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title: "Precios de acciones lognormales: supuestos, matemáticas y límites"
description: "Comprenda por qué los modelos de opciones clásicos utilizan precios de acciones lognormales, en qué se diferencian los rendimientos simples y logarítmicos, cómo divergen los precios medios y medianos y por qué las colas gruesas, los saltos y la volatilidad cambiante limitan el supuesto."
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# Precios de acciones lognormales: supuestos, matemáticas y límites

> Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

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## Respuesta directa

Los modelos clásicos de opciones suelen suponer que el **precio** futuro de una acción tiene una distribución lognormal, lo que equivale a suponer que su **rendimiento logarítmico** con capitalización continua tiene una distribución normal. No se supone que el precio sea normal ni que el rendimiento sea «lognormal». Bajo un movimiento browniano geométrico:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, donde `Z∼N(0,1)`.

Aquí, μ es la deriva del precio bajo la medida de probabilidad utilizada, σ es la volatilidad y T es el horizonte. La exponenciación mantiene positivos los precios modelados, permite sumar los rendimientos logarítmicos de varios períodos y conduce a fórmulas de opciones manejables. Los mercados reales no cumplen exactamente el supuesto: los rendimientos muestran asimetría, colas gruesas, agrupación de volatilidad, saltos, interrupciones de negociación y distribuciones cambiantes. La lognormalidad es una referencia transparente, no una ley del mercado.

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## Mecánica de distribución y fijación de precios

El rendimiento simple es `R=S_T/S_0-1`; el rendimiento logarítmico es `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`. Los rendimientos logarítmicos se suman a lo largo del tiempo, mientras que los simples se componen multiplicativamente. Una subida de `$100` a `$110`, seguida de una bajada a `$99`, da `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`. Sumar `+10%` y `-10%` como rendimientos simples llevaría erróneamente a cero.

Si `ln S_T∼N(m,v)`, la mediana del precio es `e^m`, la media es `e^(m+v/2)` y la moda es `e^(m-v)`. Esta distribución de precios, sesgada a la derecha, tiene cero como límite inferior y carece de límite superior finito. No puede alcanzar exactamente cero en un tiempo finito, por lo que el impago y otros estados absorbentes deben modelarse por separado.

Bajo la medida física, fijar μ exige suponer o estimar un rendimiento. Bajo la medida neutral al riesgo de Black-Scholes, la deriva del precio pasa a ser r−q, por lo que la media del rendimiento logarítmico es `(r-q-σ²/2)T`. Esa distribución valora derechos contingentes bajo condiciones de no arbitraje; no pronostica frecuencias reales. Una `σ` constante también implicaría una única volatilidad implícita para todos los precios de ejercicio de un vencimiento, en contra del sesgo o sonrisa observados.

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## Un ejemplo de distribución de un año

Sea `S_0=$100` y supongamos que el rendimiento logarítmico a un año es normal, con media `5%` y desviación estándar `20%`. La mediana del precio futuro es `$100e^0.05=$105.13`; su media es `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25` y su moda, `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`. Por tanto, el «precio esperado» no coincide con el centro ni con el valor más probable de la distribución.

Si se usan `Z=-1` y `Z=+1` como aproximaciones de los percentiles 16 y 84, se obtienen `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` y `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`. El intervalo en dólares es asimétrico aunque el intervalo del rendimiento logarítmico sea simétrico.

Otro ejemplo muestra por qué importa la definición del rendimiento. Una caída del `50%`, de `$100` a `$50`, seguida de una subida del `50%`, solo lleva el precio a `$75`: el rendimiento simple acumulado es `-25%`. Los rendimientos logarítmicos suman exactamente `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`. Para recuperar de `$50` a `$100` hace falta una subida del `100%`.

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## Lista de verificación de pruebas y riesgos del modelo

- Utilice datos de rentabilidad total o precios correctamente ajustados; los desdoblamientos y las distribuciones ordinarias pueden crear saltos falsos en series sin ajustar.
- Alinee las marcas temporales, las divisas, las horas de cierre, las observaciones ausentes y los días sin negociación antes de calcular los rendimientos.
- Indique expresamente si usa rendimientos simples o logarítmicos; solo son próximos cuando los cambios son pequeños.
- Compare la asimetría empírica, el exceso de curtosis, los cuantiles del 1%/5%/95%/99%, los histogramas y los gráficos Q-Q con un punto de referencia normal.
- Examine por separado los periodos tranquilos y los de crisis. Mezclar regímenes de volatilidad cambiantes puede generar por sí solo rendimientos incondicionales con colas gruesas.
- Compruebe la dependencia serial en los rendimientos y sus cuadrados; la agrupación de volatilidad contradice los incrementos independientes y constantes.
- No aplique mecánicamente la escala `√T` en torno a resultados empresariales, eventos programados, memoria larga o cambios de régimen.
- Separar los parámetros físicos utilizados para la previsión de los parámetros neutrales al riesgo inferidos para la fijación de precios.
- Use la superficie actual de volatilidad implícita para valorar opciones entre distintos precios de ejercicio, en vez de imponer una única volatilidad at-the-money a todos ellos.
- Someta a tensión los saltos, los impagos, las suspensiones de negociación, la pérdida de liquidez y la revisión de la volatilidad fuera de la difusión continua.
- Valide los parámetros y los errores de cobertura fuera de muestra; ajustar los extremos históricos no demuestra estabilidad futura.
- Para opciones dependientes de la ruta, simule rutas intermedias y errores de discretización, no solo precios terminales lognormales.

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## Errores comunes

- “Los rendimientos de las acciones son lognormales”. La afirmación clásica es que los precios son lognormales y los rendimientos logarítmicos son normales.
- “Los precios modelados positivos demuestran el realismo”. La positividad no refleja los incumplimientos, los saltos, las colas gruesas ni los regímenes de volatilidad.
- “El precio medio es el precio más probable”. La media, la mediana y la moda de una distribución lognormal difieren.
- “Un rango de rendimiento logarítmico simétrico es simétrico en dólares”. La exponenciación crea un rango de precios asimétrico.
- “La probabilidad neutral al riesgo es la probabilidad real”. Es la medida compatible con precios descontados sin arbitraje y tiene un propósito distinto de una previsión física.
- “La volatilidad anual es siempre la volatilidad diaria multiplicada por `√252`”. Esa escala necesita incrementos independientes estables.
- “Una volatilidad histórica pone precio a todas las opciones”. Los precios de las opciones de mercado generalmente implican una volatilidad dependiente del ejercicio y del vencimiento.
- “Los eventos raros deben eliminarse como valores atípicos”. Una vez verificados los datos, los extremos pueden ser evidencia esencial contra las colas supuestas.
- “Muestrear solo un precio terminal lognormal sirve para valorar cualquier derivado”. Las opciones de barrera, asiáticas y americanas dependen de la trayectoria o de decisiones de ejercicio.

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## Temas relacionados

- [Movimiento browniano geométrico](/es/options/geometric-brownian-motion/)
- [Modelo Black-Scholes](/es/options/black-scholes-model/)
- [Valoración neutral al riesgo](/es/options/risk-neutral-pricing/)
- [Volatilidad histórica](/es/options/historical-volatility/)
- [Sesgo de volatilidad](/es/options/volatility-skew/)
- [Modelo de opciones con difusión por saltos](/es/options/jump-diffusion-option-model/)

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## Fuentes académicas

- [Black y Scholes: La fijación de precios de opciones y pasivos corporativos](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: Teoría de la fijación de precios de opciones racionales](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Mandelbrot: La variación de ciertos precios especulativos](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Fama: El comportamiento de los precios bursátiles](https://doi.org/10.1086/294743)
- [Cboe: El índice Cboe SKEW](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/lognormal-stock-returns/index.mdx