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title: "Modello Black-Scholes-Merton: contratto, dati, volatilità implicita e greche"
description: "Applicare Black-Scholes-Merton solo dopo aver allineato diritto dell'opzione, timeline, attualizzazione, dividendi, quotazione di volatilità, regolamento e unità delle greche."
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# Modello Black-Scholes-Merton: contratto, dati, volatilità implicita e greche

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Il **modello Black-Scholes-Merton** è un quadro di non arbitraggio, non una quotazione giuridicamente vincolante né una previsione del sottostante. La nota soluzione in forma chiusa valuta un'opzione europea plain vanilla sotto ipotesi specifiche su diffusione, finanziamento, dividendi, negoziazione e completezza del mercato. Prima di applicarla vanno identificati serie, diritto di esercizio, deliverable, moltiplicatore, valore ufficiale di regolamento e valuta: un'opzione americana su azioni con consegna fisica e un'opzione europea su indice regolata per cassa sono diritti diversi anche se strike e scadenza a video coincidono.

Per spot `S₀`, strike `K`, tempo in anni `T`, tasso zero a capitalizzazione continua `r`, dividend yield proporzionale continuo `q` e volatilità annualizzata `σ`, le formule europee sono `C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)` e `P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)`, dove `d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)`, `d₂ = d₁ − σ√T`, e `N(x)` è la funzione di ripartizione normale standard. Con input coerenti, la parità put-call europea è `C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)`.

Il modello viene anche invertito: la **volatilità implicita** è la `σ` che fa riprodurre a un modello scelto un prezzo scelto. Dipende da contratto, timestamp, dato del sottostante, curva, dividendi, lato della quotazione, metodo numerico e modello. Prezzo, volatilità implicita e greca sono output con convenzioni e unità; nessuno è da solo un'operazione eseguibile, una probabilità fisica o una garanzia di copertura.

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## Processo in sette fasi per contratto, dati, valutazione e controllo

1. **Classificare il diritto prima della formula.** Registrare emittente o clearing, sottostante, tipo, strike, scadenza, ultimo giorno di negoziazione, stile di esercizio, regolamento ufficiale, cash o consegna fisica, moltiplicatore, deliverable, valuta e rettifiche. La forma chiusa vale per un payoff europeo vanilla; esercizio anticipato americano, deliverable rettificati, barriere e path dependency richiedono un modello idoneo.
2. **Fissare orologio valutativo e unità.** Definire timestamp `t₀`, ora di scadenza o regolamento, fuso, calendario lavorativo e frazione d'anno `T`; distinguere ultimo trading, cutoff di esercizio e determinazione ufficiale. Indicare se premio e greche sono per unità, punto quotato, contratto o intera posizione.
3. **Costruire input di mercato sincronizzati.** Usare spot o forward contemporaneo, strike, fattore di sconto `D(0,T)`, dividendi datati o yield continuo giustificato, prestito titoli, finanziamento e bid, ask e size. Un CMT Treasury è un rendimento par, non automaticamente il tasso zero continuo `r`; costruire una curva di sconto coerente.
4. **Verificare limiti e parità omogenea.** Nel caso europeo con yield continuo, testare `max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT)` e `max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT)`. Confrontare solo diritti con stesso esercizio, strike, scadenza, deliverable e regolamento. Con dividendi monetari deterministici, usare i flussi attualizzati e il relativo ponte di parità.
5. **Scegliere ed eseguire esplicitamente il modello.** Black-Scholes-Merton assume diffusione continua, volatilità e tassi costanti, trading continuo senza frizioni, assenza di salti e capacità di finanziare, prestare, vendere allo scoperto e replicare. Un albero binomiale o altro metodo numerico rappresenta esercizio americano ed eventi discreti; volatilità stocastica o locale e salti affrontano altri rischi ma aggiungono parametri.
6. **Invertire i prezzi in volatilità implicita con cautela.** Indagare prezzi fuori dai limiti; risolvere bid, midpoint e ask separatamente con solver, tolleranza e volatilità massima documentati. All'interno, una IV europea vanilla finita è di norma unica perché il valore cresce con `σ`; sul confine può essere zero, infinita o non avere soluzione finita. Validare la superficie contro dati stale e arbitraggio calendar o butterfly.
7. **Riferire il rischio locale e riconciliare con il mercato.** Calcolare delta, gamma, vega, theta e rho con segno, denominatore e convenzione temporale; conservare snapshot e versione. Stressare salti, dividendi, skew, struttura a termine, prestito, hedge discreto, costi e liquidità. Separare valore teorico, bid o ask eseguibile, eseguiti, regolamento ufficiale e cassa realizzata, e riprodurre i calcoli rilevanti.

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## Esempi svolti

- **Valutazione in forma chiusa e parità.** Siano `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%`, `q = 2.00%` e `σ = 20.00%`. Ne risultano `d₁ = 0.250000`, `d₂ = 0.050000`, `N(d₁) = 0.598706326` e `N(d₂) = 0.519938806`. La call vale `C = $9.227006` e la put `P = $6.330081`. La differenza `C − P = $2.896925` coincide con `$100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925`; sono valori unitari prima di moltiplicatore e costi.
- **Le greche richiedono unità.** Con gli stessi input, delta call è `0.586851`, delta put `−0.393348` e gamma comune `0.018951 delta per $1 underlying move`. Vega è `37.901158 per 1.00 volatility`, pari a `$0.379012 per 1 volatility point`. Theta call è `−$5.089319 per year`, o `−$0.013943 per calendar day` con la convenzione semplice `÷ 365`; rho call è `49.458109 per 1.00 decimal rate`, o `$0.494581 per 100 bp`. Sono sensibilità locali variabili da moltiplicare ancora per moltiplicatore e posizione.
- **Dal prezzo di mercato a un intervallo di IV.** Mantenere `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%` e `q = 2.00%`. Una call a `$11.123762` implica `σ = 25.00%`, con `d₁ = 0.245000` e `d₂ = −0.005000`. A `20.00%` e `30.00%`, i valori sono `$9.227006` e `$13.020281`. Con quotazione eseguibile `$10.90 bid / $11.35 ask`, le inversioni danno `24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV`; mostrare soltanto l'IV midpoint nasconde l'intervallo.
- **Dividendo discreto noto e parità.** Siano `S₀ = $100`, `K = $95`, `T = 0.5`, `r = 4.00%` continuo e dividendo di `$2` a `t = 0.25`. Il valore attuale è `PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100`, mentre `PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874`. La parità europea è `C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026`; se `C = $8.20`, allora `P = $3.298974`. Sostituire il flusso datato con `q` non documentato o applicare l'uguaglianza a opzioni americane modifica il diritto.

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## Rischi e controlli di validazione

- Verificare serie, diritto giuridico e specifiche del prodotto prima del modello.
- Confermare esercizio americano, europeo o altro; l'etichetta del sottostante non basta.
- Distinguere cash, consegna fisica e paniere rettificato, inclusi moltiplicatore e valuta.
- Fissare fonte ufficiale, orario, arrotondamento, correzioni e regole di disruption del regolamento.
- Sincronizzare spot, opzione, tasso, dividendo e prestito a un timestamp difendibile.
- Distinguere ultimo trading, scadenza, cutoff di esercizio e regolamento nel calcolo di `T`.
- Applicare calendari, day count, annualizzazione e capitalizzazione coerenti.
- Non sostituire meccanicamente tasso zero o fattore di sconto con un rendimento par Treasury.
- Modellizzare importi e date dei dividendi; `q` può nascondere esercizio anticipato ed eventi.
- Includere scarsità del prestito, finanziamento, collateral e vincoli allo short selling.
- Verificare limiti e parità solo tra diritti equivalenti e dati sincronizzati.
- Trattare quote stale, crossed, locked, unilaterali o senza size come segnali d'allarme.
- Riferire IV bid e ask se lo spread è rilevante; il midpoint non è eseguibile.
- Rilevare fallimenti del solver, soluzioni di frontiera, sensibilità alla tolleranza e cap arbitrari.
- Validare interpolazione ed extrapolazione contro arbitraggio calendar, verticale e butterfly.
- Stressare salti, risultati, distribuzioni, halt e gap contrari alla diffusione continua.
- Stressare volatilità stocastica, dinamica dello skew e correlazioni tra input.
- Quantificare ribilanciamento discreto, latenza, impatto, commissioni e impossibilità di trading continuo.
- Etichettare segno, scala e convenzione temporale di ogni greca; non estrapolare troppo.
- Separare valore di modello, prezzo eseguibile, misura contabile o fiscale, regolamento e P&L realizzato.

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## Errori comuni

- **«Black-Scholes è il prezzo giuridicamente corretto o eseguibile».** Le regole definiscono il diritto e i mercati le operazioni; il modello offre un riferimento condizionato.
- **«`N(d₂)` è la probabilità reale di scadere ITM».** È una quantità risk-neutral specifica del modello, non una previsione fisica.
- **«La volatilità implicita è osservata direttamente e prevede quella realizzata».** È inferita tramite un modello e può includere premi, domanda, offerta ed errori.
- **«Una volatilità e un set di greche valgono per tutti gli strike e le scadenze».** Esistono superfici e sensibilità locali variabili.
- **«L'hedge delta continuo elimina il rischio».** Restano salti, trading discreto, liquidità, costi, esercizio anticipato, dividendi ed errore di modello.

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## Argomenti correlati

- [Volatilità implicita](/it/options/implied-volatility/)
- [Valutazione binomiale delle opzioni](/it/options/binomial-option-pricing/)
- [Opzioni americane ed europee](/it/options/american-and-european/)

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## Fonti autorevoli

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - quadro originale Black-Scholes per opzioni e passività societarie in tempo continuo.
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - sviluppo di Merton su non arbitraggio, ipotesi e risultati valutativi.
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - modello discreto Cox-Ross-Rubinstein e convergenza per esercizio ed eventi.
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - estensione a volatilità stocastica e rischio oltre `σ` costante.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - diritti, esercizio, assegnazione, regolamento e rischi delle opzioni standardizzate.
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - evidenza specifica su esercizio, regolamento, moltiplicatore e timeline.
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - metodologia della curva par Treasury; un punto par non è automaticamente un tasso zero.
- [Search Filings](https://www.sec.gov/search-filings) - portale per trovare filing e supplementi; i termini sostanziali vanno tratti dal filing identificato.

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/black-scholes-model/index.mdx