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title: "Charm, Vanna et Vomma : signes, unités et réévaluation complète"
description: "Mesurez la dérive de Delta due au temps, l'interaction entre Delta et volatilité et la courbure de Vega avec des conventions temporelles explicites, des unités de volatilité, des contrôles par différences finies, une mise à l'échelle des positions et les limites du modèle."
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# Charm, Vanna et Vomma : signes, unités et réévaluation complète

> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

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## Réponse directe

**Charm, Vanna et Vomma** sont des dérivées locales d'une fonction déterminée de valorisation d'options, et non des prévisions ou des paiements contractuels. Charm mesure la réaction de Delta au temps, Vanna mesure l'interaction entre le cours au comptant et la volatilité et Vomma, souvent appelée Volga, mesure la réaction de Vega à la volatilité. Un chiffre n'a de sens que si la direction du temps, l'échelle de volatilité, les coordonnées du modèle, le signe de la position, la quantité et le multiplicateur sont connus.

Pour la valeur `V(S,σ,τ,...)`, on définit `Delta=∂V/∂S` et la Vega brute par `Vega_raw=∂V/∂σ`, où la volatilité `σ` est exprimée sous forme décimale et `τ` désigne le temps restant. Sous réserve d'une régularité suffisante et de coordonnées communes, `Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S`, tandis que `Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ`. L'égalité des dérivées partielles croisées ne rend pas un choc réel de la surface de marché identique à une perturbation du modèle.

Les unités de temps et d'affichage constituent les principaux pièges de présentation. Avec `τ=T−t`, on a `Charm_τ=∂Delta/∂τ`, alors que Charm par rapport au temps calendaire est `Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ`. L'effet local d'un jour ACT/365, tous les autres paramètres étant figés, est `−Charm_τ/365`. Une variation de volatilité d'un point de pourcentage vaut `0.01` en volatilité décimale, de sorte que `Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw` et `Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw`. Mélanger valeurs brutes et valeurs affichées crée des facteurs de `100` ou `10,000`.

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## Processus de contrôle des grecques en sept étapes

1. **Figer le droit et l'état du modèle.** Consignez l'horodatage, la série exacte de l'option, le signe acheteur ou vendeur, la quantité, le multiplicateur, le cours au comptant ou à terme, les taux, les dividendes, le coût d'emprunt, la surface de volatilité, le temps restant, le style d'exercice, le règlement et la version du modèle.
2. **Déclarer les dérivées élémentaires et les coordonnées.** Indiquez `Delta`, `Vega_raw`, `Vanna_raw` et `Vomma_raw` ; distinguez Delta au comptant de Delta à terme, les mesures ajustées ou non de la prime et précisez si la surface est maintenue par strike, Delta ou selon une autre coordonnée.
3. **Figer l'horloge et le signe de Charm.** Distinguez le temps calendaire `t` du temps restant `τ`, indiquez `Charm_t` ou `Charm_τ` et précisez si l'affichage est annuel, ACT/365, ACT/252 ou déjà quotidien. Ne divisez jamais une seconde fois par le nombre de jours une valeur quotidienne fournie par un prestataire.
4. **Figer les unités de volatilité et de courbure.** Précisez volatilité décimale ou points de volatilité, Vega brute ou affichée, choc scalaire parallèle ou choc par strike-skew ou surface de Delta, ainsi que la conversion appliquée à Vanna et Vomma.
5. **Valider par différences finies.** Privilégiez les chocs centrés lorsque cela est possible ; comparez Vanna par les voies Delta-volatilité et Vega-spot, comparez Vomma par la pente de Vega et la courbure du prix, puis recommencez avec des chocs plus faibles afin de détecter les erreurs de troncature ou d'annulation.
6. **Agréger et réévaluer intégralement.** Normalisez d'abord chaque série, puis multipliez par la quantité signée et le multiplicateur. N'utilisez Delta, Gamma, Charm, Vanna et Vomma locales qu'à des fins d'attribution ; comme contrôle, exécutez des scénarios complets de spot, temps, volatilité, skew, terme, taux, dividendes, emprunt de titres et chocs combinés.
7. **Rapprocher modèle et exécution.** Comparez les versions des prestataires et les conventions de choc, les cours acheteur et vendeur exécutables, les quantités discrètes de couverture, la liquidité, les frais et les exécutions réelles. Conservez les grecques avant et après le choc au lieu de traiter une sensibilité au cours médian comme une couverture garantie.

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## Exemples détaillés

- **Horloge et signe de Charm.** Dans une illustration Black-Scholes avec rendement continu, `S=100`, `K=100`, `r=5%`, `q=2%`, `σ=20%` et `τ=0.5`, on obtient `d1=0.1767766953`, `d2=0.0353553391` et une Delta du call de `0.5644849345`. Ici, `Charm_τ=+0.0574497873 per year` ; la dérive calendaire locale sur un jour ACT/365 est donc `−0.0574497873/365=−0.0001573967`. La réévaluation complète à `τ=0.5−1/365=0.4972602740` donne une Delta de `0.5643272616`, soit une variation exacte sur un jour de `−0.0001576729`. Avec un multiplicateur de `100`, l'équivalent directionnel passe de `56.4485` à `56.4327 shares`, soit `−0.0158 share` ; le résultat fini n'est pas exactement égal à l'estimation par la dérivée.
- **Différence centrée et échelle de Vanna.** Avec les mêmes paramètres, la Delta du call est de `0.5652807208` pour `σ=19%` et de `0.5638956602` pour `σ=21%`. L'estimation centrée vaut `(0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility`, soit `−0.0006925303 Delta per vol point`. La valeur analytique locale à `20%` est `Vanna_raw=−0.0687394860`, soit `−0.0006873949 per vol point` ; un contrat long de multiplicateur `100` varie donc d'environ `−0.0687395 delta-equivalent share` pour une hausse d'un point de volatilité implicite, avant recalibrage de la surface et prise en compte des ordres supérieurs.
- **Vomma à partir de la pente de Vega.** Pour un call Black-Scholes avec `S=100`, `K=120`, `r=4%`, `q=1%`, `σ=25%` et `τ=1`, la Vega brute est de `35.1268247986`, soit une Vega affichée de `0.3512682480 price per vol point`. La `Vomma_raw=49.9650569089` analytique équivaut à `0.0049965057 price per vol-point²`. La Vega affichée vaut `0.3459770760` à `24%` et `0.3559948122` à `26%` ; l'estimation centrée est donc `(0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point²`. L'écart avec la valeur analytique provient du choc fini et ne constitue pas une nouvelle grecque.
- **Courbure locale et réévaluation complète.** Dans l'exemple précédent avec `K=120`, le prix du modèle passe de `4.4188911173` pour une volatilité implicite de `25%` à `6.2276105891` pour `30%`, soit une variation exacte de `+1.8087194718 per share` ou `+$180.8719472` avec un multiplicateur de `100`. Vega seule estime `0.3512682480×5=1.7563412399`. En ajoutant Vomma, on obtient `1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611`, soit `+$181.8797561` par contrat, encore `+$1.0078089` au-dessus de la réévaluation complète. L'attribution de second ordre améliore une approximation locale, mais ne remplace pas une nouvelle exécution du modèle.

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## Risques et contrôles de validation

- Vérifier la série exacte, le droit contractuel et l'horodatage de valorisation.
- Consigner la famille, l'étalonnage et la version d'implémentation du modèle.
- Distinguer les coordonnées Delta au comptant, à terme et ajustée de la prime.
- Conserver l'instantané complet de la surface de volatilité et son interpolation.
- Préciser la convention sticky-strike, sticky-delta ou toute autre convention de choc.
- Préserver les hypothèses de taux, dividendes, distributions et coût d'emprunt.
- Modéliser l'exercice américain et ses frontières d'exercice anticipé le cas échéant.
- Traiter les dividendes discrets séparément des formules à rendement continu.
- Distinguer règlement en espèces, livraison physique et exposition après exercice.
- Figer `t` par rapport à `τ` et la convention de signe de Charm.
- Figer ACT/365, ACT/252, jours de négociation ou une échelle déjà quotidienne.
- Convertir volatilité décimale et points de volatilité sans erreur de facteur 100.
- Convertir Vega et Vomma brutes sans erreur de facteur 10 000.
- Appliquer de façon cohérente signe acheteur ou vendeur, quantité, multiplicateur et devise.
- Séparer les unités par action, par point, par contrat et de portefeuille.
- Tester les chocs de différences finies pour la troncature et la convergence.
- Éviter des chocs si faibles que le bruit numérique ou de cotation domine.
- Soumettre à des tests de résistance l'échéance, les sauts, événements, suspensions et payoff non réguliers.
- Ne pas compenser sans discernement des échéances, surfaces, modèles ou droits de règlement différents.
- Rapprocher les grecques au cours médian des couvertures exécutables, des frais et de la réévaluation complète.

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## Idées reçues

- **« Charm prévoit la Delta de demain. »** Il s'agit d'une dérivée locale selon une convention donnée de temps et de paramètres figés.
- **« Vanna est toujours positive. »** Son signe dépend du droit, de la moneyness, du temps, du modèle et de la convention de coordonnées.
- **« Vomma est Vega et elle est toujours positive. »** Vomma est la courbure de Vega ; son signe et son ampleur dépendent du modèle et de l'état.
- **« Les valeurs des prestataires sont directement comparables. »** Les horloges, signes, unités de volatilité, surfaces, modèles et échelles contractuelles peuvent différer.
- **« Les grecques de second ordre éliminent la réévaluation complète ou garantissent une couverture. »** Les chocs finis, effets croisés, sauts, contraintes de liquidité et contrats discrets subsistent.

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## Thèmes connexes

- [Delta et Gamma](/fr/options/delta-and-gamma/)
- [Theta](/fr/options/theta/)
- [Vega](/fr/options/vega/)

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## Sources de référence

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - Fondement à volatilité constante pour les options européennes régulières et les dérivées locales ; ne définit pas des appellations universelles des grecques et ne couvre pas universellement l'exercice américain, les dividendes discrets, le smile ou les sauts.
- [Option pricing: A simplified approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Cadre discret en arbre et de convergence pouvant prendre en charge l'exercice anticipé ; ne constitue ni une convention universelle des grecques d'ordre supérieur ni une surface en temps réel.
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - Montre que la dynamique de volatilité, la corrélation et la vol-of-vol rendent les sensibilités dépendantes du modèle ; ne garantit pas l'exactitude d'un étalonnage donné.
- [Vanna-Volga and the Greeks](https://doi.org/10.1002/wilm.10852) - Traite directement Vanna et Volga dans un cadre Vanna-Volga, avec des limites propres au change et à la méthode plutôt que des conventions universelles pour les actions ou Charm.
- [How to Calculate Options Prices and Their Greeks: Exploring the Black Scholes Model from Delta to Vega](https://www.wiley-vch.de/en/areas-interest/finance-economics-law/how-to-calculate-options-prices-and-their-greeks-978-1-119-01162-0) - Présentation pratique des sensibilités de premier et second ordre ; ne constitue ni une règle de marché, ni une cotation exécutable, ni une échelle d'affichage universelle.
- [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - Contrôles de différenciation numérique et d'interpolation symétrique ; ne constitue ni un modèle d'options, ni une définition de dérivée croisée, ni une taille canonique de choc.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - Limites contractuelles, d'exercice, d'assignation et de risque des options standardisées ; ne fournit ni formules, ni valeurs, ni signes, ni unités pour les grecques.
- [Cboe Volatility Index](https://cdn.cboe.com/resources/vix/VIX_Methodology.pdf) - Méthodologie officielle de volatilité implicite fondée sur les cotations, avec contrôles des strikes, du temps et du filtrage ; ne constitue ni la surface d'une option individuelle, ni une définition de grecque de second ordre, ni une couverture exécutable.

Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/charm-vanna-vomma/index.mdx