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title: "Modèle d'option de diffusion par saut : tarification des mouvements discontinus"
description: "Comprenez comment la diffusion des sauts de Merton ajoute des écarts aléatoires aux rendements continus, comment l'intensité et la taille des sauts affectent les options de queue, et pourquoi le risque de saut ne peut pas être continuellement couvert par Delta."
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# Modèle d'option de diffusion par saut : tarification des mouvements discontinus

> À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

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## Réponse directe

Un **modèle de diffusion par saut** complète la diffusion continue des prix par des mouvements discontinus programmés de manière aléatoire. Dans le modèle de Merton, un processus de Poisson détermine les arrivées de sauts et une distribution distincte détermine la taille des sauts. Cela donne aux options à court terme et très hors de la monnaie (OTM) plus de probabilité de queue que ce qu'un mouvement brownien géométrique à volatilité constante peut produire. Il peut représenter de manière plus réaliste des écarts de bénéfices, des nouvelles sur les rachats, des défauts, des surprises politiques ou des crises, mais il reste un modèle. Le moment et l’ampleur du saut ne sont pas connus à l’avance, de sorte que la négociation continue d’actions ne peut pas parfaitement reproduire et couvrir l’option.

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## Mécanique du modèle et signification des prix

Une spécification courante est `dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t`. Ici `σ` est la volatilité de diffusion, `N_t` est un processus de Poisson d'intensité annuelle `λ`, `J` est le saut multiplicatif et `κ=E[J-1]`. Le compensateur `-λκ` empêche le composant de saut de modifier silencieusement la dérive attendue prévue. Dans une tarification sans risque, la distribution des dérives et des sauts doit être ajustée ou calibrée de manière cohérente avec les prix négociés.

Sous réserve des sauts `n`, le retour du journal du terminal est souvent normal dans une hypothèse de saut lognormal. Une option européenne peut alors être évaluée comme un mélange pondéré de Poisson de prix conditionnels de type Black-Scholes. Une intensité de saut plus élevée, une dispersion de saut plus grande ou des sauts à la baisse plus négatifs augmentent généralement les valeurs des options extrêmes et modifient l'asymétrie, mais les paramètres peuvent faire un compromis avec la volatilité de diffusion et ne sont pas identifiés de manière unique par un petit échantillon d'options.

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## Un calcul de saut sur 30 jours

Faites `λ=4` sauts par an et `T=30/365` an. Les sauts attendus sont `λT=0.329` et la probabilité de Poisson d'au moins un saut est `1-e^(-λT)=28.0%`. Il s’agit de la probabilité du modèle selon la mesure sélectionnée, et non d’une affirmation selon laquelle quatre accidents visibles se produisent chaque année.

Soit la volatilité de diffusion égale à `σ=20%`, le saut logarithmique moyen `m=-5%` et l'écart type de la taille du saut `δ=10%`. Un simple proxy de variance du log-rendement annuel est :

Si la taille du saut logarithmique est `Y~N(m,δ²)`, un proxy simple de la variance annuelle du rendement logarithmique est :

`σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09`,

dont la racine carrée est `30%`. Le compensateur de saut est `κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%`. Ces calculs expliquent l'échelle des paramètres ; `30%` n'est pas automatiquement la probabilité implicite d'une option, et le prix total nécessite une remise et une intégration des gains cohérentes avec les mesures.

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## Liste de contrôle d'étalonnage et de risque

- Indiquez si les paramètres sont historiques ou neutres en termes de risque. La fréquence des sauts physiques ne peut pas être insérée dans une formule de tarification sans une hypothèse de prime de risque.
- Calibrez les strikes (prix d’exercice) et les expirations à l'aide de cotations exécutables synchronisées, de contrats à terme, de taux, de dividendes et de conditions contractuelles.
- Test d'identifiabilité des paramètres : la volatilité de la diffusion, l'intensité du saut, le saut moyen et la dispersion du saut peuvent produire des sourires similaires.
- Inspecter l'ajustement en dehors de l'ensemble d'étalonnage et à travers les dates ; un excellent ajustement dans l'échantillon peut être instable hors échantillon.
- Préserver les limites de non-arbitrage et vérifier la convergence numérique des méthodes de troncature, d'intégration, de simulation ou de transformation de Poisson.
- Sauts groupés de stress et intensité dépendante de l'état. Un processus de Poisson indépendant et constant ne peut pas capturer chaque crise ou chaque calendrier de bénéfices.
- Séparer la dispersion de saut symétrique de l'asymétrie de saut négative ; ils affectent les options de vente, les options d’achat et sont biaisés différemment.
- La couverture delta ne peut pas être négociée lors d'un saut instantané. Signalez l'écart P&L et le saut résiduel des Grecs plutôt que de prétendre à une couverture complète.
- Incluez le Bid/Ask, la perte de liquidité, la marge, l'emprunt, l'exercise (exercice de l’option par son détenteur) anticipé, les dividendes et le règlement lorsque vous comparez la valeur du modèle avec une transaction.
- Utilisez des Black-Scholes plus simples et des limites intrinsèques/sans arbitrage observées comme diagnostics avant de faire confiance à un modèle plus flexible.

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## Idées fausses courantes

- "La diffusion par saut prédit le prochain écart." Il spécifie une distribution, et non le moment ou la direction d'un événement particulier.
- "L'ajout de sauts améliore toujours les prévisions." Des paramètres supplémentaires peuvent surajuster le bruit des options et les régimes instables.
- "Lambda est le nombre d'accidents par an." Il compte les sauts modélisés selon une convention de mesure et de seuil déclarée.
- "Le proxy de variance de 30 % est l'option IV." Le sourire, la maturité, la prime de risque et l’intégration des gains demeurent.
- "Plus de sauts ne font qu'augmenter les prix des options de vente." Les sauts positifs et négatifs peuvent soulever les deux queues ; l'asymétrie détermine l'inclinaison.
- "La couverture Delta supprime le risque de saut." Un mouvement discontinu se produit avant qu'une couverture continue puisse se rééquilibrer.
- "Le saut historique estime les paramètres de tarification égaux." Les prix neutres au risque intègrent une compensation pour le risque de saut de support.
- "La diffusion Merton Jump explique chaque sourire." La volatilité stochastique, la volatilité locale, la liquidité et les processus de sauts multiples peuvent également avoir une importance.

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## Sujets connexes

- [Modèle Black-Scholes](/fr/options/black-scholes-model/)
- [Mouvement brownien géométrique](/fr/options/geometric-brownian-motion/)
- [Modèle Heston](/fr/options/heston-model/)
- [Options d'espacement](/fr/options/gap-options/)
- [Volatilité implicite](/fr/options/implied-volatility/)
- [Couverture delta](/fr/options/delta-hedging/)

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## Sources primaires et académiques

- [Merton : tarification des options lorsque les rendements des actions sous-jacentes sont discontinus](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [Black et Scholes : la tarification des options et des responsabilités d'entreprise](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Bates : sauts et volatilité stochastique](https://doi.org/10.1093/rfs/9.1.69)
- [Kou : un modèle de diffusion par sauts pour la tarification des options](https://doi.org/10.1287/mnsc.48.8.1086.166)
- [OCC (Options Clearing Corporation, chambre de compensation des options cotees aux Etats-Unis) : Caractéristiques et risques des options standardisées](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Cboe : Méthodologie VIX](https://cdn.cboe.com/api/global/us_indices/governance/VIX_Methodology.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/fr/options/jump-diffusion-option-model/index.mdx