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title: "Valorisation binomiale des options : réplication, portage, exercice anticipé et convergence"
description: "Construisez et validez un arbre recombinant, séparez portage et actualisation, répliquez les valeurs aux nœuds et contrôlez exercice anticipé, convergence et limites d'exécution."
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# Valorisation binomiale des options : réplication, portage, exercice anticipé et convergence

> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

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## Réponse directe

Un modèle binomial valorise une option sur une grille d'états discrets ; il ne prévoit pas que le sous-jacent ne réalisera littéralement que deux mouvements. À chaque nœud, il applique un facteur haussier `u` ou baissier `d`, valorise les flux contractuels terminaux, puis remonte jusqu'à aujourd'hui. Dans un marché complet à facteur de risque unique, la même valeur au nœud peut être vérifiée par un portefeuille local d'actions et de trésorerie qui la réplique.

Pour un pas de durée `Delta t`, séparez le facteur de croissance du financement `B = exp(r Delta t)` du facteur de croissance du portage du sous-jacent `G = exp((r - q) Delta t)`. Avec un rendement proportionnel continu `q`, le poids de valorisation sans arbitrage est

`p = (G - d) / (u - d)`, sous la condition `d < G < u`.

La continuation européenne est `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`. À un nœud où le détenteur peut exercer, la valeur américaine ou bermudienne est `V = max(H,C)`, où `H` est la valeur d'exercice immédiat et `C` la valeur de continuation. Le cadre produit une valeur de modèle par unité du sous-jacent ; multiplicateur, quantité, règlement officiel, prix exécutables, frais, marge et crédit restent distincts.

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## Méthode

1. **Fixer le droit et l'horloge.** Consignez sous-jacent et série exacts, call ou put, prix d'exercice, heure de valorisation, échéance et décompte des jours, dates et style d'exercice, règlement officiel, multiplicateur, livrable, devise, dividendes, emprunt de titres, ajustements et unités de sortie.
2. **Choisir et documenter la grille.** Définissez `N`, `Delta t = T / N` et une paramétrisation. Le choix CRR courant est `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` et `d = 1 / u` ; d'autres arbres peuvent ajuster des moments différents et converger autrement.
3. **Séparer portage et actualisation.** Construisez `B = exp(r Delta t)` avec le taux zéro cohérent avec le modèle et `G = exp((r - q) Delta t)` avec le portage continu, puis calculez `p = (G - d) / (u - d)`. Un dividende en espèces connu exige un traitement explicite du nœud ex-dividende et peut rompre la recombinaison simple.
4. **Construire les états et droits terminaux.** Dans un arbre recombinant à facteurs constants, `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`. Appliquez à la variable officielle la règle contractuelle de call, put, espèces, livraison physique ou ajustée, barrière, moyenne ou autre payoff terminal ; la dépendance au chemin nécessite un état supplémentaire.
5. **Remonter l'arbre et tester l'exercice.** Actualisez la valeur risque-neutre des enfants à chaque nœud. Pour les droits européens, utilisez la continuation ; pour les américains, comparez `H` et `C` à chaque date autorisée ; pour les bermudiens, uniquement aux dates contractuelles et en respectant notification et règlement.
6. **Valider réplication et calcul.** À chaque nœud à un pas, calculez `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` et la position de trésorerie `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`. Contrôlez paiements par état, bornes, parité, doublement des pas, oscillation pair-impair, autres arbres, code indépendant et frontière d'exercice.
7. **Transposer la sortie du modèle au compte.** Calibrez courbes, dividendes, emprunt et surface prix d'exercice-échéance ; convertissez la valeur unitaire avec multiplicateur et quantité réels ; comparez bid et ask exécutables ; stressez couverture discrète, gaps, coûts, liquidité, marge, assignation, règlement, fiscalité et version du modèle.

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## Exemples détaillés

- **Réplication sur une période.** Soient `S0 = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05` et un call européen de `K = $100`. Alors `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625` ; les paiements sont `$20/$0` ; et `C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`. La réplication donne `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` et `b = -$38.095238`. Le portefeuille paie `$60 - $40 = $20` dans l'état haussier et `$40 - $40 = $0` dans l'état baissier ; son coût initial est `$50 - $38.095238 = $11.904762`.
- **Put américain et exercice anticipé.** Utilisez un arbre à deux pas avec `S0 = $100`, `K = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05` ; ainsi `p = 0.625`. Les paiements terminaux du put pour `$144/$96/$64` sont `$0/$4/$36`. Au premier nœud haussier, la continuation vaut `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571`, au-dessus de l'intrinsèque `$0`. Au nœud baissier, elle vaut `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095`, sous l'exercice immédiat de `$20` ; on exerce donc. La valeur américaine est `$7.993197`, l'européenne `$6.292517` et la prime discrète d'exercice anticipé `$1.700680`.
- **Portage et convergence non monotone.** Soient `S0 = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5%` en capitalisation continue, rendement continu `q = 2%` et `sigma = 20%` annualisée. Avec CRR, le call européen vaut `$11.073541` à un pas, `$8.342293` à deux, `$9.855621` à trois, `$8.760327` à quatre et, avec `64` pas, `$9.196691`, en se rapprochant de la valeur cohérente Black-Scholes-Merton de `$9.227006`. Davantage de pas améliore la limite du modèle, sans progression nécessairement monotone ni correction de flux erronés.
- **Valeur de modèle contre montants exécutables.** Réutilisez la valeur par action `$11.904762`, mais supposez un marché exécutable `$11.60 bid / $12.20 ask`. Acheter un contrat standard avec `M = 100` et `Q = 1` coûte `$12.20 x 100 = $1,220`, contre un montant de modèle de `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`, soit `$29.5238` d'écart avant frais. Revendre immédiatement au bid rend `$11.60 x 100 = $1,160`, soit une perte aller-retour de `$60`. Le `Delta = 0.50` correspond à `50` actions avec ce multiplicateur, mais rééquilibrage discret, gaps, emprunt et exécution empêchent de garantir la réplication.

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## Contrôles du modèle et du cycle de vie

- Faites correspondre sous-jacent, racine, call ou put, prix d'exercice, échéance, style d'exercice, règlement, multiplicateur, devise et livrable exacts.
- Fixez heure de valorisation, calendrier, fuseau, fraction d'année, pas, dates des nœuds et traitement des jours ouvrés.
- Déclarez la paramétrisation et si ses moments, son portage, son skew ou ses autres cibles correspondent au modèle visé.
- Gardez `B` pour l'actualisation séparé de `G` pour le portage quand dividendes, taux étrangers, rendement d'opportunité ou emprunt comptent.
- Exigez `d < G < u` ; si `p` sort de `[0,1]`, le schéma sans arbitrage échoue, il ne s'agit pas d'une probabilité prévisionnelle.
- Séparez le rendement continu `q` des distributions connues discrètes, spéciales, incertaines ou dépendantes du chemin.
- Vérifiez le payoff terminal par rapport au règlement officiel, à la livraison monétaire ou physique, aux contrats ajustés et opérations sur titres.
- Ajoutez assez d'état pour barrières, moyennes, lookbacks, multi-actifs, volatilité ou taux stochastiques, crédit et autre dépendance au chemin.
- N'appliquez l'exercice anticipé qu'au détenteur du droit contractuel, aux dates valides avant les délais de notification.
- Séparez ensembles d'exercice américain, bermudien et européen du règlement monétaire, physique ou en contrats à terme.
- Consignez chaque nœud où `H` dépasse `C` et testez la sensibilité de la frontière aux dividendes, taux, emprunt et paramètres numériques.
- Vérifiez réplication aux nœuds et paiements par état quand les hypothèses impliquent la complétude ; ne supposez pas une couverture continue gratuite en pratique.
- Contrôlez bornes sans arbitrage, parité, monotonie, convexité et cas limites avant de faire confiance au prix.
- Comparez plusieurs nombres de pas, suites paires et impaires, doublement, autres paramétrisations et une implémentation indépendante.
- Ne prenez ni oscillation, ni décimales stables, ni accord entre chemins de code liés pour une preuve d'exactitude.
- Calibrez toute la surface et les courbes pertinentes ; une volatilité historique ou une cotation ATM n'est pas universelle.
- Séparez valeur de modèle, midpoint théorique, marque de marché, règlement officiel, bid exécutable, ask exécutable et prix de liquidation.
- Convertissez les sorties unitaires avec multiplicateur et quantité réels ; les contrats ajustés ou non standard peuvent ne pas utiliser `100`.
- Stressez bid-ask, exécutions partielles, calendrier de couverture discrète, sauts, suspensions, liquidité, financement, emprunt, marge, assignation et liquidation du courtier.
- Conservez entrées, source des données, version des dividendes et opérations sur titres, code et solveur, preuve de convergence, approbations, charges, impôts et rapprochement final.

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## Idées reçues

- **« La probabilité risque-neutre prévoit le prochain mouvement. »** `p` est un poids de valorisation cohérent avec les actifs négociables et l'absence d'arbitrage, pas une prévision physique.
- **« Le facteur sans risque intervient toujours dans les deux formules. »** L'actualisation utilise `B` et le poids du sous-jacent le facteur de portage `G` ; ils ne coïncident que dans le cas simplifié sans rendement.
- **« Plus de pas garantit un prix exact. »** Le raffinement ne traite que la discrétisation du modèle ; il peut osciller et ne corrige pas dividendes, volatilité, règlement ou exercice erronés.
- **« La valeur américaine est l'européenne plus une prime fixe. »** La valeur d'exercice anticipé dépend de l'état, de la date, des taux, dividendes, emprunt et modèle, et peut être nulle.
- **« La réplication rend le prix à l'écran sans risque. »** La démonstration suppose complétude et absence de friction ; spreads exécutables, couvertures discrètes, gaps, financement, marge, impôts et règlement subsistent.

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## Thèmes associés

- [Options américaines et européennes](/fr/options/american-and-european/)
- [Modèle Black-Scholes](/fr/options/black-scholes-model/)
- [Volatilité implicite](/fr/options/implied-volatility/)

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## Sources de référence

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier ; fonde la réplication discrète CRR et la valorisation risque-neutre sous ses hypothèses, pas les données actuelles ni un prix exécutable.
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley ; développe la valorisation à deux états, sans affirmer que les prix réels n'ont que deux issues ni que tout marché incomplet a un prix unique.
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis ; étaye oscillation, paramétrisation et convergence des modèles étudiés, pas des bornes d'erreur universelles.
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier ; étaye la convergence du put américain et les limites d'accélération des arbres analysés, pas tous les produits ou prix.
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press ; étaye bornes et comparaisons sous hypothèses précises, pas les règles d'exercice du courtier ni une exactitude garantie.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation ; couvre droits, exercice, assignation, règlement, ajustements et risques, pas l'étalonnage binomial ni une recommandation.
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation ; documente une variante CRR propre à certains services de delta, pas l'implémentation de cet article ni un prix universel.
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets ; propose des outils éducatifs actuels de prix théorique et de sensibilités, pas une cotation exécutable, une validation indépendante ou une garantie des hypothèses contractuelles.

Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/binomial-option-pricing/index.mdx