continua `q` constantes, la ecuación forward de Dupire implica, donde el denominador sea positivo: `σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`. La curvatura `∂²_KK C` es proporcional a la densidad terminal neutral al riesgo descontada. Por tanto, los precios de las opciones de compra deben disminuir y ser convexos respecto del precio de ejercicio, y los cortes por vencimiento deben cumplir las restricciones de calendario ajustadas por el coste de acarreo. Las cotizaciones escasas o incoherentes pueden volver inestable o negativa la varianza inferida. En producción, la calibración suele comenzar con cotizaciones de opciones sincronizadas, factores de descuento, forwards, dividendos y convenciones contractuales. Se ajusta una superficie suave con controles de arbitraje estático antes de calcular derivadas. Después se interpola y acota la cuadrícula de volatilidad local y se comprueba revalorando las opciones usadas en la calibración. La volatilidad local no es la volatilidad implícita cotizada para el mismo precio de ejercicio y vencimiento. La volatilidad implícita es el dato constante de Black-Scholes que iguala el precio de una opción; la volatilidad local es un coeficiente instantáneo de difusión cuya evolución genera todo el conjunto de distribuciones marginales calibradas. ## Ejemplo numérico de Dupire En `K=$100` y `T=1` año, supongamos que una superficie suavizada de opciones de compra da `C=$8`, `∂_T C=10` dólares por año, `∂_K C=-0.45` y `∂²_KK C=0.018` por dólar. Sean `r=5%` y `q=2%`. El numerador es: `10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`. El denominador es `0.5×100²×0.018=90`. Por tanto, la varianza local es `8.81/90=0.0979` y la volatilidad local es `√0.0979=31.3%`. Es una ilustración numérica, no una estimación de mercado. Si un ajuste con más ruido cambiara la curvatura de `0.018` a `0.012` y mantuviera fijos los demás datos, la volatilidad inferida subiría a `√(8.81/60)=38.3%`. Esta sensibilidad muestra la importancia de depurar los datos, suavizar sin arbitraje, diferenciar con estabilidad y comprobar fuera de muestra. ## Lista de control de calibración y riesgo de modelo - Usa cotizaciones ejecutables sincronizadas, forwards, factores de descuento, dividendos, condiciones contractuales y convenciones de liquidación. - Elimina con reglas documentadas las observaciones cruzadas, obsoletas, sin precio comprador o económicamente incoherentes. - Impón monotonía y convexidad por precio de ejercicio y restricciones de calendario ajustadas por acarreo antes de diferenciar. - Prueba la sensibilidad a la interpolación, penalizaciones de suavizado, ponderaciones, espaciado de la cuadrícula, condiciones de contorno y extrapolación. - Revalora todas las opciones vainilla de calibración y comunica los errores tanto en unidades de precio como en puntos de volatilidad implícita. - Compara la cobertura con Black-Scholes y alternativas de volatilidad estocástica bajo choques del spot y de la sonrisa. - Somete a tensión saltos y brechas, porque una difusión continua no puede cubrir una discontinuidad instantánea. - Trata la dinámica futura de la superficie como un supuesto del modelo, no como un resultado garantizado por el ajuste actual. - Extrema la cautela con barreras y otros productos dependientes de la trayectoria, cuyo valor depende de la ley de trayectorias modelada. - Recalibra cuando cambie la superficie y separa P&L de mercado, acarreo, error de cobertura y efectos de recalibración. - Limita la extrapolación en alas con pocos datos y vencimientos largos, porque las derivadas numéricas amplifican errores pequeños. - Incorpora por separado liquidez, costes de transacción, cobertura discreta, ejercicio anticipado y condiciones de contraparte o liquidación. ## Errores frecuentes - «La volatilidad local es igual a la volatilidad implícita en cada punto». Son magnitudes distintas con definiciones diferentes. - «Una calibración exacta demuestra que el modelo es verdadero». Muchos modelos ajustan las opciones vainilla actuales e implican trayectorias y coberturas distintas. - «La fórmula de Dupire puede aplicarse directamente a cotizaciones sin depurar». Requiere derivadas suaves y datos coherentes con la ausencia de arbitraje. - «Una difusión completa elimina todo el riesgo». Persisten los saltos, la cobertura discreta, la liquidez y el error de modelo. - «Más detalle en la superficie siempre mejora la precisión». La diferenciación puede amplificar cotizaciones ruidosas e ilíquidas. - «El modelo pronostica la volatilidad». La calibración extrae una función de valoración neutral al riesgo, no una previsión del mundo real. - «Los modelos que ajustan todas las vainillas deben valorar igual cualquier opción exótica». Sus leyes de trayectorias y dinámicas futuras de la sonrisa pueden diferir. - «Una varianza local negativa es una señal válida del mercado». Suele revelar incoherencias en los datos, el ajuste, las derivadas o los supuestos. ## Temas relacionados - [Modelo de Black-Scholes](/es/options/black-scholes-model/) - [Volatilidad implícita](/es/options/implied-volatility/) - [Modelo de Heston](/es/options/heston-model/) - [Valoración de opciones por diferencias finitas](/es/options/finite-difference-option-pricing/) - [Cobertura delta](/es/options/delta-hedging/) - [Riesgo gamma](/es/options/gamma-risk/) ## Fuentes primarias y autorizadas - [Dupire: Pricing with a Smile](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile) - [Derman y Kani: Riding on a Smile](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf) - [Derman, Kani y Zou: The Local Volatility Surface](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf) - [Hagan et al.: Managing Smile Risk](https://wilmott.com/managing-smile-risk/) - [OCC: Características y riesgos de las opciones estandarizadas](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/local-volatility-model/index.mdx