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title: "Arbitraggio di calendario: varianza totale, moneyness forward ed esecuzione"
description: "Verifica la coerenza temporale delle superfici di opzioni europee mediante varianza totale, moneyness forward comparabile, quotazioni eseguibili, controlli contrattuali e limiti dell’operazione residua."
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# Arbitraggio di calendario: varianza totale, moneyness forward ed esecuzione

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

L’**arbitraggio di calendario della superficie** è una violazione della coerenza tra scadenze in una superficie normalizzata dei prezzi delle opzioni. Non coincide con un’operazione discrezionale di spread di calendario. Per una famiglia comune di diritti europei, carry deterministico, un’unica convenzione Black di volatilità implicita e moneyness logaritmica forward comparabile, si definiscono il fattore di sconto `D(T)`, il forward `F(T)`, `k = ln(K/F(T))` e la varianza totale `w(k,T) = σ_BS(k,T)²T`. Il prezzo normalizzato della call è `c(k,T) = C(K,T)/[D(T)F(T)]`.

In tale quadro, una superficie regolare è priva di arbitraggio di calendario solo se `∂w(k,T)/∂T ≥ 0` a `k` fisso; su due sezioni di scadenza calibrate, la diagnosi discreta è `w(k,T₂) ≥ w(k,T₁)` per `T₂ > T₁`. Il tasso di varianza forward dell’intervallo è `v_fwd = [w(k,T₂) − w(k,T₁)]/(T₂ − T₁)`. Un risultato negativo non ha una volatilità forward reale e segnala dati, carry, contratti o calibrazione incoerenti. Da solo non identifica un’operazione eseguibile con payoff non negativo in ogni traiettoria.

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## Test della superficie in sette fasi

1. **Fissare la famiglia di diritti.** Registrare sottostante e radice, call o put, strike, scadenze, ultimi orari di negoziazione, esercizio europeo o americano, regolamento per contanti o fisico, convenzione AM o PM, fonte ufficiale di regolamento, moltiplicatore, deliverable, valuta e stato di rettifica. Non mescolare payoff giuridicamente diversi perché le etichette sembrano simili.
2. **Sincronizzare i dati eseguibili.** Usare un solo timestamp di valutazione, feed, sessione e condizione di quotazione; conservare denaro, lettera e quantità esposta. Rimuovere o segnalare quotazioni nulle, unilaterali, bloccate, incrociate, obsolete e corrette. Il punto medio può aiutare la diagnosi, ma non è un pacchetto eseguibile.
3. **Costruire sconto e forward.** Per ogni frazione d’anno esatta, calcolare `D(T)` e `F(T)` coerenti da tassi, dividendi, prestito titoli, distribuzioni discrete e convenzioni valutarie. Conservare le versioni delle curve e delle operazioni societarie usate dal solver della volatilità implicita.
4. **Mappare su una coordinata comune.** Convertire ogni strike in `k = ln(K/F(T))`. Interpolare o calibrare prezzo e varianza implicita a `k` comparabile, invece di confrontare lo stesso strike nominale con forward diversi. Usare un’unica convenzione Black di quotazione, day count e annualizzazione.
5. **Applicare vincoli indipendenti.** Calcolare `Δw = w₂ − w₁`, `v_fwd = Δw/ΔT` e `sqrt(v_fwd)` solo quando non negativo. Verificare anche limiti di prezzo, monotonicità dei call spread, convessità per strike o vincoli butterfly, code e incertezza denaro-medio-lettera; la monotonicità temporale da sola non completa una superficie priva di arbitraggio.
6. **Diagnosticare violazioni apparenti.** Ricontrollare esercizio anticipato americano, dividendi discreti, prestito, carry stocastico o negativo, consegna per contanti o fisica, regolamento AM o PM, festività, fusi, operazioni societarie, interpolazione ed estrapolazione. Se i diritti contrattuali differiscono, tornare ai limiti di prezzo dei diritti anziché forzare la semplice regola di varianza totale.
7. **Separare segnale e operazione.** Per dichiarare arbitraggio eseguibile, indicare ogni acquisto alla lettera, vendita al denaro, quantità, rapporto, commissione, margine, finanziamento e copertura, oltre alla consegna della scadenza vicina e all’esposizione residua dell’opzione lontana. Altrimenti qualificare il risultato come incoerenza di superficie, modello o qualità dei dati, non come profitto garantito.

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## Esempi svolti

- **Diagnosi di varianza forward negativa.** A `k` comparabile, siano `T₁ = 30/365`, `T₂ = 90/365`, `σ₁ = 40%` e `σ₂ = 20%`. Quindi `w₁ = 0.40² × 30/365 = 0.013150685`, `w₂ = 0.20² × 90/365 = 0.009863014` e `ΔT = 60/365`. Pertanto `v_fwd = (0.009863014 − 0.013150685)/(60/365) = −0.020000`. Non esiste un `sqrt(v_fwd)` reale da riportare. Verificare quotazioni sincronizzate, forward, dividendi, solver e contratti prima di interpretare il tasso negativo.
- **IV lontana inferiore che supera il test.** Mantenere le stesse scadenze, ma usare `σ₁ = 30%` e `σ₂ = 20%`. Ora `w₁ = 0.30² × 30/365 = 0.007397260`, `w₂ = 0.009863014` e `v_fwd = 0.015000`. La volatilità forward è `sqrt(0.015000) = 12.247449%`. L’IV lontana di `20%` è inferiore a quella vicina di `30%`, ma la varianza totale cresce e il test di calendario è superato.
- **Lo stesso strike non equivale alla stessa moneyness.** Siano `S₀ = 100`, `r = 5%` continuo, `q = 1%` continuo, `T₁ = 0.25` e `T₂ = 0.75`. Allora `F₁ = 100e^[(0.05−0.01)×0.25] = 101.005017` e `F₂ = 100e^[(0.05−0.01)×0.75] = 103.045453`. Usare due volte `K = 100` dà `k₁ = ln(100/F₁) = −0.010000`, ma `k₂ = ln(100/F₂) = −0.030000`. Per uguagliare `k₁` alla scadenza lontana, usare `K₂ = F₂e^(−0.01) = 102.020134`, previa interpolazione tra strike quotati.
- **Uno spread di calendario non blocca un profitto.** Si supponga di aprire acquistando una call lontana alla lettera di `$7.20` e vendendo una call vicina al denaro di `$4.80`, con esborso di `$2.40` per unità prima dei costi. Alla scadenza vicina, se `S = K = $100`, il payoff vicino è `$0` e il denaro eseguibile lontano è `$3.10`, quindi il risultato di liquidazione è `$3.10 − $0 − $2.40 = +$0.70`. Se invece `S = $115`, il payoff vicino è `$15` e il denaro lontano `$15.80`, quindi il risultato è `$15.80 − $15 − $2.40 = −$1.60`. Continuare a detenere l’opzione lontana lascia ulteriori rischi di prezzo, volatilità, tempo e liquidità.

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## Rischi e controlli di validazione

- Mantenere coerenti sottostante, lato dell’opzione e famiglia giuridica di diritti tra le scadenze.
- Distinguere il confronto dello stesso strike da quello di superficie a `k` fisso.
- Versionare curva di sconto, curva forward, tassi e frazioni d’anno esatte.
- Modellare dividendi dichiarati e speciali alla data e nell’importo contrattuali.
- Includere prestito titoli, costo hard-to-borrow e richiami nella costruzione del forward.
- Sottoporre a stress tassi o carry negativi, stocastici e dipendenti dalla valuta.
- Separare valore di esercizio anticipato americano e assegnazione dalle condizioni europee della superficie.
- Tenere regolamento per contanti e consegna fisica in famiglie diverse salvo raccordo formale.
- Allineare convenzione AM o PM e valore ufficiale di regolamento dell’esercizio.
- Allineare ultimo orario di negoziazione, timestamp, sessione, fuso, calendario festivo e orologio di scadenza.
- Verificare moltiplicatore, deliverable, strike e rettifica societaria di ogni serie.
- Rifiutare feed obsoleti, asincroni, corretti, bloccati, incrociati o unilaterali come osservazioni pulite.
- Trattare punti medi e valori di modello come diagnosi, non proventi eseguibili.
- Conservare denaro, lettera, profondità, quantità intera e disponibilità di ordini a pacchetto.
- Validare inversione della volatilità implicita, limiti di prezzo, unità e tolleranza numerica.
- Vincolare interpolazione ed estrapolazione senza presumere che la regolarità eviti arbitraggio.
- Testare monotonicità per strike, convessità butterfly e limiti di coda separatamente dall’ordine temporale.
- Riportare incertezza delle quotazioni, residui del fit, versione del modello e sensibilità al carry.
- Includere commissioni, finanziamento, margine, slippage, legging, copertura e liquidazione nelle affermazioni operative.
- Sottoporre a stress consegna vicina, esposizione residua lontana, gap e fallimento della copertura dinamica.

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## Fraintendimenti comuni

- **“Un’IV lontana inferiore è arbitraggio di calendario.”** La varianza totale può salire anche se l’IV annualizzata lontana scende.
- **“Lo stesso strike ha la stessa moneyness.”** Forward diversi per scadenza producono valori `k` diversi.
- **“La varianza forward negativa garantisce un ordine redditizio.”** Prima segnala input o ipotesi incoerenti, e l’esecuzione potrebbe non esistere.
- **“Comprare lontano e vendere vicino blocca un payoff privo di rischio.”** Il diritto vicino regola per primo e l’opzione lontana mantiene esposizione di mercato.
- **“Una superficie calibrata regolare è priva di arbitraggio.”** Vincoli di calendario, butterfly, limiti e code devono essere imposti e verificati separatamente.

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## Argomenti correlati

- [Volatilità implicita](/it/options/implied-volatility/)
- [Spread denaro-lettera](/it/options/bid-ask-spread/)
- [Spread di calendario](/it/options/calendar-spread/)

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## Fonti autorevoli

- [Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986) - Condizioni di arbitraggio statico SVI e SSVI, compresi i vincoli temporali della varianza totale, non prova che le quotazioni grezze formino un’operazione eseguibile.
- [A Note on Sufficient Conditions for No Arbitrage](https://doi.org/10.1016/j.frl.2005.04.005) - Condizioni sufficienti per griglie di call europee sotto le ipotesi dichiarate, non trattamento delle opzioni americane.
- [Arbitrage-Free Smoothing of the Implied Volatility Surface](https://doi.org/10.1080/14697680802595585) - Regolarizzazione vincolata e coerente della superficie, non interpolazione o prezzo di transazione univoci.
- [The Range of Traded Option Prices](https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2007.00291.x) - Intervalli ammissibili di prezzi europei su insiemi finiti di strike e scadenze sotto ipotesi dichiarate, non regola universale per ogni diritto.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - Diritti, rettifiche, esercizio, regolamento e rischi delle opzioni standardizzate, non matematica delle superfici.
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Esercizio, regolamento per contanti, moltiplicatore, AM/PM e ultimo orario specifici di SPX/SPXW, non regole per opzioni su azioni.
- [Equity vs. Index Options](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/equity-vs-index-options) - Distinzioni generali tra regolamento fisico o per contanti, stile e valore di regolamento soggette alle regole del prodotto.
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals) - Campi con timestamp di denaro, lettera, quantità, volatilità e greche e relativi limiti di copertura, non garanzia di esecuzione o dati non USA.

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/calendar-arbitrage/index.mdx