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title: "Arbitraggio butterfly: convessità per strike, spread ponderati ed esecuzione"
description: "Verificare la convessità delle call europee con butterfly a strike equidistanti o diseguali e distinguere violazioni fitted o midpoint da arbitraggio statico eseguibile dopo profondità, costi, regolamento e limiti del conto."
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# Arbitraggio butterfly: convessità per strike, spread ponderati ed esecuzione

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Per call europee omogenee sullo stesso sottostante e scadenza, i prezzi senza arbitraggio devono essere non crescenti e convessi nello strike. Con strike equidistanti `K_1 = K − h`, `K_2 = K` e `K_3 = K + h`, il butterfly call lungo `+1:−2:+1` costa `B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3)` e ha payoff finale non negativo; dunque `B ≥ 0` nel modello senza frizioni.

Un valore fitted o midpoint negativo è solo diagnostico. L'arbitraggio statico eseguibile richiede ask sincronizzati sulle due ali acquistate, bid sulle due call centrali vendute, size sufficiente, specifiche identiche e incasso iniziale netto positivo dopo commissioni, costi, finanziamento, margine, imposte e regolamento. Esercizio americano, consegna fisica, assegnazione parziale, legging e liquidazione del broker possono creare obblighi intermedi anche con payoff combinato non negativo a scadenza.

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## Test di convessità ed esecuzione in sette fasi

1. **Fissare un insieme omogeneo di diritti.** Registrare sottostante, root, lato call, `K_1 < K_2 < K_3`, scadenza, stile di esercizio, regolamento, moltiplicatore, deliverable, rettifiche, valuta, venue, timestamp e definizione ufficiale del valore finale. Specifiche diverse non costituiscono un unico test.
2. **Normalizzare la geometria degli strike.** Per spaziatura uguale richiedere `K_2 − K_1 = K_3 − K_2` e rapporto `+1:−2:+1`. Per spaziatura diseguale definire `w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1)` e testare `C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3)`. Le quantità intere equivalenti sono proporzionali a `(K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1)`, ridotte per divisore comune quando possibile.
3. **Separare mark di ricerca e lati eseguibili.** Usare quote e condizioni sincronizzate. Il butterfly lungo paga ask per le ali positive e riceve bid per le call centrali negative. Ultimi trade, tempi diversi, valori teorici e midpoint diagnosticano una superficie, ma non provano un incasso.
4. **Dimostrare il payoff finale per regione.** Valutare `S_T ≤ K_1`, `K_1 < S_T ≤ K_2`, `K_2 < S_T < K_3` e `S_T ≥ K_3` con rapporto esatto e `S_T` ufficiale. Con spaziatura uguale il payoff è zero nelle code e tocca `h` in `K_2`; la struttura ponderata ha anch'essa code nulle e interno non negativo.
5. **Convertire il vantaggio in cassa eseguibile.** Moltiplicare il credito netto con segno per moltiplicatore e pacchetti completi, sottraendo costi iniziali e di ciclo. Limitare la quantità alla profondità simultanea di ogni gamba e rispettare rapporti, limiti, margine, capitale, prestito e permessi.
6. **Stressare rotture del ciclo.** Testare rifiuto dell'ordine complesso, fill parziali, legging, cancellazioni, halt, assegnazione americana anticipata o parziale, exercise-by-exception, istruzioni contrarie, azioni e cassa strike, regolamento ufficiale, rettifiche e liquidazione del broker. L'identità finale non coordina operativamente le gambe.
7. **Riconciliare e conservare prove.** Salvare quote, feed o venue, ora, size, rapporto, limite, fill, costi, assegnazione, regolamento, lotti fiscali e posizioni residue. Riprezzare il pacchetto completato e distinguere violazione fitted, opportunità quotata, ordine accettato e risultato realizzato regolato.

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## Esempi svolti

- **Violazione midpoint contro pacchetto eseguibile.** Gli strike sono `K_1 = $90`, `K_2 = $100` e `K_3 = $110`. Midpoint `$15.00`, `$10.00` e `$4.00` danno `B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00`, credito teorico di `$100` con moltiplicatore `100`; payoff massimo `$10 × 100 = $1,000` a `S_T = $100`. Ask delle ali `$15.30` e `$4.25` e bid centrale `$9.75` danno invece `B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05`, debito di `$5`. Viola la curva midpoint, non i lati eseguibili.
- **Strike diseguali e rapporto intero.** Siano `K_1 = $90`, `K_2 = $100` e `K_3 = $115`. Allora `w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60`, quindi `C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115)`. Con `C($90) = $16.00`, `C($100) = $11.20` e `C($115) = $3.00`, il lato destro è `$10.80`, violazione normalizzata di `$0.40`. Il rapporto si riduce da `+15:−25:+10` a `+3:−5:+2`; costo `3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00`, credito di `$200` con moltiplicatore `100`, e picco `$30 × 100 = $3,000` a `S_T = $100`.
- **Esempio europeo cash-settled interamente eseguibile.** Un ordine complesso `+1:−2:+1` su call omogenee viene eseguito a credito di `$0.12` con moltiplicatore `100`. Incasso lordo `$0.12 × 100 = $12`; quattro fill a `$1 per contract` lasciano `$12 − $4 = $8`. A `S_T = $103` per strike `100/105/110`, payoff `($103 − $100) × 100 = $300`, totale ante imposte `$8 + $300 = $308`; nelle code restano `$8`. È arbitraggio solo sotto le ipotesi dichiarate.
- **La profondità limita la scala.** Una quote complessa mostra credito `$0.15`, ma le size sostengono 4 ali basse, 12 call centrali e 10 ali alte. Il rapporto `+1:−2:+1` consente `min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4` butterfly, non 10. Credito lordo `4 × $0.15 × 100 = $60`. A `$0.65 per contract` su `4 × 4 = 16` contratti, i costi sono `$10.40`, restano `$60 − $10.40 = $49.60`. Gli altri sei pacchetti non sono provati eseguibili; vendere prima il centro crea call scoperte.

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## Rischi e controlli di validazione

- Allineare sottostante, root, call, scadenza, esercizio, regolamento, moltiplicatore, deliverable, valuta e rettifica.
- Verificare ordine e spaziatura esatta degli strike prima di scegliere rapporti uguali o ponderati.
- Ridurre rapporti diseguali a contratti interi validi senza cambiare i pesi del payoff.
- Usare ask sincronizzati per acquisti e bid per vendite, non midpoint o ultimo trade.
- Registrare fonte, venue, ora, sessione, condizione, size mostrata e latenza.
- Controllare profondità dei pacchetti completi; il corpo usa due contratti.
- Usare ordini complessi col rapporto corretto; il legging crea delta, gamma, vega e gap.
- Distinguere accettazione da esecuzione completa; fill parziali possono lasciare call corte scoperte.
- Includere commissioni, exchange, clearing, routing, finanziamento, regolamento e imposte.
- Ottenere trattamento di margine regolamentare e house; il capitale può superare il vantaggio.
- Verificare limiti di posizione ed esercizio, permessi, concentrazione e liquidazione del broker.
- Separare esercizio americano o europeo da regolamento fisico, cash o in future.
- Modellizzare assegnazione anticipata e parziale del corpo corto; le ali lunghe non reagiscono automaticamente.
- Verificare esercizio per eccezione, istruzioni contrarie, cutoff, pin risk e movimenti after-hours.
- Definire `S_T` dal contratto; close, indice live, ETF e future possono differire dal regolamento ufficiale.
- Ricalcolare dopo split, fusioni, distribuzioni o altre rettifiche del deliverable.
- Trattare densità fitted negativa come diagnosi finché quote eseguibili non la confermano.
- Imporre superfici decrescenti, convesse e coerenti nel calendario senza nascondere dati o incertezza.
- Stressare quote stale, mercati crossed, halt, aperture ritardate, correzioni e uscite indisponibili.
- Riconciliare premi, azioni, cassa strike, regolamento, margine, collateral, costi e lotti fiscali.

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## Errori comuni

- **«Un butterfly midpoint negativo è denaro gratis».** I midpoint non sono eseguibili e i lati naturali possono trasformare credito in debito.
- **«`+1:−2:+1` funziona con tre strike qualsiasi».** Richiede spaziatura uguale; strike diseguali necessitano pesi e forse molti contratti.
- **«Un payoff finale non negativo elimina ogni rischio».** Restano fill parziali, assegnazione, finanziamento, margine, regolamento, broker e imposte.
- **«Una densità fitted negativa prova un trade».** Smoothing, interpolazione e quote difettose possono creare un segnale senza pacchetto eseguibile.
- **«Un piccolo vantaggio si scala al prezzo mostrato».** Gamba più scarsa e rapporto limitano la quantità; costi e impatto consumano il vantaggio.

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## Fonti autorevoli

- [Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices](https://doi.org/10.1086/296025) - legame fondamentale tra derivate per strike, prezzi di stato e densità non negativa.
- [Nonparametric Option Pricing under Shape Restrictions](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - stima con vincoli di forma, non prova di trade eseguibili.
- [Long Call Butterfly](https://www.optionseducation.org/strategies/all-strategies/long-call-butterfly) - descrizione OIC della strategia e dei rischi del ciclo.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - diritti, obblighi e rischi delle opzioni standardizzate.
- [OCC By-Laws & Rules](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/by-laws-and-rules) - regole OCC su esercizio, assegnazione, clearing e regolamento.
- [Cboe Titanium U.S. Options Complex Book Process](https://www.cboe.com/document/tech-spec/document/technical-specifications/cboe-titanium-u.s.-options-complex-book-process) - rapporti, aste e trattamento dei pacchetti complessi Cboe.
- [4210. Margin Requirements](https://www.finra.org/rules-guidance/rulebooks/finra-rules/4210) - requisiti FINRA di margine e disposizioni sugli spread.
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - convenzioni SPX per esercizio, regolamento, moltiplicatore e trading.

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/butterfly-arbitrage/index.mdx