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title: "Valutazione binomiale delle opzioni: replica, carry, esercizio anticipato e convergenza"
description: "Costruisci e valida un albero ricombinante, separa carry e sconto, replica i valori ai nodi e controlla esercizio anticipato, convergenza e limiti di esecuzione."
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# Valutazione binomiale delle opzioni: replica, carry, esercizio anticipato e convergenza

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Un modello binomiale valuta un'opzione su una griglia di stati discreti; non prevede che il sottostante compia letteralmente solo due movimenti. A ogni nodo applica un fattore rialzista `u` o ribassista `d`, valuta i flussi contrattuali terminali e procede a ritroso fino a oggi. In un mercato completo con un solo fattore di rischio, lo stesso valore del nodo può essere verificato con un portafoglio locale di azioni e cassa che lo replica.

Per un passo di durata `Delta t`, separa il fattore di crescita del finanziamento `B = exp(r Delta t)` dal fattore di crescita del carry del sottostante `G = exp((r - q) Delta t)`. Con rendimento proporzionale continuo `q`, il peso di valutazione senza arbitraggio è

`p = (G - d) / (u - d)`, subordinato a `d < G < u`.

La continuazione europea è `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`. In un nodo in cui il titolare può esercitare, il valore americano o bermudiano è `V = max(H,C)`, dove `H` è il valore di esercizio immediato e `C` il valore di continuazione. Il modello produce un valore per unità del sottostante; moltiplicatore, quantità, regolamento ufficiale, prezzi eseguibili, commissioni, margine e credito restano separati.

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## Procedura

1. **Fissa diritto e calendario.** Registra sottostante e serie esatti, call o put, strike, istante di valutazione, scadenza e conteggio giorni, date e stile di esercizio, regolamento ufficiale, moltiplicatore, consegnabile, valuta, dividendi, prestito titoli, rettifiche e unità dell'output.
2. **Scegli e documenta la griglia.** Definisci `N`, `Delta t = T / N` e una parametrizzazione. La comune scelta CRR è `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` e `d = 1 / u`; alberi diversi possono far coincidere momenti diversi e convergere diversamente.
3. **Separa carry e sconto.** Costruisci `B = exp(r Delta t)` con il tasso zero coerente col modello e `G = exp((r - q) Delta t)` con il carry continuo; poi calcola `p = (G - d) / (u - d)`. Un dividendo monetario noto richiede un trattamento esplicito del nodo ex dividendo e può impedire la semplice ricombinazione.
4. **Costruisci stati e diritti terminali.** In un albero ricombinante a fattori costanti, `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`. Applica alla variabile ufficiale la regola contrattuale per call, put, contanti, consegna fisica o rettificata, barriera, media o altro payoff terminale; la dipendenza dal percorso richiede stato aggiuntivo.
5. **Procedi a ritroso e verifica l'esercizio.** Sconta il valore neutrale al rischio dei figli a ogni nodo. Per diritti europei usa la continuazione; per americani confronta `H` e `C` a ogni data consentita; per bermudiani solo alle date contrattuali e rispettando avviso e regolamento.
6. **Valida replica e calcolo.** In ogni nodo a un passo calcola `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` e la posizione di cassa `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`. Verifica payoff per stato, limiti, parità, raddoppio dei passi, oscillazione pari-dispari, altri alberi, codice indipendente e frontiera di esercizio.
7. **Trasferisci l'output del modello al conto.** Calibra curve, dividendi, prestito e superficie strike-scadenza; converti il valore unitario con moltiplicatore e quantità effettivi; confronta bid e ask eseguibili; sottoponi a stress copertura discreta, gap, costi, liquidità, margine, assegnazione, regolamento, imposte e versione del modello.

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## Esempi svolti

- **Replica a un periodo.** Siano `S0 = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05` e una call europea con `K = $100`. Allora `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`; i payoff sono `$20/$0`; e `C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`. La replica dà `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` e `b = -$38.095238`. Il portafoglio paga `$60 - $40 = $20` nello stato rialzista e `$40 - $40 = $0` in quello ribassista; il costo iniziale è `$50 - $38.095238 = $11.904762`.
- **Put americana ed esercizio anticipato.** Usa un albero a due passi con `S0 = $100`, `K = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`; quindi `p = 0.625`. I payoff terminali della put per `$144/$96/$64` sono `$0/$4/$36`. Al primo nodo rialzista la continuazione è `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571`, superiore all'intrinseco `$0`. Al nodo ribassista è `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095`, inferiore all'esercizio immediato di `$20`, quindi si esercita. Il valore americano è `$7.993197`, quello europeo `$6.292517` e il premio discreto per esercizio anticipato `$1.700680`.
- **Carry e convergenza non monotona.** Siano `S0 = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5%` a capitalizzazione continua, rendimento continuo `q = 2%` e `sigma = 20%` annualizzata. Con CRR la call europea vale `$11.073541` a un passo, `$8.342293` a due, `$9.855621` a tre, `$8.760327` a quattro e, con `64` passi, `$9.196691`, avvicinandosi al valore coerente Black-Scholes-Merton di `$9.227006`. Più passi migliorano il limite del modello, ma non devono muoversi monotonamente e non correggono flussi errati.
- **Valore di modello e importi eseguibili.** Riutilizza il valore per azione `$11.904762`, ma ipotizza un mercato eseguibile `$11.60 bid / $12.20 ask`. Comprare un contratto standard con `M = 100` e `Q = 1` costa `$12.20 x 100 = $1,220`, rispetto all'importo di modello `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`, con differenza di `$29.5238` prima delle commissioni. Vendere subito al bid restituisce `$11.60 x 100 = $1,160`, per una perdita andata-ritorno di `$60`. `Delta = 0.50` equivale a `50` azioni con tale moltiplicatore, ma ribilanciamento discreto, gap, prestito ed esecuzione impediscono di garantire la replica.

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## Controlli di modello e ciclo di vita

- Abbina sottostante, radice, call o put, strike, scadenza, stile di esercizio, regolamento, moltiplicatore, valuta e consegnabile esatti.
- Fissa orario di valutazione, calendario, fuso, frazione d'anno, passi, date dei nodi e trattamento dei giorni lavorativi.
- Dichiara la parametrizzazione e se momenti, carry, skew o altri obiettivi coincidono col modello previsto.
- Mantieni `B` per lo sconto separato da `G` per il carry quando contano dividendi, tassi esteri, convenience yield o prestito.
- Richiedi `d < G < u`; se `p` è fuori da `[0,1]`, fallisce l'impostazione senza arbitraggio, non emerge una probabilità previsionale.
- Separa rendimento continuo `q` da distribuzioni note discrete, speciali, incerte o dipendenti dal percorso.
- Verifica il payoff terminale rispetto a regolamento ufficiale, consegna monetaria o fisica, contratti rettificati ed eventi societari.
- Aggiungi stato sufficiente per barriere, medie, lookback, più attività, volatilità o tassi stocastici, credito e altre dipendenze dal percorso.
- Applica l'esercizio anticipato solo al titolare del diritto contrattuale e in date valide prima dei termini di avviso.
- Separa opportunità di esercizio americane, bermudiane ed europee dal regolamento monetario, fisico o in futures.
- Registra ogni nodo in cui `H` supera `C` e testa la sensibilità della frontiera a dividendi, tassi, prestito e parametri numerici.
- Verifica replica nodale e payoff per stato quando le ipotesi implicano completezza; non presumere copertura continua gratuita nella pratica.
- Controlla limiti di non arbitraggio, parità, monotonicità, convessità e casi limite prima di fidarti di un prezzo.
- Confronta numeri di passi, sequenze pari e dispari, raddoppio, altre parametrizzazioni e un'implementazione indipendente.
- Non trattare oscillazione, decimali stabili o accordo fra percorsi di codice correlati come prova di accuratezza.
- Calibra l'intera superficie e le curve pertinenti; volatilità storica o quotazione ATM non sono universali.
- Separa valore di modello, midpoint teorico, mark di borsa, regolamento ufficiale, bid eseguibile, ask eseguibile e prezzo di liquidazione.
- Converti output unitari con moltiplicatore e quantità reali; contratti rettificati o non standard possono non usare `100`.
- Sottoponi a stress bid-ask, esecuzioni parziali, tempistica dell'hedge discreto, salti, sospensioni, liquidità, finanziamento, prestito, margine, assegnazione e liquidazione del broker.
- Conserva input, fonte dati, versione di dividendi ed eventi societari, codice e solver, prove di convergenza, approvazioni, spese, imposte e riconciliazione finale.

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## Idee errate comuni

- **"La probabilità neutrale al rischio prevede la prossima mossa."** `p` è un peso di valutazione coerente con attività negoziabili e assenza di arbitraggio, non una previsione fisica.
- **"Il fattore privo di rischio entra sempre in entrambe le formule."** Lo sconto usa `B` e il peso del sottostante usa il fattore di carry `G`; coincidono solo nel caso semplificato senza rendimento.
- **"Più passi garantiscono il prezzo corretto."** Il raffinamento affronta solo la discretizzazione del modello; può oscillare e non corregge dividendi, volatilità, regolamento o esercizio errati.
- **"Il valore americano è quello europeo più un premio fisso."** Il valore dell'esercizio anticipato dipende da stato, data, tassi, dividendi, prestito e modello e può essere nullo.
- **"La replica rende privo di rischio il prezzo a schermo."** La prova assume completezza e assenza di frizioni; restano spread eseguibili, hedge discreti, gap, finanziamento, margine, imposte e regolamento.

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## Fonti autorevoli

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier; fonda replica discreta CRR e valutazione neutrale al rischio sotto le sue ipotesi, non input correnti o prezzi eseguibili.
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley; sviluppa la valutazione a due stati, non afferma che i prezzi reali abbiano solo due esiti né che ogni mercato incompleto abbia prezzo unico.
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis; sostiene oscillazione, parametrizzazione e convergenza nei modelli studiati, non limiti d'errore universali.
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier; sostiene convergenza della put americana e limiti di accelerazione negli alberi analizzati, non tutti i prodotti o prezzi.
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press; sostiene limiti e confronti sotto ipotesi specifiche, non regole di esercizio del broker né accuratezza garantita.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; tratta diritti, esercizio, assegnazione, regolamento, rettifiche e rischi, non calibrazione binomiale o raccomandazioni.
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation; documenta una propria variante CRR per determinati servizi delta, non l'implementazione di questo articolo né un prezzo universale.
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets; offre strumenti educativi attuali per prezzi teorici e greche, non quotazioni eseguibili, validazione indipendente o garanzia delle ipotesi contrattuali.

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/binomial-option-pricing/index.mdx