--- title: "Approssimazione Delta-Gamma: P&L locale, unità e repricing" description: "Stima variazioni locali di valore di opzioni e portafogli con Delta e Gamma con segno, Gamma incrociato, unità compatibili, verifiche a differenze finite e controlli di repricing completo." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Approssimazione Delta-Gamma: P&L locale, unità e repricing > Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite. ## Risposta diretta Per un valore di modello `V_i(S, x)` a istante e stato di modello fissi, l’**approssimazione Delta-Gamma** a un fattore è `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²`. Qui `Delta_i = ∂V_i / ∂S`, `Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²` e `ΔS` è un movimento assoluto nella stessa coordinata di prezzo del sottostante usata dalle derivate. La formula è una stima Taylor locale del secondo ordine della variazione del valore di modello. Non è previsione, probabilità, P&L eseguibile o sostituto del repricing completo. La sua interpretazione richiede diritto esatto, posizione con segno, moltiplicatore, valuta, coordinata, superficie di volatilità, tempo, tassi, dividendi, prestito, modello di esercizio, regolamento e scala del fornitore.
Curva del valore di un’opzione con tangente Delta e correzione di curvatura Gamma Curva del valore di un’opzione con tangente Delta e correzione di curvatura Gamma
La stima Delta-Gamma è locale; il repricing completo controlla uno scenario finito.
## Registro dell’approssimazione coerente per segno e unità Sia `q_i` il numero di contratti di opzione con segno, positivo per posizioni lunghe e negativo per posizioni corte; `M_i` il moltiplicatore del premio compatibile; e `h` le unità del sottostante con segno. Per diritti sulla stessa coordinata di prezzo compatibile, il Delta di posizione è `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`, il Gamma di posizione è `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i` e la stima locale della posizione è `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²`. Un’azione contribuisce con Delta `+1` per unità lunga e Gamma `0`. 1. Fissa ogni serie esatta, istante, segno della posizione, quantità, moltiplicatore, consegnabile, valuta, stile di esercizio, metodo di regolamento, coordinata di prezzo e versione del modello. Simboli simili non rendono compatibili i diritti. 2. Congela stato del modello e convenzione dello shock: spot o forward, tassi, dividendi, prestito, tempo esatto alla scadenza, superficie di volatilità, regola sticky-strike o sticky-delta e trattamento degli eventi discreti. Un movimento simultaneo di tempo o volatilità non è uno scenario Delta-Gamma spot puro. 3. Normalizza ogni gamba a greche compatibili per unità. Distingui Delta spot, forward, futures, corretta per il premio e cash; Gamma per `$1`, punto indice, punto futures o `1% spot move`; e valori del fornitore che possono già includere quantità o moltiplicatore. 4. Aggrega con `q_i × M_i` con segno, poi aggiungi separatamente la copertura del sottostante. Non compensare valute, coordinate, scadenze, tipi di regolamento o superfici calibrate indipendentemente e incompatibili solo perché un pannello mostra un singolo numero. 5. Per più fattori di rischio `x`, usa la forma gradiente e hessiana `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx`. In una hessiana simmetrica, la coppia fuori diagonale è conteggiata due volte nella forma quadratica, quindi il contributo semplificato è `Gamma_AB × ΔA × ΔB`, non zero né di nuovo il doppio. 6. Valida le greche di modelli regolari con perturbazioni centrate: `Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` e `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²`. Varia `ε` per evidenziare effetti di troncamento, cancellazione, griglia e ricalibrazione della superficie. 7. Esegui il repricing completo di ogni gamba per scenari finiti e riconcilia il residuo. Per negoziare, sostituisci i mark di modello con prezzi bid-ask eseguibili e includi eseguiti, commissioni, slippage della copertura, prestito, dividendi, assegnazione, esercizio, flussi di regolamento, imposte e greche dopo lo shock. Aggiungere `Vega × ΔIV` o `Theta × Δt` è valido solo dopo aver definito le unità di volatilità e tempo e la direzione della derivata temporale. Può comunque omettere Vanna, Vomma, Charm, rimodellamento dello skew, termini incrociati e ordini superiori. Suddividere uno shock ampio in passi aiuta solo aggiornando interamente stato e greche; resta un’approssimazione e può dipendere dal percorso. ## Esempi svolti - **Una call rispetto al repricing completo.** Una call europea ha `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, rendimento continuo `y = 1%`, `σ = 25%` e `τ = 0.5`. Un benchmark Black-Scholes dà `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` e `Gamma_i = 0.0221205770`. Per `ΔS = +5`, il termine Delta è `2.8296615855`, il termine Gamma `0.2765072125` e la stima `ΔV_DG = 3.1061687980`, quindi il valore stimato è `10.8277210283`. Il repricing completo alla stessa volatilità implicita dà `V_1 = 10.8172471731`, variazione `3.0956949428` e residuo `full − DG = −0.0104738552` per azione o `−$1.047386` per `M = 100`. Se la volatilità implicita finale è invece `30%`, il valore completo è `12.1628459929` e la variazione totale `4.4412937626`; la stima spot originaria omette `1.3351249646` di variazione dello stato e interazione. - **Posizione corta con segno.** Sei call corte hanno `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` e `Gamma_i = 0.04`, quindi `D_pos = −330 shares` e `G_pos = −24 shares per $1`. Per `ΔS = +2`, i termini Delta e Gamma sono `−$660` e `−$48`, totale `−$708`, e il Delta aggiornato è circa `−378 shares`. Per `ΔS = −2`, sono `+$660` e `−$48`, totale `+$612`, e il Delta aggiornato è circa `−282 shares`. Gamma negativo rende negativo il contributo di curvatura in entrambe le direzioni; non rende simmetrico il P&L totale. - **Opzioni con copertura azionaria.** Detieni quattro call con `Delta_i = 0.35` e `Gamma_i = 0.025`, vendi tre put con `Delta_i = −0.40` e `Gamma_i = 0.030`, usa `M = 100` e vendi allo scoperto `200 shares`. Il Delta delle opzioni è `+140 + 120 = +260 shares`; il netto è `D_pos = +60 shares`. Il Gamma è `+10 − 9 = +1 share per $1`. Per `ΔS = +5`, la stima della posizione è `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`, e il Delta aggiornato circa `+65 shares`. L’attribuzione per gamba è `+$825.00` dalle call, `+$487.50` dalle put e `−$1,000` dalle azioni, riconciliandosi a `+$312.50`. - **Gamma incrociato a due fattori.** Supponi `ΔA = +2`, `ΔB = −3`, `Delta_A = 120`, `Delta_B = −80`, `Gamma_AA = 4`, `Gamma_BB = 2` e `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5` simmetrici, già in unità compatibili di posizione e valuta. Il termine lineare è `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`; la curvatura diagonale è `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`; il termine incrociato semplificato è `1.5 × 2 × (−3) = −9`. Il totale è `488`. Omettere il Gamma incrociato dà `497`; moltiplicare di nuovo per due il termine incrociato semplificato dà `479`. ## Rischi e controlli - Serie, simbolo radice, scadenza, strike, tipo di opzione o consegnabile errati invalidano l’approssimazione. - Omettere il segno di posizione inverte Delta, Gamma, direzione della copertura e attribuzione. - Quantità di contratti e moltiplicatore del premio possono essere conteggiati due volte oppure omessi. - Contratti rettificati, opzioni su futures e greche aggregate dal fornitore possono usare unità non standard. - Coordinate spot, forward, futures, log-prezzo, corrette per premio e cash non sono intercambiabili. - Uno shock di prezzo assoluto differisce da uno percentuale o in deviazioni standard. - Valuta e conversione FX possono rendere incoerenti greche apparentemente comparabili. - Istanti diversi o mark obsoleti di sottostante, superficie e opzione creano compensazioni false. - Regole sticky-strike, sticky-delta, skew e struttura a termine modificano la sensibilità misurata. - Tassi, dividendi, prestito, finanziamento e orario esatto di scadenza influenzano valori e greche. - Termini di tempo e volatilità possono avere segni opposti o fattori di 100 in unità diverse del fornitore. - Esercizio americano e dividendi discreti creano confini assenti da una formula europea regolare. - Diritti digitali, con barriera e altri discontinui possono avere Gamma instabile o simile a una distribuzione. - Vicino alla scadenza, Gamma e differenze finite possono dipendere fortemente da strike e griglia. - Shock ampi rivelano ordini terzo e superiori omessi dalle greche iniziali fisse. - Salti, gap e sospensioni aggirano le ipotesi di ribilanciamento locale continuo. - Gamma incrociato, correlazione e mappatura dei fattori possono mancare o essere duplicati nei portafogli multi-asset. - Perturbazioni di differenze finite troppo grandi aggiungono errore di troncamento; quelle minime aggiungono rumore di cancellazione. - Mark e greche di modello non garantiscono prezzi eseguibili, quantità o liquidità di copertura. - Copertura dinamica, commissioni, impatto, prestito, assegnazione, regolamento, versioni del modello e registri dell’intermediario richiedono riconciliazione finale. ## Errori comuni - «Il termine Gamma è `Gamma_i × (ΔS)²`». Il coefficiente Taylor è `½`. - «Gamma positivo garantisce profitto in entrambe le direzioni». Migliora localmente il valore rispetto alla tangente; Delta, premio, tempo, volatilità, costi e percorso restano rilevanti. - «Delta-neutral significa privo di rischio». Elimina un termine corrente del primo ordine, non Gamma, Vega, Theta, salti, base, liquidità o rischio di modello. - «Aggiungere qualsiasi Vega e Theta visualizzati completa la stima del P&L». Devono coincidere anche unità, direzione della derivata, sensibilità incrociate, modifiche della superficie e ordini superiori. - «Greche precise o piccoli passi ripetuti sostituiscono il repricing completo». Migliorano l’attribuzione, ma scenari finiti, esecuzione e ciclo di vita richiedono comunque valutazione e riconciliazione complete. ## Argomenti correlati - [Delta e Gamma](/it/options/delta-and-gamma/) - [Charm, Vanna e Vomma](/it/options/charm-vanna-vomma/) - [Posizioni Delta-neutral](/it/options/delta-neutral/) ## Fonti autorevoli - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/delta-gamma-approximation/index.mdx