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title: "Formule Breeden-Litzenberger : densité sans risque à partir des prix des options"
description: "Extrayez les probabilités extrêmes actualisées et la densité neutre au risque des prix des options européennes tout en contrôlant les grilles d'exercice, l'arbitrage, le lissage et le risque lié aux données."
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# Formule Breeden-Litzenberger : densité sans risque à partir des prix des options
> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.
## Réponse directe
Pour une échéance, soit `C(K,T)` le prix à temps zéro par unité sous-jacente d'un call européen suffisamment régulier, soit `D(0,T)` le facteur d'actualisation et soit `Q^T` la mesure de prix associée à ce numéraire. Dans des conditions de règlement apparié et sans arbitrage,
`-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)`
`partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)`
aux points de continuité. Ainsi `f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2`. La dérivée première est une valeur d'achat numérique actualisée et la dérivée seconde est une densité actualisée, et non une prévision objective. Si la distribution terminale a un atome, la dérivée peut sauter et cette masse de probabilité n'est pas représentée par une densité lisse ordinaire au point.
## Mécanisme
1. **Geler la réclamation et l'horloge.** Correspondance sous-jacente, expiration, exercice européen, règlement en espèces ou physique, multiplicateur, `S_T` officiel, horodatage de la cotation, session, devise et état de l'opération sur titres. Les prix américains ou les règlements incompatibles ne peuvent pas être insérés tels quels.
2. **Normaliser les contrats à terme et l'actualisation.** Estimez `D(0,T)`, le contrat à terme apparié, les dividendes, l'emprunt et toute convention de quanto ou de contrats à terme. Convertissez les options de vente en appels synthétiques uniquement via une parité put-call correspondante et gardez le prix de l'option par unité sous-jacente séparé des dollars du contrat.
3. **Nettoyez la section transversale d'exercice.** Utilisez des conditions d'offre, de vente, de taille et d'exécution synchronisées ; supprimer les erreurs évidentes et les observations périmées ou croisées. Appliquez des prix d'appel décroissants, la convexité, des limites raisonnables et la cohérence du calendrier avant de différencier.
4. **Ajustez une courbe tenant compte de l'arbitrage.** Choisissez d'ajuster les prix, la volatilité implicite, les prix numériques ou une densité ; documenter les nœuds, les poids, la régularisation, l’extrapolation et les conditions aux limites. Une courbe lisse est un estimateur et non une vérité observée.
5. **Différencier avec la grille réelle.** Pour un espacement égal `h`, utilisez `[C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2`. Pour les voisins inégaux `K_- < K < K_+`, utilisez `2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)`. N'appliquez pas la formule de grille égale aux frappes irrégulières.
6. **Valider les restrictions de distribution.** Vérifiez la densité non négative, la masse totale, le premier moment cohérent, la retarification des appels, la sensibilité offre-vente, la masse de la queue et la stabilité des choix de lissage. Distinguer une densité continue des atomes discrets et du support de frappe tronqué.
7. **Versionnez et interprétez avec prudence.** Stockez l'instantané de la chaîne, les décisions de nettoyage, les courbes, le code, le solveur et les bandes de confiance ou de sensibilité. Comparez les distributions physiques et neutres au risque uniquement via un noyau de tarification explicite ou un cadre de prime de risque ; ne qualifiez pas la courbe extraite de prévision de marché.
## Exemples travaillés
- **Estimation de densité de grille égale.** Les appels européens synchronisés avec une expiration ont `C(95) = $8.20`, `C(100) = $5.00` et `C(105) = $2.80`. Avec `h = $5`, la courbure réduite à 100 est `[$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar`. Si `D(0,T) = 1`, l’estimation locale de densité sans risque est `0.04 per dollar` ; ce n'est pas une probabilité `4%` à exactement 100.
- **Propagation verticale et probabilité moyenne de queue.** À partir de `C(100) = $5.00` et `C(105) = $2.80`, la pente sécante négative est `($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44`. Elle est égale à la moyenne actualisée de `Q^T(S_T > K)` sur les frappes 100 à 105. Si `D(0,T) = 0.98`, la probabilité extrême moyenne correspondante au risque neutre est `0.44 / 0.98 = 44.897959%` ; il ne s’agit pas automatiquement de la probabilité extrême à l’un ou l’autre des points extrêmes.
- **Espacement inégal des frappes.** Soit `K_- = 95`, `K = 100`, `K_+ = 107`, avec `C_- = $8.20`, `C = $5.00` et `C_+ = $2.20`. La pente gauche est `($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64`, la pente droite est `($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40` et la courbure de grille inégale est `2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar`. Le dénominateur égal à la grille serait ici erroné.
- **Diagnostic papillon négatif.** Avec des frappes égales 95/100/105 et des prix `$8.20`, `$5.60` et `$2.80`, le numérateur est `$8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20`, donc la courbure est `-$0.20 / 25 = -0.008 per dollar`. L'achat des ailes et la vente de deux appels intermédiaires génèrent un gain papillon terminal non négatif tout en recevant `$0.20` par unité, ou `$20` à `M = 100`, avant frais. Il s'agit d'un arbitrage exécutable uniquement si les cotations sont synchronisées, si toutes les jambes se remplissent et si le financement, les frais, l'exercice, le règlement et d'autres frictions ne l'annulent pas.
## Liste de contrôle d'extraction et de validation
- Faites correspondre une expiration exacte, un sous-jacent, un style d'exercice, une convention de règlement, une devise, un multiplicateur et une source officielle du terminal.
- Utiliser l'option synchronisée et les horodatages sous-jacents ; cotations de lieux séparées, données consolidées, dernières transactions et notes théoriques.
- Enregistrez l'offre, la demande, la taille affichée, le statut barré ou verrouillé, les drapeaux obsolètes et les conditions du package exécutable.
- Convertissez les primes contractuelles en prix par unité sous-jacente avant de prendre des dérivés d'exercice.
- Estimer le facteur d'actualisation correspondant à l'échéance plutôt que d'insérer un rendement nominal ou un taux court sans rapport.
- Rapprochez les termes des contrats à terme, des dividendes, des emprunts, des règlements à terme, des changes et des quanto avant la conversion put-call.
- Appliquez la parité uniquement aux réclamations européennes correspondantes et conservez les résidus de conversion comme diagnostics de qualité des données.
- Appliquer les limites de prix d'appel, la monotonie, la convexité et les restrictions de calendrier appropriées avant l'extraction.
- Utiliser la grille de grève actuelle ; n'appliquez pas de différences d'espacement égal à des intervalles inégaux.
- Traitez les premières différences comme des moyennes d'intervalle, et non comme des probabilités numériques exactes des points finaux.
- Distinguer les unités de densité telles que la probabilité par dollar de la masse de probabilité intégrée.
- Préserver les atomes, les hausses des prix du numérique et les discontinuités de règlement spécifiques aux contrats plutôt que de les lisser silencieusement.
- Signalez le domaine d'ajustement, les nœuds, les poids, la pénalité, l'extrapolation et les hypothèses de limites.
- L'espace de prix stressé s'adapte aux alternatives d'espace de volatilité, d'espace numérique et de densité directe.
- Répétez l'extraction aux ensembles de données bid, midpoint, Ask et perturbés, car les dérivées secondes amplifient le bruit.
- Vérifier la non négativité, la masse totale proche de l'unité, la moyenne cohérente et la retarification des appels observés dans les tolérances.
- Traitez les frappes profondes manquantes comme une extrapolation dépendante du modèle et signalez la masse de queue omise.
- N'interprètez pas les moments sans risque comme des attentes physiques sans un modèle explicite de prime de risque.
- Séparez l'arbitrage statique théorique des exécutions exécutables, des frais, du financement, de la marge, de l'exercice et du risque de règlement.
- Archivez les données brutes, les corrections, le code, les paramètres du solveur, la version de sortie, la révision et les diagnostics d'incertitude.
## Idées fausses courantes
- **"La densité est la prévision objective du marché."** Il s'agit d'une distribution de prix-mesure qui intègre les prix de l'État et les primes de risque.
- **"Une densité de 0,04 signifie 4 % de chances d'obtenir ce prix exact."** La densité a des unités de prix inverses et doit être intégrée sur un intervalle.
- **"Les différences brutes au point médian révèlent la véritable distribution."** L'asynchronie, les spreads, les frappes clairsemées et la différenciation numérique peuvent dominer la courbure.
- **"Le découpage de la densité négative résout le problème."** Le découpage ad hoc peut masquer les violations d'arbitrage et détruire les restrictions de retarification, de masse ou de moyenne.
- **"La formule s'applique inchangée à chaque chaîne d'options."** L'exercice américain, les dividendes discrets, les contrats ajustés, les conventions à terme, les atomes et les règles de règlement nécessitent un traitement explicite.
## Sujets connexes
- [Volatilité implicite](/fr/options/implied-volatility/)
- [Modèle Black-Scholes](/fr/options/black-scholes-model/)
- [Chaîne d'options](/fr/options/option-chain/)
## Sources faisant autorité
- [Prix des réclamations conditionnelles à l'État implicites dans les prix des options](https://doi.org/10.1086/296025) - University of Chicago Press ; établit la relation état-prix selon ses hypothèses, et non comme une procédure empirique de nettoyage ou d’exécution.
- [Distributions de probabilité implicites des options et rendements excédentaires des devises](https://resources.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr32.pdf) - Banque de réserve fédérale de New York ; dérive et applique des densités implicites d'options, avec des choix de modèles et de données plutôt que des règles de produits contractuelles.
- [Génération de densités de probabilité implicites d'options pour comprendre les événements du marché pétrolier](https://www.federalreserve.gov/econres/ifdp/generating-options-implied-probability-densities-to-understand-oil-market-events.htm) - Conseil des gouverneurs de la Réserve fédérale ; compare l’extraction semi-paramétrique et la robustesse des options pétrolières, et non un calibrage universel des actions.
- [Récupération des distributions de probabilité à partir des prix des options](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1996.tb05219.x) - Wiley ; soutient une reprise douce et contrainte des prix des options selon son échantillon et sa méthode, et non une distribution implicite unique.
- [Estimation non paramétrique des densités de prix de l'État implicites dans les prix des actifs financiers](https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228) - Wiley ; prend en charge l'estimation non paramétrique de l'état et du prix selon des hypothèses énoncées, et non une différenciation brute sans bande passante ni risque d'échantillonnage.
- [Tarif des options non paramétriques selon les restrictions de forme](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - Elsevier ; prend en charge les contraintes de monotonie et de convexité, ce qui ne garantit pas que les cotations nettoyées soient exécutables.
- [Caractéristiques et risques des options standardisées](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation ; couvre les droits d'option standardisés, l'exercice, le règlement et les risques, et non l'estimation de la densité ou les réclamations sur mesure.
- [Spécifications du produit des options sur l'indice S&P 500](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Cboe Global Markets ; établit des champs d'exercice, de multiplicateur, de négociation et de règlement spécifiques à SPX, et non des conditions pour chaque chaîne d'options.
Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/breeden-litzenberger-formula/index.mdx