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title: "Mouvement brownien geometrique : mesures, simulation exacte et risque de modele"
description: "Auditez le GBM au moyen des mesures physique et risque-neutre, des moments lognormaux, de la simulation exacte face a Euler, de l'erreur de Monte-Carlo, du suivi des trajectoires et des limites du modele."
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# Mouvement brownien geometrique : mesures, simulation exacte et risque de modele

> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

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## Reponse directe

Sous la mesure physique `P`, le mouvement brownien geometrique a parametres constants s'ecrit `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`. Sa solution exacte est `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]` ; ainsi, `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)` et les prix a horizon fini sont strictement positifs.

Ici, `mu` est le parametre instantane de croissance attendue du prix, et non la croissance moyenne du rendement logarithmique. Sous la mesure risque-neutre `Q`, un actif ex-dividende offrant un rendement continu `q` suit `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`. Ces mesures repondent a des questions differentes et utilisent des mouvements browniens distincts ; les probabilites risque-neutres ne sont pas des previsions de rendement.

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## Construire et valider le GBM en sept etapes

1. Precisez si l'objectif est une prevision physique, une valorisation risque-neutre, un test de resistance, un test numerique ou un exercice pedagogique ; ne melangez pas les resultats de `P` et de `Q`.
2. Fixez `S_0`, la devise, la convention de prix ou de rendement total, `mu` ou `r - q`, la volatilite, les taux, les dividendes, l'horizon, l'horodatage, la base de calcul, la capitalisation et le traitement des operations sur titres.
3. Ecrivez l'EDS propre a la mesure, sa solution exacte et ses unites. Sous `P`, `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` et `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`.
4. Validez la moyenne et la variance du rendement logarithmique, la moyenne, la variance, la mediane, le mode et les quantiles du prix, ainsi que la distinction entre rendement simple et logarithmique, avant d'utiliser des trajectoires ou des payoffs.
5. Pour un GBM constant par morceaux, simulez avec `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]`, des variables independantes `Z_i ~ N(0,1)`, un generateur consigne et une graine reproductible. Ne comparez Euler que dans le cadre d'une etude de discretisation.
6. Indiquez le nombre de trajectoires, l'estimateur, l'erreur-type, l'intervalle de confiance et la convergence. Pour les barrieres, extrema, premiers passages ou observations discretes, traitez les franchissements entre deux pas par des ponts browniens ou une approximation de suivi explicite.
7. Separez les erreurs de parametre, d'echantillonnage, de discretisation et de structure du modele ; testez les sauts, la volatilite stochastique, les queues epaisses, l'effet de levier, le defaut, la liquidite, les suspensions, les couts, le reglement et les changements de regime.

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## Quatre exemples detailles

- **Moments de la distribution physique.** Soient `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` et `T = 1`. La moyenne du rendement logarithmique est `0.06` et sa variance `0.04`. La mediane vaut `$106.1836546545`, la moyenne `$108.3287067675`, le mode `$102.0201340027`, la variance `$478.9188716836` et l'ecart-type `$21.8842151261`. Les chocs `Z = -1` et `Z = +1` donnent `$86.9358235399` et `$129.6930086666` ; ce sont des scenarios, pas des bornes.
- **Trajectoire exacte face a Euler.** Avec `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` et `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]`, les prix exacts sont `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` et `$117.9393118711`. Euler aboutit a `$119.3300424062`. La transition exponentielle exacte preserve la positivite pour ces coefficients constants ; Euler presente un biais de discretisation et peut devenir negatif.
- **Valeur risque-neutre d'une option.** Soient `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` et `T = 0.75`. Le forward vaut `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995` et `d_2 = -0.2470027504` ; la valeur du call europeen est `$7.2291486749`. La derive physique `mu` n'intervient pas dans ce prix encadre par l'absence d'arbitrage.
- **Erreur d'echantillonnage Monte-Carlo.** Sous `P`, prenez `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` et `T = 0.5`. Pour `S_T > $120`, le seuil est `z_star = 0.9217649222` et la probabilite exacte `0.1783256040`. Avec `N = 100,000` trajectoires independantes, l'erreur-type theorique de Bernoulli vaut `0.0012104775` ; la demi-largeur a `95%` est `0.0023725358`, ce qui donne l'intervalle de reference centre sur la vraie valeur `[0.1759530681, 0.1806981400]`. Davantage de trajectoires reduisent l'erreur d'echantillonnage, pas l'erreur de modele.

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## Risques lies aux donnees, au numerique et au modele

- Melanger mesures physique et risque-neutre ou leurs mouvements browniens.
- Traiter `mu` comme croissance moyenne du rendement logarithmique ou comme rendement simple fini.
- Confondre prix ex-dividende, rendement total et distributions reinvesties.
- Melanger `r`, `r - q`, dividendes discrets, capitalisation et conventions de forward.
- Melanger unites de temps calendaires, de seance, intrajournalieres et annualisees.
- Appliquer la volatilite en pourcentage plutot qu'en decimal ou avec une mauvaise annualisation.
- Utiliser des parametres obsoletes, des donnees revisees, des informations futures ou des horodatages incoherents.
- Se fier a une estimation courte et bruitee de la derive pour prevoir la direction.
- Supposer des increments logarithmiques gaussiens, stationnaires et independants dans tous les regimes.
- Considerer la volatilite constante comme compatible avec le skew, la structure par terme, le clustering et l'effet de levier.
- Omettre les sauts, gaps nocturnes, defauts a zero et suspensions de cotation.
- Supposer qu'un modele lognormal saisit les queues epaisses et la dependance en crise.
- Ignorer les taux, dividendes et couts d'emprunt stochastiques ou la correlation multi-actifs.
- Utiliser Euler lorsqu'une transition GBM exacte existe ou ignorer la possibilite de prix negatifs.
- Ne pas consigner le generateur, la graine, la methode antithetique ou de reduction de variance et les donnees de reproductibilite.
- Presenter des trajectoires sans erreur-type de l'estimateur, intervalle de confiance et convergence.
- Manquer les franchissements de barriere entre pas, les extrema et les premiers passages.
- Confondre davantage de pas de temps avec une moindre erreur structurelle du modele.
- Prendre l'ajustement a un prix ou a un moment de distribution pour une validation du modele.
- Omettre prix executables, liquidite, couts, fermeture du marche, reglement du produit, gouvernance et rapprochement.

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## Idees fausses courantes

- **"Le GBM predit le cours d'une action."** Il definit une distribution conditionnelle sous les parametres choisis.
- **"La derive du rendement logarithmique est mu."** Elle vaut `mu - 0.5 sigma^2` dans la notation physique employee ici.
- **"Une probabilite risque-neutre est une prevision reelle."** C'est une mesure de valorisation sous des hypotheses de marche explicites.
- **"Davantage de pas ou de trajectoires rendent le modele de marche realiste."** Ils traitent l'erreur de discretisation ou d'echantillonnage, pas les facteurs economiques absents.
- **"Des prix lognormaux positifs bornent le risque de baisse."** Ils peuvent s'approcher arbitrairement de zero et le GBM omet le defaut soudain.

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## Sujets connexes

- [Modele de Black-Scholes](/fr/options/black-scholes-model/)
- [Valorisation d'options par Monte-Carlo](/fr/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [Modele d'options a diffusion avec sauts](/fr/options/jump-diffusion-option-model/)

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## Sources primaires et academiques

- [Sur les equations differentielles stochastiques](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Mathematiques des prix speculatifs](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [La valorisation des options et des passifs d'entreprise](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Theorie de la valorisation rationnelle des options](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Introduction algorithmique a la simulation numerique d'equations differentielles stochastiques](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Distribution lognormale](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Valorisation des options lorsque les rendements du sous-jacent sont discontinus](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [La variation de certains prix speculatifs](https://doi.org/10.1086/294632)

Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/geometric-brownian-motion/index.mdx