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title: "Opzioni di scambio: valutazione di Margrabe e rischio relativo"
description: "Valuta un’opzione di scambio con quantità, carry, volatilità e correlazione espliciti, controllando regolamento, esecuzione e controparte."
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# Opzioni di scambio: valutazione di Margrabe e rischio relativo

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Un’**opzione di scambio** dà al titolare il diritto, non l’obbligo, di consegnare una quantità stabilita di un’attività e riceverne una stabilita di un’altra. Se il diritto consegna `a` unità dell’attività 1 contro `b` dell’attività 2 a `T`, il payoff in valuta comune è `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`. Rapporto, attività, valuta, fixing e deliverable sono dati contrattuali, non un moltiplicatore da dedurre dopo.

La formula di Margrabe valuta uno specifico diritto europeo senza strike monetario, con attività congiuntamente lognormali, carry proporzionale deterministico, volatilità e correlazione costanti, negoziazione continua e replica senza attriti. È un benchmark, non una quotazione eseguibile, garanzia di hedge, contratto quotato standard o close-out bilaterale.

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## Costruire diritto e modello

1. Scrivere payoff, quantità, valuta comune, stile, fixing, regolamento e regole sulle operazioni societarie; non affidarsi al nome.
2. Definire `X1 = a x S1` e `X2 = b x S2`; fissare spot sincronizzati, rendimenti `q1` e `q2`, volatilità `sigma1` e `sigma2`, correlazione `rho` e frazione annua `T`.
3. Calcolare `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)` e verificare covarianze, unità, istante e semidefinitezza positiva.
4. Usare `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`, con `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))` e `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`.
5. Rivalutare su entrambe le superfici, correlazione, carry, salti e liquidità. Una `rho` minore tende ad aumentare `sigmaR` e il valore vanilla; una correlazione storica non è un input negoziabile né una distribuzione congiunta.
6. Mappare il diritto allo strumento: contratti quotati, FLEX e OTC bilaterali differiscono per moltiplicatore, esercizio, regolamento, fixing, garanzie, close-out, netting, controversie e controparte.
7. Registrare lati eseguibili, costi, hedge, funding, collateral, distribuzioni, cassa o inventario e residui; riconciliare conferma legale e cassa, senza scambiare il mark per P/L realizzato.

L’assenza del tasso privo di rischio esplicito deriva dal numerario, non dall’irrilevanza del finanziamento. Forward, distribuzioni, prestito titoli, remunerazione del collateral, FX, spread e close-out contano. Con valute diverse occorre prima definire valuta di regolamento e conversione FX o regola quanto; sottrarre prezzi in valute diverse è privo di senso.

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## Quattro esempi svolti

- **Valore uno a uno.** Con `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50`, `q1=q2=0`: `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751`, `d2=0.4159129058`; valore `$13.815554` contro intrinseco `max(110-100,0)=$10`. Non è un’offerta.
- **Le quantità entrano nel modello.** Un diritto scambia `b=200` azioni 2 con `a=150` azioni 1. Con `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%`, `q2=3%`: `X1=$12,000`, `X2=$11,000`, volatilità `28.9274955708%`, `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820`, valore `$1,799.02`. Un moltiplicatore presunto di `100` cambia il diritto.
- **La correlazione è esposizione di modello.** Nel primo esempio, `rho=0.90` dà `sigmaR=14.8323969742%` e `$11.086226`; `rho=-0.50` dà `sigmaR=43.5889894354%` e `$18.464726`. Non è una previsione della correlazione realizzata; superfici, salti, carry e hedge possono prevalere.
- **Regolamento ed esecuzione sono registri separati.** Tre diritti scambiano ciascuno `80` azioni 2 con `50` azioni 1. A `S1=$140`, `S2=$80`, ogni payoff è `max(50x140-80x80,0)=$600`, cassa `$1,800`; fisicamente si consegnano `240` azioni e se ne ricevono `150`. A `S1=$138.50`, `S2=$80.40`, la cassa è `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`, ossia `$321` meno. Il mark del dealer non sostituisce il fixing.

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## Procedura in sette fasi e controlli

- Attività, classe, indice, valuta o emittente errati.
- Direzione, segno, quantità, rapporto, moltiplicatore o deliverable errati.
- Payoff in valute incompatibili senza FX o quanto.
- Stile, scadenza, fixing, fuso o regolamento incoerenti.
- Errori su operazioni societarie, distribuzioni, dividendi, prestito o ritenute.
- Spot, forward, curve, superfici o FX obsoleti o asincroni.
- Errori di unità, day count, rendimento o scala di covarianza.
- Matrice incoerente o stima storica instabile.
- Una correlazione nasconde strike, tenor, regime e dipendenza di coda.
- Fallimento di volatilità/correlazione costante o lognormalità.
- Salti, default, sospensioni e chiusure.
- Delta relativa, cross-Gamma, Vega, correlazione e carry cambiano insieme.
- Replica continua presunta durante gap, sospensione o illiquidità.
- Prezzo di modello scambiato per bid o offer eseguibile.
- Specifiche FLEX/listate estese a un diritto bespoke.
- Conferma OTC, collateral, netting, close-out o controversia incoerenti.
- Default, wrong-way risk, collateral gap o recupero incerto.
- Hedge parziali, basis risk, impatto, costi e funding asimmetrico.
- Inventario, fixing cash, FX e imposte non riconciliati.
- Versione, vintage, conferma, collateral e P/L finale non riconciliati.

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## Errori comuni

- “Opzione di scambio significa opzione negoziata in borsa.” La prima è un payoff; la seconda un mercato.
- “Il rapporto si applica dopo la valutazione.” Le quantità entrano nel logaritmo e nei due termini scontati.
- “Il tasso scompare, quindi il funding non conta.” Il numerario non elimina carry, collateral, prestito, FX o funding.
- “La correlazione è osservabile e stabile.” È stimata, condizionale e solo parte del rischio congiunto.
- “Il valore chiuso è un prezzo di close-out.” Esecuzione, credito, diritto, liquidità, hedge e controversie possono differire.

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## Fonti primarie

- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/exchange-options/index.mdx