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title: "Volatilité locale de Dupire : d’une surface d’options à une diffusion"
description: "Auditez la volatilité locale de Dupire dans les coordonnées de prix, de forward et de variance totale, avec contrôles de l’ajustement sans arbitrage, de la stabilité des dérivées, de la revalorisation et du modèle dynamique."
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# Volatilité locale de Dupire : d’une surface d’options à une diffusion
> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.
## Réponse directe
La **volatilité locale de Dupire** est un coefficient de diffusion instantané déterministe `σ_loc(S,t)`, déduit d’une surface suffisamment régulière et sans arbitrage de prix d’options européennes. Dans le modèle de portage risque-neutre retenu, elle construit une diffusion dont les distributions marginales à chaque date reproduisent les prix actuels des options vanille pour différents prix d’exercice et différentes échéances.
Il s’agit d’un résultat de calibrage, et non de la volatilité implicite au même prix d’exercice, d’une prévision de la volatilité réalisée ou de la preuve que le marché suit une unique loi de trajectoire à volatilité locale. Une revalorisation exacte des options vanille peut coexister avec une dynamique future du smile, des prix de barrières, des résultats de couverture et un comportement de sauts erronés.
## Modèle, coordonnées et processus de contrôle
1. Fixez précisément le payoff européen, le sous-jacent, la valeur de règlement, l’horodatage de la cotation, la devise, les unités du prix d’exercice et de l’échéance ainsi que la date de valorisation. La valeur d’exercice anticipé des options américaines et les sauts dus à des dividendes discrets imposent une européanisation explicite ou un autre modèle.
2. Construisez les données déterministes d’actualisation et de portage : `D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du)`, `D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du)` et `F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T)`. Rapprochez les forwards au moyen d’une parité put-call synchronisée, sans combiner des observations décalées de l’action, des options, des taux ou des dividendes.
3. Nettoyez les cotations acheteur et vendeur, écartez les marchés périmés ou croisés et convertissez les puts et les calls de manière cohérente. Imposez les bornes verticales, des prix de calls décroissants et convexes selon le prix d’exercice, une densité non négative et une cohérence calendaire dans un même repère d’actualisation et de forward avant toute dérivation.
4. Ajustez une surface régulière de prix ou de variance totale en déclarant les règles d’interpolation et d’extrapolation dans les ailes et le temps. Pour des calls européens actualisés à la date zéro `C(K,T)` et des taux instantanés déterministes `r(T)` et `q(T)`, la formule en coordonnées de prix est `σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK]`, où `C_T` maintient `K` constant et `C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0`.
5. Faites correspondre chaque dérivée à sa coordonnée. Avec `k=K/F(T)` et le call normalisé `c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T))`, on obtient `σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk)`. Avec la log-moneyness forward `y=ln(K/F(T))` et la variance implicite totale `w(y,T)=σ_BS²(y,T)T`, définissez `g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2` et utilisez `σ_loc²=w_T|y/g`. Exigez `w_T|y≥0` et `g>0` : les dérivées à `K`, `k` et `y` constants ne sont pas interchangeables.
6. Rejetez une variance locale négative ou instable plutôt que de lui imposer silencieusement un plancher. Perturbez les cotations, forwards, dividendes, nœuds, interpolations, maillages et conditions aux limites, puis revalorisez les options de calibrage et de validation à l’aide d’implémentations de densité forward, de PDE backward et de Monte Carlo.
7. Comparez les barrières, les autres droits dépendant de la trajectoire et le P/L de couverture sous volatilité locale, volatilité stochastique et scénarios de sauts. Consignez la version des cotations, les filtres, les courbes, les paramètres de surface, le schéma de dérivation, les nœuds en échec, l’extrapolation, les tolérances du solveur et les changements de recalibrage.
## Quatre exemples détaillés
- **Une surface plate de Black-Scholes retrouve son paramètre d’entrée.** Soient `S₀=K=100`, `T=0.5`, `r=4%`, `q=1%` et `σ_BS=25%`. La surface exacte donne `C=7.721552230288`, `C_K=−0.488716794830`, `C_KK=0.022120576997` et `C_T=8.301615173889`. Le numérateur vaut `6.912680311701` et le dénominateur `110.602884987209` ; ainsi, `σ_loc²=0.0625` et `σ_loc=25%`.
- **Les dérivées secondes amplifient les plus petites erreurs de prix.** Sur la même surface plate, les calls aux prix d’exercice `99/100/101` valent `8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654`. Avec un pas `h=$1`, l’estimation centrale est `C_KK≈0.022115059190`, ce qui donne `σ_loc≈25.0031186%` avec les autres dérivées exactes. Relever uniquement le call central de `$0.01` porte l’estimation à `C_KK≈0.002115059190` et `σ_loc≈80.8494317%` ; le relever de `$0.05` donne `C_KK≈−0.077884940810` et `σ_loc²≈−0.017751006138`, résultat invalide et non prévision de volatilité.
- **La normalisation forward exige une dérivée temporelle à `k` constant.** Soient `D_d=0.98`, `F=102`, `k=1`, `c=0.08`, `c_T|k=0.032` et `c_kk=3.20`. Alors `C=7.9968`, `C_KK=0.030745098039`, le numérateur en coordonnées de prix vaut `3.19872` et le dénominateur `159.936`. Les deux formules donnent `σ_loc²=0.020000000000` et `σ_loc=14.1421356237%`. Une dérivée temporelle prise à prix d’exercice constant ne peut pas être utilisée comme `c_T|k` sans le terme de conversion de coordonnées.
- **Le dénominateur de variance totale constitue un diagnostic d’arbitrage.** Pour `y=−0.1`, soient `w=0.04`, `w_y=−0.10`, `w_yy=0.50` et `w_T|y=0.02`. On obtient `g=0.9525`, `σ_loc²=0.020997375328` et `σ_loc=14.4904711200%`. Si seul `w_yy` passe à `−1.50`, alors `g=−0.0475` et la formule produit `σ_loc²=−0.421052631579` ; la surface ou le nœud ajusté doit être rejeté ou corrigé, et non tronqué puis présenté comme calibré.
## Liste de contrôle du calibrage
- La valeur d’exercice d’une option américaine peut contaminer une surface traitée comme européenne.
- Des dividendes discrets ou incertains contredisent une diffusion régulière à rendement continu aux dates d’événement.
- Les courbes de taux, la capitalisation, les conventions de décompte des jours et les heures d’échéance peuvent être incohérentes.
- Les coordonnées spot, prix d’exercice, forward, log-moneyness et prime normalisée peuvent être confondues.
- Les cotations peuvent être périmées, asynchrones, croisées ou associées à des tailles incompatibles.
- Les prix moyens ne sont pas exécutables et peuvent masquer des marchés larges ou unilatéraux.
- La parité put-call et les forwards déduits peuvent être faussés par le prêt de titres, les dividendes ou le décalage temporel.
- Les bornes verticales et la monotonie des calls peuvent être enfreintes avant l’ajustement de la surface.
- La convexité butterfly et les conditions de densité positive peuvent être enfreintes localement ou dans les ailes.
- Les conditions calendaires doivent être testées dans des coordonnées cohérentes d’actualisation et de forward.
- Les échéances courtes et les prix d’exercice peu nombreux rendent les dérivées instables.
- L’extrapolation dans les ailes et aux longues échéances peut dominer la valorisation des produits exotiques.
- Les différences finies, splines et différentiations automatiques peuvent amplifier différemment le bruit des cotations.
- Une densité proche de zéro rend le dénominateur de la variance locale mal conditionné.
- Un numérateur ou une variance locale négatifs signalent des données incohérentes, un arbitrage ou un problème numérique.
- Un écrêtage ou un plancher silencieux peut masquer un calibrage défaillant et fausser la revalorisation.
- Les implémentations par PDE, densité, Monte Carlo, maillage et conditions aux limites peuvent diverger.
- L’ajustement des distributions marginales à une seule date ne détermine ni le smile futur ni la dynamique des trajectoires.
- Les sauts, la volatilité stochastique, les barrières et la couverture discrète créent un risque de modèle résiduel.
- La version des données, les filtres, les versions des paramètres, les nœuds en échec et le recalibrage exigent une gouvernance.
## Idées fausses courantes
- « La volatilité locale est la volatilité implicite au même prix d’exercice. » Ce sont des objets différents, reliés par l’ensemble de la surface.
- « Une surface visuellement régulière doit produire une volatilité locale stable. » La régularité ne garantit à elle seule ni l’absence d’arbitrage ni des dérivées bien conditionnées.
- « La revalorisation exacte des options vanille prouve que les prix et couvertures des produits exotiques sont corrects. » Elle valide des distributions marginales statiques, pas la véritable dynamique.
- « Une variance locale négative est une information de marché. » Elle révèle généralement des cotations, un arbitrage, des coordonnées, une interpolation ou des calculs numériques incohérents.
- « La surface actuelle prédit de manière unique la volatilité réalisée ou le processus réel. » Plusieurs dynamiques peuvent partager les mêmes distributions vanille à chaque date.
## Sujets connexes
- [Volatilité implicite](/fr/options/implied-volatility/)
- [Arbitrage butterfly](/fr/options/butterfly-arbitrage/)
- [Arbitrage calendaire](/fr/options/calendar-arbitrage/)
## Sources primaires et faisant autorité
- [Pricing with a smile](https://www.risk.net/derivatives/equity-derivatives/1500211/pricing-with-a-smile)
- [Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices](https://doi.org/10.1086/296025)
- [Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes having an Itô differential](https://doi.org/10.1007/BF00699039)
- [Arbitrage-free SVI volatility surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Volatility Interpolation](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694972)
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/dupire-local-volatility/index.mdx