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title: "Formula di Breeden-Litzenberger: densità neutrale al rischio dai prezzi delle opzioni"
description: "Estrai probabilità di coda scontate e densità neutrale al rischio dai prezzi delle opzioni europee, controllando allo stesso tempo le griglie di strike, l'arbitraggio, il livellamento e il rischio dei dati."
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# Formula di Breeden-Litzenberger: densità neutrale al rischio dai prezzi delle opzioni

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Per una scadenza, sia `C(K,T)` il prezzo al tempo zero per unità sottostante di una call europea sufficientemente regolare, sia `D(0,T)` il fattore di sconto e sia `Q^T` la misura del prezzo associata a quel numerario. In condizioni di regolamento paritetico e di assenza di arbitraggio,

`-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)`

`partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)`

nei punti di continuità. Quindi `f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2`. La prima derivata è un valore scontato della chiamata digitale e la seconda derivata è una densità scontata, non una previsione oggettiva. Se la distribuzione terminale ha un atomo, la derivata può saltare e quella massa di probabilità non è rappresentata da una densità uniforme ordinaria nel punto.

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## Meccanismo

1. **Fissare il diritto e la sequenza temporale.** Allineare sottostante, scadenza, esercizio europeo, regolamento cash o fisico, moltiplicatore, `S_T` ufficiale, timestamp della quotazione, sessione, valuta e stato delle operazioni societarie. I prezzi di opzioni americane o con regolamento non corrispondente non possono essere inseriti senza rettifiche.
2. **Normalizzare i forward e l'attualizzazione.** Stima `D(0,T)`, il forward abbinato, i dividendi, il prestito e qualsiasi convenzione quanto o futures. Convertire le put in call sintetiche solo attraverso la parità put-call abbinata e mantenere il prezzo dell'opzione per unità sottostante separato dai dollari del contratto.
3. **Pulire la sezione trasversale degli strike.** Utilizzare bid, ask, quantità esposte e condizioni eseguibili sincronizzati; rimuovere errori evidenti e osservazioni obsolete o incrociate. Imporre prezzi delle call decrescenti, convessità, limiti plausibili e coerenza tra scadenze prima di differenziare.
4. **Adatta una curva sensibile all'arbitraggio.** Scegli se adattare i prezzi, la volatilità implicita, i prezzi digitali o una densità; documentare nodi, pesi, regolarizzazione, estrapolazione e condizioni al contorno. Una curva liscia è uno stimatore, non una verità osservata.
5. **Differenziare sulla griglia effettiva.** Per una spaziatura uniforme `h`, utilizzare `[C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2`. Per vicini non equidistanti `K_- < K < K_+`, utilizzare `2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)`. Non applicare la formula della griglia uniforme a strike irregolari.
6. **Convalidare le restrizioni sulla distribuzione.** Controllare la densità non negativa, la massa totale, il primo momento coerente in avanti, il riprezzamento delle chiamate, la sensibilità bid-ask, la massa della coda e la stabilità attraverso le scelte di livellamento. Distinguere una densità continua da atomi discreti e supporto d'attacco troncato.
7. **Versionare e interpretare con cautela.** Memorizzare l'istantanea della catena, le decisioni di pulizia, le curve, il codice, il risolutore e le fasce di confidenza o sensibilità. Confrontare le distribuzioni fisiche e neutrali al rischio solo attraverso un nucleo di fissazione dei prezzi o un quadro di premio al rischio esplicito; non etichettare la curva estratta come una previsione di mercato.

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## Esempi realizzati

- **Stima della densità di rete.** Le chiamate europee sincronizzate con una scadenza hanno `C(95) = $8.20`, `C(100) = $5.00` e `C(105) = $2.80`. Con `h = $5`, la curvatura scontata a 100 è `[$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar`. Se `D(0,T) = 1`, la stima della densità locale neutrale al rischio è `0.04 per dollar`; non è una probabilità `4%` esattamente pari a 100.
- **Spread verticale e probabilità media di coda.** Da `C(100) = $5.00` e `C(105) = $2.80`, la pendenza negativa della secante è `($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44`. Equivale alla media scontata di `Q^T(S_T > K)` tra gli strike 100 e 105. Se `D(0,T) = 0.98`, la corrispondente probabilità media di coda risk-neutral è `0.44 / 0.98 = 44.897959%`; non coincide automaticamente con la probabilità di coda in uno dei due estremi.
- **Spaziatura irregolare degli strike.** Siano `K_- = 95`, `K = 100`, `K_+ = 107`, con `C_- = $8.20`, `C = $5.00` e `C_+ = $2.20`. La pendenza sinistra è `($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64`, la pendenza destra è `($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40` e la curvatura della griglia non uniforme è `2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar`. Il denominatore della griglia uniforme sarebbe errato.
- **Diagnostica di butterfly negativa.** Con strike equidistanti 95/100/105 e prezzi `$8.20`, `$5.60` e `$2.80`, il numeratore è `$8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20`, quindi la curvatura è `-$0.20 / 25 = -0.008 per dollar`. Acquistare le ali e vendere due call centrali genera un payoff terminale non negativo incassando `$0.20` per unità, ovvero `$20` con `M = 100`, prima dei costi. È arbitraggio eseguibile solo se le quotazioni sono sincronizzate, tutte le leg sono eseguite e finanziamento, commissioni, esercizio, regolamento e altri attriti non eliminano il vantaggio.

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## Checklist di estrazione e convalida

- Abbina una scadenza esatta, un sottostante, uno stile di esercizio, una convenzione di regolamento, una valuta, un moltiplicatore e una fonte terminale ufficiale.
- Utilizza l'opzione sincronizzata e i timestamp sottostanti; quotazioni di sedi separate, dati consolidati, ultime operazioni e voti teorici.
- Registra offerte, richieste, dimensioni visualizzate, stato barrato o bloccato, flag obsoleti e condizioni del pacchetto eseguibile.
- Convertire i premi del contratto in prezzi per unità sottostante prima di assumere derivati ​​strike.
- Stimare il fattore di sconto corrispondente alla scadenza anziché inserire un rendimento pari o un tasso a breve non correlato.
- Riconciliare i termini di forward, dividendi, prestiti, regolamento dei futures, FX e quanto prima della conversione put-call.
- Applicare la parità solo alle affermazioni europee corrispondenti e conservare i residui di conversione come diagnostica della qualità dei dati.
- Applicare limiti di prezzo call, monotonicità, convessità e opportune restrizioni di calendario prima dell'estrazione.
- Utilizzare la griglia di sciopero reale; non applicare differenze di spaziatura uguale a intervalli disuguali.
- Tratta le prime differenze come medie di intervalli, non come probabilità digitali degli endpoint esatti.
- Distinguere le unità di densità come la probabilità per dollaro dalla massa di probabilità integrata.
- Preservare gli atomi, i salti dei prezzi digitali e le discontinuità di regolamento specifiche dei contratti invece di attenuarli silenziosamente.
- Riportare il dominio di adattamento, i nodi, i pesi, la penalità, l'estrapolazione e le ipotesi di confine.
- Lo spazio dei prezzi stressanti si oppone alle alternative dello spazio della volatilità, dello spazio digitale e della densità diretta.
- Ripetere l'estrazione ai set di dati bid, midpoint, ask e perturbati perché le derivate seconde amplificano il rumore.
- Verificare la non negatività, la massa totale prossima all'unità, la media coerente in avanti e la rivalutazione delle chiamate osservate entro le tolleranze.
- Trattare gli strike mancanti nelle code profonde come estrapolazione dipendente dal modello e segnalare la massa di coda omessa.
- Non interpretare i momenti neutrali al rischio come aspettative fisiche senza un esplicito modello di premio al rischio.
- Separare l'arbitraggio statico teorico dai riempimenti eseguibili, dalle commissioni, dal finanziamento, dal margine, dall'esercizio e dal rischio di regolamento.
- Archivia dati grezzi, correzioni, codice, impostazioni del risolutore, versione di output, revisione e diagnostica dell'incertezza.

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## Idee sbagliate comuni

- **"La densità è la previsione oggettiva del mercato."** È una distribuzione sotto la misura di pricing che incorpora prezzi di stato e premi per il rischio.
- **"Una densità di 0,04 significa una probabilità del 4% per quel prezzo esatto."** La densità ha unità di prezzo inverse e deve essere integrata in un intervallo.
- **"Le differenze grezze del midpoint rivelano la vera distribuzione."** Asincronia, spread, strike radi e differenziazione numerica possono dominare la curvatura.
- **"Il ritaglio della densità negativa risolve il problema."** Il ritaglio ad hoc può nascondere violazioni di arbitraggio e distruggere le restrizioni di ripricing, massa o media.
- **"La formula si applica invariata a ogni catena di opzioni."** L'esercizio americano, i dividendi discreti, i contratti rettificati, le convenzioni sui futures, gli atomi e le regole di regolamento richiedono un trattamento esplicito.

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- [Modello Black-Scholes](/it/options/black-scholes-model/)
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## Fonti autorevoli

- [Prezzi dei crediti contingenti allo Stato impliciti nei prezzi delle opzioni](https://doi.org/10.1086/296025) - University of Chicago Press; stabilisce il rapporto stato-prezzo sulla base dei suoi presupposti, non di una pulizia empirica o di una procedura di esecuzione.
- [Distribuzioni di probabilità implicite nelle opzioni e rendimenti in eccesso valutari](https://resources.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr32.pdf) - Federal Reserve Bank di New York; deriva e applica densità implicite nelle opzioni, con scelte di modelli e dati piuttosto che regole contrattuali di prodotto.
- [Generazione di opzioni-densità di probabilità implicite per comprendere gli eventi del mercato petrolifero](https://www.federalreserve.gov/econres/ifdp/generating-options-implied-probability-densities-to-understand-oil-market-events.htm) - Consiglio dei governatori del sistema della Federal Reserve; confronta l’estrazione semiparametrica e la robustezza delle opzioni petrolifere, non una calibrazione azionaria universale.
- [Recupero delle distribuzioni di probabilità dai prezzi delle opzioni](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1996.tb05219.x) - Wiley; supporta un recupero graduale e vincolato dai prezzi delle opzioni in base al suo campione e metodo, non a una distribuzione implicita univoca.
- [Stima non parametrica delle densità dei prezzi di stato implicite nei prezzi delle attività finanziarie](https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228) - Wiley; supporta la stima non parametrica dei prezzi di stato sotto ipotesi dichiarate, non una differenziazione grezza che ignori bandwidth e rischio di campionamento.
- [Prezzi delle opzioni non parametriche con limitazioni di forma](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - Elsevier; supporta vincoli di monotonicità e convessità, non garantisce che le virgolette pulite siano eseguibili.
- [Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; copre i diritti di opzione standardizzati, l'esercizio, la liquidazione e i rischi, non la stima della densità o richieste su misura.
- [Specifiche del prodotto delle opzioni sull'indice S&P 500](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Mercati globali Cboe; stabilisce campi di esercizio, moltiplicatore, negoziazione e regolamento specifici di SPX, non termini per ogni catena di opzioni.

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/breeden-litzenberger-formula/index.mdx