--- title: "Valoración de opciones con árbol trinomial: retícula de tres estados y ejercicio anticipado" description: "Construye una retícula recombinante ascendente-intermedia-descendente, calibra probabilidades neutrales al riesgo, descuenta hacia atrás y comprueba el ejercicio anticipado y la convergencia." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Valoración de opciones con árbol trinomial: retícula de tres estados y ejercicio anticipado > Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas. ## Respuesta directa Un árbol trinomial valora una opción en una retícula discreta de tiempo y precio donde el subyacente **sube, permanece en un nivel intermedio o baja** en cada paso. Tras calibrar las probabilidades de transición neutrales al riesgo, calcula los pagos al vencimiento y retrocede hasta el presente descontando el valor ponderado por probabilidad en cada nodo. La rama intermedia adicional brinda más libertad que un árbol binomial para hacer coincidir momentos, alinear nodos con precios de ejercicio o barreras y mejorar el comportamiento numérico. No hace que el precio sea automáticamente más preciso. La parametrización, el número de pasos, los dividendos, la regla de ejercicio, el tratamiento de límites y los insumos del mercado determinan el resultado. Los árboles son especialmente útiles para las opciones de estilo americano porque cada nodo permite comparar el valor de continuación con el ejercicio inmediato. Son modelos numéricos, no predicciones de los tres únicos precios que alcanzará la acción. Este artículo trata la valoración teórica de opciones simples sobre acciones, en especial opciones cotizadas en bolsas de Estados Unidos y emitidas por OCC, según la revisión de 2026-08-22; la autorización del intermediario, el margen de la cuenta y el tratamiento fiscal y jurídico dependen del producto y la jurisdicción, por lo que deben confirmarse las condiciones vigentes con el intermediario, la bolsa, la documentación de OCC y asesores cualificados. ## Retícula e inducción hacia atrás Para un paso de longitud `Δt`, define los multiplicadores del precio `u > m > d` y las probabilidades `pᵤ`, `pₘ`, `p_d`. Un árbol recombinante se parametriza para que trayectorias como subir y después bajar regresen a un nodo existente, lo que mantiene controlado el número de nodos. Aquí `r` y `q` son tasas de capitalización continua durante el paso. Las probabilidades neutrales al riesgo deben satisfacer al menos: `pᵤ + pₘ + p_d = 1` y, con rentabilidad por dividendo continua `q`, `pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)`. Cada esquema trinomial añade condiciones de varianza o ajuste de momentos para determinar las tres probabilidades y los multiplicadores; la normalización y el crecimiento esperado por sí solos no completan un mercado de un periodo con tres estados ni eligen una medida neutral al riesgo única. Todas las probabilidades deben estar entre cero y uno. Una «probabilidad» negativa indica una retícula inválida o parámetros incompatibles, no una predicción negociable. Al vencimiento, fija `V = max(S−K,0)` para una Call o `max(K−S,0)` para una Put. En cada nodo anterior, el valor de continuación de una opción europea es `V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`. Para una opción americana, utilice `V = max(V_continue, intrinsic value)`. Repetir hasta la raíz. Los dividendos en efectivo discretos requieren que las transiciones del árbol de acciones o de los nodos reflejen la caída ex dividendo. Los griegos se pueden estimar a partir de nodos vecinos, pero la alineación de la cuadrícula y las diferencias finitas introducen ruido numérico. ## Ejemplo práctico de un paso Sea `S₀ = $100`, el precio de ejercicio de la Put `K = $105` y el factor de crecimiento sin riesgo de un paso `R = 1.02`. Usa `u = 1.10`, `m = 1.00`, `d = 0.90` y las probabilidades siguientes. Son datos hipotéticos, sin dividendos y con fines didácticos; no constituyen una calibración con una opción cotizada ni con un conjunto de datos de mercado. `pᵤ = 0.35`, `pₘ = 0.50`, `p_d = 0.15`. Suman uno y el crecimiento esperado de las acciones es `0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`. | Precio final de la acción | Pago de la Put `max(105−S,0)` | Pago ponderado por probabilidad | | ---: | ---: | ---: | | `$110` | `$0` | `$0` | | `$100` | `$5` | `$2.50` | | `$90` | `$15` | `$2.25` | El valor de la Put europea es `V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`. Para una Put americana, el ejercicio inmediato en la raíz vale `$105 − $100 = $5`. Como `$5 > $4.6569`, este modelo de un paso elige el ejercicio y valora la Put americana en `$5`. Como comprobación bajo los mismos supuestos europeos y sin dividendos, la Call correspondiente paga `$5` solo en el estado alcista, de modo que `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`. Entonces `C − P = −$2.9412`, igual que `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`. ## Controles y riesgos del modelo - Indicar la parametrización exacta del árbol; «trinomial» por sí solo no define `u`, `d` ni las probabilidades. - Rechazar probabilidades negativas y comprobar las condiciones de crecimiento y varianza neutrales al riesgo. - Aumentar el número de pasos y registrar la convergencia, en vez de confiar en una sola retícula. - Comparar los resultados europeos con Black-Scholes bajo los mismos supuestos y comprobar los límites de valor intrínseco y de ausencia de arbitraje. - Contrastar los valores americanos con los europeos e inspeccionar la frontera de ejercicio. - Modelizar correctamente dividendos discretos, tipos de interés, coste de préstamo, modalidad de ejercicio, liquidación y ajustes contractuales. - Alinear con la retícula los precios de ejercicio, las barreras y las fechas de dividendo relevantes cuando sea posible. - Someter a pruebas de tensión la volatilidad, el número de pasos, la discretización temporal y las condiciones de frontera. - Separar el valor del modelo de los precios Bid/Ask ejecutables, las comisiones, el deslizamiento y el volumen disponible. - Usar una implementación independiente o casos de referencia para detectar errores de índices y descuento. ## Errores comunes - «Las tres ramas pronostican subida, estabilidad y bajada». Son estados numéricos calibrados para valorar. - «Las probabilidades son frecuencias históricas». Son ponderaciones neutrales al riesgo fijadas por el modelo. - «Más ramas garantizan precisión». Un árbol trinomial mal calibrado sigue dando resultados erróneos. - «El ejercicio anticipado del ejemplo demuestra que un titular real debe ejercer ahora». La conclusión depende de una retícula muy gruesa y de datos omitidos. - «El precio del modelo es una cotización justa y ejecutable». Las ejecuciones dependen de oferta y demanda, diferenciales, inventario y costes. - «La convergencia demuestra que el modelo es verdadero». Solo muestra estabilidad numérica dentro de los supuestos, no que estos describan el mercado. ## Temas relacionados - [Precio de opción binomial](/es/options/binomial-option-pricing/) - [Modelo Black-Scholes](/es/options/black-scholes-model/) - [Ejercicio temprano](/es/options/early-exercise/) - [Precio neutral al riesgo](/es/options/risk-neutral-pricing/) ## Fuentes autorizadas - [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216) - [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132) - [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula) - [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options) - [OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/es/options/trinomial-tree-option-pricing/index.mdx