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title: "Opzioni forward-start: unità del payoff, fixing, volatilità forward e rischio di modello"
description: "Verifica le unità del payoff, le regole di fixing, la varianza forward, le ipotesi sullo smile futuro, le greche, l'esecuzione, il credito e il regolamento di un'opzione forward-start."
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# Opzioni forward-start: unità del payoff, fixing, volatilità forward e rischio di modello

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Un'**opzione forward-start** viene stipulata e valutata alla data di negoziazione `t0`, ma il suo strike o la soglia di rendimento normalizzata viene fissata da un'osservazione del sottostante a una data successiva `T1`; l'opzione scade poi a `T2`. La conferma deve indicare l'unità del payoff. Una call europea basata su azioni può pagare `q x M x max(S2 - alpha x S1, 0)`, mentre una call con nozionale di rendimento fisso può pagare `N x max(S2 / S1 - alpha, 0)`. Sono diritti diversi, con scala dei flussi, coperture e regolamento differenti.

Per la put basata su azioni, il payoff corrispondente è `q x M x max(alpha x S1 - S2, 0)`. Qui `S1` e `S2` sono osservazioni definite dal contratto, `alpha` è la percentuale dello strike in forma decimale, `q` è la quantità, `M` è il deliverable o moltiplicatore monetario e `N` è un nozionale in valuta. Il solo nome del prodotto non determina quale formula si applichi.

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## Definire il diritto esatto e il suo ciclo di vita

1. Fissa il payoff legale, la direzione call o put, le unità basate su azioni o sul nozionale di rendimento, `alpha`, quantità, moltiplicatore, valuta e tutte le date di negoziazione, pagamento del premio, fixing, esercizio, scadenza, notifica e regolamento.
2. Definisci la fonte dell'osservazione a `T1`, il fuso orario, prezzo singolo o finestra di media, osservazioni valide, calendario festivo, fallback per turbative del mercato, politica di correzione, arrotondamento, dividendi e rettifiche per operazioni societarie.
3. Registra in modo sincronizzato spot, forward, curve di sconto, dividendi, prestito titoli, FX e termini quanto, nonché bid, ask, size e dati di superficie eseguibili delle vanilla a strike o coordinate di forward-moneyness comparabili per entrambi gli orizzonti.
4. Calcola varianza totale e forward dell'intervallo con un day count coerente. Se `w(T) = sigma_imp(T)^2 x T`, allora `v_fwd = [w(T2) - w(T1)] / (T2 - T1)` è una varianza annualizzata dell'intervallo, non lo smile futuro né un prezzo forward-start univoco.
5. Seleziona e versione il modello di pricing e le ipotesi sullo smile futuro o sulla legge congiunta. Rivaluta l'esposizione prima del fixing, la transizione al fixing e il successivo diritto vanilla sotto shock di volatilità, skew, salti, tassi, dividendi, correlazione e osservazione.
6. Predisponi i rami relativi a copertura, ordine limite, esecuzione parziale, unwind, collateral, controparte, clearing, turbativa e finanziamento. Un valore teorico o un limite robusto non è una quotazione di uscita eseguibile.
7. A `T1` e `T2`, riconcilia l'osservazione effettiva, lo strike fissato, la decisione di esercizio, il regolamento ufficiale, liquidità o azioni, commissioni, imposte, collateral e posizioni residue con la conferma e la versione del modello.

Quando `alpha = 1`, lo strike coincide con il riferimento contrattuale a `T1`, quindi il diritto è spot-ATM al fixing secondo tale definizione. Non è necessariamente forward-ATM, Delta-neutral, privo di carry o di rischio pre-start. In un modello in stile Black-Scholes invariante rispetto alla scala, un diritto basato su azioni può essere omogeneo nello spot corrente; dividendi fissi in contanti, componenti monetarie fisse, barriere, termini quanto, cap, floor e altre clausole non omogenee possono invalidare questa scorciatoia.

Le superfici vanilla a `T1` e `T2` vincolano le distribuzioni marginali, ma non determinano in modo univoco la legge congiunta di `S1` e `S2`, la dipendenza spot-volatilità o lo smile vigente a `T1`. Approcci con volatilità stocastica, salti, volatilità locale e limiti robusti possono quindi produrre valori e coperture materialmente diversi pur calibrandosi ai dati vanilla odierni.

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## Quattro esempi svolti

- **Unità del payoff:** a `t0`, tre call basate su azioni costano `p = $7.50/share`, con `q = 3` e `M = 100`. Al fixing, `S1 = $80` e `alpha = 1.05`, quindi `K = $84`. Alla scadenza, `S2 = $110`; il payoff lordo è `3 x 100 x ($110 - $84) = $7,800`, il flusso iniziale è `-$2,250` e il risultato ante commissioni è `+$5,550`. Un distinto contratto normalizzato con `N = $10,000` paga `$10,000 x max($110 / $80 - 1.05, 0) = $3,250`; non è lo stesso diritto.
- **Caso Black-Scholes controllato:** ipotizziamo un diritto europeo basato su azioni con `S0 = $100`, `T1 = 1`, `T2 = 2`, `tau = 1`, `alpha = 1`, `r = 4%`, `q_div = 1%` e `sigma = 25%`. Allora `d1 = 0.245`, `d2 = -0.005`, il valore della call è `$11.1237619281/share` e quello della put `$8.2268370475/share`. L'omogeneità fornisce `Delta0 = 0.1112376193` pre-start per azione, mentre subito dopo il fixing la Delta vanilla della call è `0.5908338059`. Questa variazione programmata della copertura dipende dal modello e non costituisce un rapporto di copertura permanente.
- **Diagnostica della varianza forward:** su una coordinata coerente, siano `T1 = 0.5`, `sigma1 = 20%`, `T2 = 1.5` e `sigma2 = 30%`. Quindi `W1 = 0.0200000000`, `W2 = 0.1350000000`, `v_fwd = 0.1150000000` e `sigma_fwd = sqrt(0.115) = 33.9116499156%`. Questo descrive l'intero intervallo di un anno secondo la convenzione di varianza indicata; non è `30% - 20%`, uno smile futuro né un valore contrattuale univoco.
- **Osservazione e regolamento:** le tre osservazioni valide del fixing sono `98`, `102` e `100`, quindi la loro media aritmetica è `S1 = 100`. Con `alpha = 0.95`, `K = $95`. A `T2`, il `SET = $92` ufficiale; cinque put long con `M = 100` producono `+$1,500` in contanti e `0 shares`. Una versione con regolamento fisico produce invece `-500 shares` e `+$47,500`, lo stesso valore intrinseco di `$1,500` rispetto a un valore delle azioni di `$46,000`. Usare soltanto `102` fisserebbe `K = $96.90`, produrrebbe `$2,450` e creerebbe un errore di `$950`.

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## Modalità di errore contrattuali e di modello

- Le date di negoziazione, premio, fixing, esercizio, scadenza, notifica o regolamento sono ordinate o interpretate male.
- Fuso orario, calendario festivo, convenzione dei giorni lavorativi o momento del pagamento è errato.
- Fonte, timestamp, regola del prezzo valido o finestra di media dell'osservazione è fraintesa.
- Una turbativa del mercato, osservazione obsoleta, correzione o fallback viene omessa.
- `alpha` viene inserito come percentuale invece che come decimale, o l'arrotondamento avviene nella fase sbagliata.
- Payoff basati su azioni e su nozionale di rendimento, o le relative unità, vengono scambiati.
- Call o put, long o short, quantità, moltiplicatore, valuta o deliverable ha segno o scala errati.
- Dividendi, operazioni societarie, distribuzioni speciali o rettifiche intorno al fixing sono gestiti male.
- Lo spot-ATM al fixing viene confuso con forward-ATM, Delta zero o carry zero.
- Esercizio americano, esercizio europeo, consegna fisica, regolamento per cassa, FX o termini quanto vengono confusi.
- Quotazioni vanilla, forward, curve, dividendi, prestito titoli o input FX sono obsoleti, asincroni o non eseguibili.
- Midpoint, valori di modello, limiti robusti o size visualizzata sono trattati come prezzi eseguibili di entrata o unwind.
- Le IV annualizzate vengono sottratte direttamente invece di usare varianza totale e un day count coerente.
- Strike, Delta o coordinate di forward-moneyness differiscono tra le due superfici.
- Si presume che le superfici marginali odierne identifichino lo smile futuro o la legge congiunta di `S1` e `S2`.
- Si ignora l'incertezza relativa a volatilità stocastica, salti, leverage, tassi, correlazione o calibrazione del modello.
- Un'approssimazione locale delle greche viene estesa attraverso la transizione del fixing, un salto o un grande movimento della superficie.
- Gap, mercati chiusi, copertura discreta, esecuzioni parziali, costi di transazione o scarsa liquidità di unwind compromettono la copertura.
- OTC bilaterale, nota dell'emittente, FLEX quotato, clearing OCC, credito di controparte e protezione del collateral vengono confusi.
- Commissioni, finanziamento, imposte, registri delle osservazioni, esercizio, liquidità, azioni, collateral e governance del modello non vengono riconciliati.

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## Idee sbagliate comuni

- "L'opzione viene acquistata a `T1`." L'impegno e il premio possono sorgere a `t0`; fixing e attivazione avvengono in seguito.
- "Uno strike futuro ignoto non può essere valutato oggi." Può essere modellato oggi, ma le ipotesi sullo smile futuro e sulla distribuzione congiunta generano un rischio di modello rilevante.
- "`alpha = 1` o un calo del prezzo prima del fixing elimina il rischio." Lo strike viene reimpostato con il riferimento, mentre il valore pre-start e le esposizioni di copertura restano.
- "La volatilità forward è la differenza tra due IV e determina univocamente il prezzo." Serve la varianza totale e uno scalare dell'intervallo non identifica lo smile futuro né la legge congiunta.
- "Equivale ad acquistare una vanilla a `T1` e ogni prodotto con reset è un cliquet." Attendere non fissa premio ed esecuzione futuri; un cliquet aggrega generalmente più payoff di reset regolati separatamente.

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## Fonti primarie e accademiche

- [Exotic Options](https://digicoll.lib.berkeley.edu/record/86304/files/b120984374_C044481811.pdf)
- [Forward-Start Options in Stochastic Volatility Model](https://doi.org/10.1002/wilm.42820030518)
- [Valuation of Forward Start Options under Affine Jump-Diffusion Models](https://doi.org/10.1080/14697688.2015.1049200)
- [Robust Bounds for Forward Start Options](https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2010.00473.x)
- [2002 ISDA Equity Derivatives Definitions](https://www.isda.org/book/2002-isda-equity-derivatives-definitions/)
- [Notice of Filing of Amendment No. 1 and Order Granting Accelerated Approval of a Proposed Rule, as Modified by Amendment No. 1, to Introduce Asian Style Settlement and Cliquet Style Settlement for Flexible Exchange Broad-Based Index Options](https://www.sec.gov/rules/sro/cboe/2015/34-75425.pdf)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/forward-start-options/index.mdx