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title: "Color : sensibilité locale de Gamma au temps"
description: "Définit Color avec des signes explicites pour le temps calendaire et le temps restant, établit une référence Black-Scholes, normalise les unités, valide les différences finies, agrège les positions et maîtrise le risque de modèle."
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# Color : sensibilité locale de Gamma au temps
> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.
## Réponse directe
**Color** est le terme employé par les professionnels pour désigner la sensibilité locale de Gamma au passage du temps. Il s'agit d'une dérivée troisième d'une fonction de valorisation donnée, et non d'un champ normalisé par une bourse, d'une prévision de la Gamma du lendemain, d'un ordre de couverture ou d'un résultat financier. Deux fournisseurs peuvent publier des signes opposés ou des facteurs de `252`, `365`, du cours du sous-jacent ou du multiplicateur du contrat tout en restant chacun cohérent en interne.
Soit `t` le temps calendaire, `T` l'horodatage exact de l'échéance et `τ=T−t` le temps restant. Pour la valeur de l'option `V(S,σ,τ,…)`, `Δ=∂V/∂S` et `Γ=∂²V/∂S²=∂Δ/∂S`. La convention en temps restant définit `Color_τ=∂Γ/∂τ` ; la convention en temps calendaire définit `Color_t=∂Γ/∂t=−Color_τ`, le spot, les coordonnées de la surface de volatilité, les taux, les dividendes, le coût d'emprunt de titres et toutes les autres entrées du modèle étant maintenus constants.
La Gamma brute est la variation de Delta pour une unité de variation du cours du sous-jacent. Un affichage « Gamma par mouvement de 1 % du spot » la met plutôt à l'échelle `0.01SΓ`. Color hérite de l'unité de Gamma par unité de temps déclarée. Les conventions par action, par point, par contrat, en devise, de Gamma monétaire, annuelle, quotidienne ACT/365 et sur 252 jours de négociation doivent être normalisées avant comparaison ou agrégation. Si un fournisseur publie déjà un Color quotidien, le diviser une nouvelle fois par la base journalière est une erreur.
## Méthode de calcul et de contrôle
1. Figer précisément le droit et l'état : série, call ou put, quantité longue ou courte, multiplicateur, livrable, devise, `S`, `K`, `T` exact, style d'exercice, règlement, taux, dividendes continus ou discrets, emprunt de titres, surface de volatilité, modèle, horodatage de calibration et version.
2. Déclarer les coordonnées et unités avant le chiffre : Delta fondée sur le spot ou le forward, Gamma brute par unité de prix ou Gamma mise à l'échelle par mouvement en pourcentage, temps calendaire `t` ou temps restant `τ`, fraction d'année et type de jour, exposition par action ou par contrat, et toute convention de Gamma monétaire, notamment la présence éventuelle de `1/2`.
3. Pour une référence européenne de Black-Scholes-Merton avec rendement continu du dividende `y`, définir `d₁=[ln(S/K)+(r−y+σ²/2)τ]/(σ√τ)` et `Γ=e^(−yτ)φ(d₁)/(Sσ√τ)`.
4. Dans cette référence, `∂d₁/∂τ=[(r−y+σ²/2)τ−ln(S/K)]/(2στ^(3/2))` et `Color_τ=Γ[−y−d₁(∂d₁/∂τ)−1/(2τ)]` ; inverser ensuite le signe pour `Color_t`. Cette forme fermée ne régit ni l'exercice américain, ni les dividendes discrets, ni les sauts, ni la volatilité stochastique, ni les surfaces propriétaires.
5. Valider par des décalages de date centrés : estimer `Color_τ≈[Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h)`, recommencer avec un `h` plus petit et comparer avec une véritable avancée d'un jour de l'horloge. Contrôler les erreurs de troncature, d'annulation, de grille, de calibration, de jour férié, de fraction de journée et de proximité de l'échéance.
6. Normaliser chaque série, puis multiplier par la quantité de contrats signée et le multiplicateur réel. Ne compenser que les devises, coordonnées, échéances, surfaces, modèles, styles et règlements compatibles ; l'action elle-même a une Gamma et un Color nuls, même si elle peut couvrir Delta.
7. Revaloriser intégralement les scénarios de spot, niveau de volatilité implicite, skew, structure par terme, taux, dividendes, emprunt de titres, temps, sauts, exercice et règlement. Rapprocher le résultat du modèle des prix bid-ask exécutables, de la taille discrète de la couverture, de la liquidité, des frais, des exécutions réelles, des événements du cycle de vie et des Greeks après choc, plutôt que d'extrapoler Color.
## Exemples détaillés
- **Signe analytique et horloge.** Pour une option européenne avec `S=K=100`, `r=5%`, `y=2%`, `σ=20%` et `τ=0.5`, `d₁=0.176776695297` et `Γ=0.027495794412`. Les résultats analytiques sont `Color_τ=−0.028904953876/year` et `Color_t=+0.028904953876/year` ; en ACT/365, le Color quotidien local vaut `+0.000079191654/day`. Les signes diffèrent uniquement parce que `τ` diminue lorsque `t` avance.
- **Différence centrée et erreur de pas fini.** Dans la même référence, avec `h=1/365`, `Γ(τ+h)=0.027416921734`, `Γ(τ)=0.027495794412` et `Γ(τ−h)=0.027575307959`. L'estimation centrée est `[Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h)=−0.028905485995/year`, à seulement `−0.000000532119/year` du `Color_τ` analytique. Une avancée d'un jour entier modifie Gamma de `+0.000079513547`, et non exactement de la valeur locale `+0.000079191654` ; le mouvement fini unilatéral comprend troncature et courbure.
- **Color peut changer de signe et les positions doivent être signées.** Avec `S=80`, `K=100`, `r=3%`, `y=1%`, `σ=25%` et `τ=0.25`, `d₁=−1.682648410514`, `Γ=0.009660822757`, `Color_τ=+0.041952095723/year` et donc `Color_t=−0.041952095723/year`, soit `−0.000114937249/day`. Une revalorisation complète à un jour donne `Γ=0.009545008312`, soit une variation effective de `−0.000115814445`. La Gamma proche de l'échéance n'augmente pas toujours, et une position courte inverse chaque contribution signée.
- **L'extrapolation linéaire échoue près de l'échéance.** Pour `S=K=100`, `r=3%`, `y=1%`, `σ=25%` et `τ=10/365`, la Gamma initiale est `Γ₀=0.096326878660`, `Color_t=1.760952872868/year` et le Color local ACT/365 vaut `0.004824528419/day`. Après un jour entier, Gamma vaut `0.101546073059`, soit une variation de `+0.005219194399`. Après cinq jours, elle vaut `0.136284663571`, soit une variation réelle de `+0.039957784911`, tandis que cinq fois le Color quotidien initial ne prévoit que `+0.024122642094`. La dérivée locale attribue une sensibilité à l'état initial ; elle ne prévoit pas une trajectoire sur plusieurs jours.
## Liste de contrôle du modèle, des unités et de l'exécution
- Vérifier la série exacte, l'horodatage de valorisation, l'horodatage d'échéance et la fraction de journée restante.
- Déclarer le signe de la position ; les contrats longs et courts inversent le même Greek par option.
- Distinguer `t` de `τ` et consigner le sens qui définit un Color positif.
- Déclarer ACT/365, ACT/252, jour de négociation, jour calendaire ou toute autre convention de fraction d'année.
- Éviter la double conversion annuelle-quotidienne et l'application erronée aux week-ends ou jours fériés.
- Distinguer les coordonnées spot et forward et consigner toute convention de Delta corrigée de la prime.
- Séparer la Gamma par mouvement de `$1` de `0.01SΓ` par mouvement de `1%` du spot.
- Définir explicitement la Gamma monétaire, notamment si l'affichage utilise `ΓS²`, `ΓS²/100`, `ΓS²/10000` ou un facteur `1/2`.
- Séparer unité de sous-jacent, point, contrat, quantité signée, multiplicateur et livrable ajusté.
- Normaliser devise, conversion FX, traitement quanto et unités de cotation du contrat.
- Figer ou préciser sticky-strike, sticky-delta ou une autre règle de déplacement de la surface de volatilité.
- Soumettre à des tests de résistance le niveau de volatilité implicite, le skew, la structure par terme et les changements de calibration ou d'extrapolation.
- Rapprocher taux, dividendes continus ou discrets, distributions, emprunt de titres et opérations sur titres.
- Utiliser un modèle compatible avec l'exercice pour les droits américains et tester les frontières d'exercice anticipé.
- Distinguer règlement en espèces et livraison physique, puis modéliser la position après exercice ou assignation.
- Comparer les décalages centrés et unilatéraux, faire varier `h` et détecter troncature et annulation numérique.
- Raffiner les grilles d'arbre, de PDE, de quadrature ou de simulation près de l'échéance et des frontières de payoff non lisses.
- Ne pas compenser aveuglément des échéances, surfaces, modèles, styles, règlements, devises ou horodatages incompatibles ou périmés.
- Revaloriser intégralement sauts, gaps, mouvements événementiels, changements de trajectoire et plusieurs jours au lieu d'extrapoler le Color local.
- Inclure largeur bid-ask, liquidité, contrats de couverture discrets, frais, réserves de modèle, exécution et opérations du cycle de vie.
## Idées reçues
- Un Color positif garantit que Gamma sera plus élevée demain.
- Color est Theta ou l'érosion temporelle du prix de l'option.
- Chaque call ou put long a le même signe de Color, et les champs des fournisseurs ne nécessitent aucune normalisation.
- Multiplier le Color quotidien par le nombre de jours prédit la Gamma future ou la quantité de couverture.
- Un Greek d'ordre supérieur plus précis garantit une couverture exécutable ou un résultat certain.
## Thèmes associés
- [Delta et Gamma](/fr/options/delta-and-gamma/)
- [Charm, Vanna et Vomma](/fr/options/charm-vanna-vomma/)
- [Theta](/fr/options/theta/)
## Sources de référence
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - JSTOR
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier
- [FX Greeks](https://doi.org/10.1002/wilm.10733) - Wilmott Magazine Ltd
- [DLMF §3.4 Differentiation](https://dlmf.nist.gov/3.4) - National Institute of Standards and Technology
- [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council
- [Hanweck Implied Volatility and Greeks](https://www.cboe.com/services/analytics/hanweck/implied_volatility/) - Cboe Global Markets
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation
Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/color-greek/index.mdx