---
title: "Options d’échange : valorisation de Margrabe et risque relatif"
description: "Valorisez une option d’échange avec quantités, carry, volatilité et corrélation explicites, puis contrôlez règlement, exécution et contrepartie."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Options d’échange : valorisation de Margrabe et risque relatif
> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.
## Réponse directe
Une **option d’échange** donne à son détenteur le droit, non l’obligation, de livrer une quantité définie d’un actif et d’en recevoir une définie d’un autre. Si le droit livre `a` unités de l’actif 1 contre `b` unités de l’actif 2 à `T`, son payoff en devise commune est `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`. Ratio, actifs, devise, fixing et livrable sont des données contractuelles, pas un multiplicateur à déduire après coup.
La formule de Margrabe valorise un droit européen précis sans strike monétaire, avec actifs conjointement lognormaux, carry proportionnel déterministe, volatilités et corrélation constantes, négociation continue et réplication sans friction. C’est un benchmark, pas une cotation exécutable, une garantie de couverture, un contrat coté standard ou un close-out bilatéral.
## Construire le droit et le modèle
1. Écrire payoff, quantités, devise commune, style, fixing, règlement et règles d’opérations sur titres ; ne pas se fier au seul nom.
2. Définir `X1 = a x S1` et `X2 = b x S2` ; figer spots synchronisés, rendements `q1` et `q2`, volatilités `sigma1` et `sigma2`, corrélation `rho` et fraction annuelle `T`.
3. Calculer `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)` et vérifier covariances, unités, horodatage et semi-définie positivité.
4. Utiliser `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`, avec `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))` et `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`.
5. Revaloriser sur les deux surfaces, corrélation, carry, sauts et liquidité. Une `rho` plus faible augmente généralement `sigmaR` et la valeur vanilla ; une corrélation historique n’est ni un input négociable ni une distribution conjointe complète.
6. Rattacher le droit à l’instrument : contrats cotés, FLEX et OTC bilatéraux diffèrent par multiplicateur, exercice, règlement, fixing, collatéral, close-out, netting, litige et contrepartie.
7. Enregistrer côtés exécutables, frais, couvertures, financement, collatéral, distributions, trésorerie ou inventaire et résidus ; rapprocher confirmation juridique et caisse, sans prendre le mark pour un P/L réalisé.
L’absence de taux sans risque explicite provient du numéraire, pas de l’inutilité du financement. Forwards, distributions, prêt de titres, rémunération du collatéral, FX, spreads et close-out comptent. Avec deux devises, définir d’abord devise de règlement et conversion FX ou règle quanto ; soustraire des prix bruts en devises différentes n’a aucun sens.
## Quatre exemples détaillés
- **Valeur un pour un.** Avec `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50`, `q1=q2=0` : `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751`, `d2=0.4159129058`, valeur `$13.815554` contre intrinsèque `max(110-100,0)=$10`. Ce n’est pas une offre.
- **Les quantités entrent dans le modèle.** Un droit échange `b=200` actions 2 contre `a=150` actions 1. Avec `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%`, `q2=3%` : `X1=$12,000`, `X2=$11,000`, volatilité `28.9274955708%`, `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820`, valeur `$1,799.02`. Un multiplicateur supposé de `100` change le droit.
- **La corrélation est une exposition de modèle.** Dans le premier exemple, `rho=0.90` donne `sigmaR=14.8323969742%` et `$11.086226` ; `rho=-0.50` donne `sigmaR=43.5889894354%` et `$18.464726`. Cela ne prévoit pas la corrélation réalisée ; surfaces, sauts, carry et couverture peuvent dominer.
- **Règlement et exécution sont des registres distincts.** Trois droits échangent chacun `80` actions 2 contre `50` actions 1. À `S1=$140`, `S2=$80`, chaque payoff vaut `max(50x140-80x80,0)=$600`, soit `$1,800` en espèces ; physiquement, livrer `240` actions et recevoir `150`. À `S1=$138.50`, `S2=$80.40`, la caisse vaut `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`, soit `$321` de moins. Le mark du dealer ne remplace pas le fixing.
## Processus en sept étapes et contrôles
- Actif, classe, indice, devise ou émetteur juridique erroné.
- Direction, signe, quantité, ratio, multiplicateur ou livrable erroné.
- Payoff en devises incompatibles sans règle FX ou quanto.
- Style, maturité, fixing, fuseau ou règlement incohérents.
- Erreur d’opération sur titres, distribution, dividende, emprunt ou retenue.
- Spots, forwards, courbes, surfaces ou FX obsolètes ou asynchrones.
- Erreur d’unité, décompte des jours, rendement ou échelle de covariance.
- Matrice incohérente ou estimation historique instable.
- Une corrélation masque strike, maturité, régime et dépendance de queue.
- Échec des hypothèses de volatilité/corrélation constante ou lognormalité.
- Sauts, défauts, suspensions et fermetures.
- Delta relative, Gamma croisée, Vega, corrélation et carry évoluent ensemble.
- Réplication continue supposée pendant gap, suspension ou illiquidité.
- Prix de modèle confondu avec bid ou offer exécutable.
- Spécifications FLEX/cotées étendues à un droit sur mesure.
- Confirmation OTC, collatéral, netting, close-out ou litige incohérents.
- Défaut, wrong-way risk, manque de collatéral ou recouvrement incertain.
- Couvertures partielles, risque de base, impact, frais et financement asymétrique.
- Inventaire, fixing cash, FX et fiscalité non rapprochés.
- Version, millésime, confirmation, collatéral et P/L final non rapprochés.
## Idées reçues
- « Option d’échange signifie option négociée en bourse. » La première décrit un payoff ; la seconde un marché.
- « Le ratio s’applique après la valorisation. » Les quantités entrent dans le logarithme et les deux termes actualisés.
- « Le taux disparaît, donc le financement ne compte pas. » Le numéraire n’élimine ni carry, collatéral, emprunt, FX ni financement.
- « La corrélation est observable et stable. » Elle est estimée, conditionnelle et seulement une partie du risque conjoint.
- « La valeur fermée est un prix de close-out. » Exécution, crédit, droit, liquidité, couverture et litiges peuvent différer.
## Sujets associés
- [Volatilité implicite](/fr/options/implied-volatility/)
- [Corrélation implicite](/fr/options/implied-correlation/)
- [Options quanto](/fr/options/quanto-options/)
## Sources primaires
- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/exchange-options/index.mdx