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title: "Relazione Gamma-Theta: unità, carry, percorsi e rivalutazione completa"
description: "Verifica Gamma e Theta con unità di posizione con segno, convenzioni temporali esplicite, carry della PDE, registri di copertura eseguibili, rivalutazione completa e controlli del ciclo di vita."
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# Relazione Gamma-Theta: unità, carry, percorsi e rivalutazione completa

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

La **relazione Gamma-Theta** è una relazione locale di modello, non un prezzo fisso della convessità. Per la quantità con segno `q` e il moltiplicatore `M`, si definiscono `Delta_pos = q x M x Delta`, `Gamma_pos = q x M x Gamma` e `Theta_pos = q x M x Theta`. Il Gamma unitario deve specificare l'unità di prezzo del sottostante; Theta deve indicare se è annuo, per giorno di calendario o per giorno di negoziazione.

Per normali call e put vanilla acquistate, Gamma è generalmente positivo e Theta negativo nel modello dichiarato. Questa intuizione sui segni può fallire per portafogli, payoff esotici, frontiere di esercizio o diverse regioni di mercato. La performance effettiva deriva da valutazioni complete delle opzioni, inventario di copertura, cassa, carry e costi; l'attribuzione tramite greche spiega la performance, ma non va sommata di nuovo.

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## Costruire un registro Gamma-Theta coerente

1. Fissa ogni serie di opzioni, quantità con segno, moltiplicatore, consegnabile, valuta, stile di esercizio, modalità di regolamento, inventario esistente del sottostante e obiettivo Delta.
2. Dichiara fonte e coordinata delle greche: per azione o contratto, già scalate per posizione oppure no, unità del prezzo spot per Gamma, convenzione temporale di Theta e se Vega è espressa per `1 vol point` o per `1.00` di volatilità.
3. Acquisisci in modo sincronizzato bid, ask e quantità eseguibili di opzioni e sottostante, nonché spot, forward, superficie di volatilità, tassi, dividendi, prestito, FX, tempo alla scadenza e timestamp esatti.
4. Aggrega una sola volta Delta, Gamma, Theta e Vega lordi e netti con segno. Per uno stato locale congelato, usa `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma`, con unità e segni compatibili.
5. Considera la soglia locale solo diagnostica. Sotto le ipotesi Black-Scholes con rendimento continuo da dividendi `q_div`, l'identità è `Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0`; finanziamento e carry dei dividendi fanno quindi parte della relazione.
6. Rivaluta integralmente spot, tempo, livello di volatilità, skew, struttura a termine, tassi, dividendi, gap, trend, oscillazioni e calendari alternativi di copertura. Nella copertura dinamica aggiorna azioni e cassa solo dagli eseguiti effettivi e separa il registro autofinanziato dall'attribuzione tramite greche.
7. Prima e dopo la scadenza, riconcilia operazioni di chiusura, esercizio, assegnazione, regolamento fisico o per contanti, consegnabili rettificati, azioni residue, chiusura della copertura, finanziamento, prestito, dividendi, commissioni, imposte e ogni residuo tra modello e realtà.

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## Quattro esempi svolti

- **Soglia giornaliera congelata con costi.** Un contratto acquistato ha Gamma unitario `0.08 Delta/$/share`, Theta visualizzato `-$0.18/share/calendar day`, moltiplicatore `M = 100` e costi di andata e ritorno di `$4/contract`. La soglia locale senza costi è `sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436`; allocare il costo di `$0.04/share` produce `sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799`. Un movimento di `$2` produce `$16 - $18 - $4 = -$6`; uno di `$2.50` produce `$25 - $18 - $4 = +$3`. Sono diagnostiche di un periodo a greche congelate, non soglie eseguibili né pareggi alla scadenza.
- **Il carry della PDE non è solo Gamma contro Theta.** Per una call europea con `S = K = $100`, `T = 0.5`, `r = 4%`, `q_div = 1%` e `sigma = 25%`, supponi `V = $7.721552230288`, `Delta = 0.565932317133`, `Gamma = 0.022120576997` e `Theta = -$8.301615173889/share/year`. Il termine Gamma è `$6.912680311701/share/year`; il termine combinato di finanziamento e dividendi è `$1.388934862188/share/year`; insieme equivalgono a `$8.301615173889`, cioè `-Theta`. Dividere per `365` dà circa `-$0.022744151161/share/calendar day`, ma la convenzione giornaliera mostrata da un fornitore può differire.
- **Percorso autofinanziato con eseguiti effettivi.** Una posizione long Gamma con copertura Delta inizia e termina con lo spot a `$100`. Dopo un rialzo vende `100 shares` a `$101.95`; dopo l'inversione acquista `100 shares` a `$100.05`. Il flusso di cassa della copertura è `+$190`; due eseguiti costano `$10`; la valutazione completa delle opzioni cambia di `-$150`. Il P/L combinato è `$190 - $10 - $150 = +$30`. Non si deve sommare nuovamente un guadagno idealizzato di `$200` o un termine Gamma locale.
- **Greche locali contro rivalutazione completa.** Con gli stessi dati di modello, dopo un giorno di calendario e un movimento a `S_1 = $105`, i termini locali per azione sono Delta `$2.829661585667`, Gamma `$0.276507212468` e Theta `-$0.022744151161`, per un totale di `$3.083424646974`. Il valore completo a volatilità invariata è `$10.794375525849`; la variazione effettiva è `$3.072823295561` e l'errore di Taylor `$0.010601351413`. La copertura Delta iniziale lascia `$0.243161709894/share`. Se la volatilità sale al `30%`, il valore completo diventa `$12.136197003065`, la variazione dell'opzione `$4.414644772777` e il risultato coperto `$1.584983187110/share`; la differenza non è puro Gamma, Theta o varianza realizzata.

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## Rischi di misurazione, esecuzione e ciclo di vita

- Applicare quantità, segno, moltiplicatore, consegnabile, valore per punto o conversione FX errati.
- Moltiplicare una seconda volta un feed già scalato per contratto o posizione.
- Lasciare indefinita l'unità del prezzo spot di Gamma o mescolare shock in dollari e percentuali.
- Mescolare convenzioni annuali, per giorno di calendario, di negoziazione, fine settimana e tempo alla scadenza per Theta.
- Moltiplicare una Vega per punto di volatilità per una variazione decimale senza conversione.
- Trattare la copertura Delta iniziale come neutrale durante variazioni di spot e tempo.
- Estrapolare un Gamma locale su un grande movimento mentre cambiano Speed e ordini superiori.
- Supporre Gamma e Theta costanti al variare di spot, tempo e volatilità.
- Omettere tassi, dividendi, prestito, rendimento di convenienza e finanziamento dell'opzione dalla PDE.
- Usare l'approssimazione di Taylor fuori dal suo dominio locale di modello e coordinate.
- Sommare l'attribuzione tramite greche alla valutazione completa e duplicare la variazione.
- Trattare uno shock finale come percorso coperto dinamicamente o flusso di gamma scalping.
- Mescolare campionamento della varianza realizzata, conteggi dei giorni, rendimenti overnight e gap.
- Trattare una IV iniziale come varianza pagata o condizione sufficiente di profitto.
- Ignorare livello di volatilità, skew, struttura a termine, Vanna, Volga, Charm e termini incrociati.
- Sostituire quotazioni, quantità ed eseguiti effettivi con midpoint o valori teorici.
- Ignorare eseguiti parziali, rifiuti, latenza, spread, impatto, commissioni e trigger mancati.
- Supporre che gap, sospensione, sessione chiusa o stop preservi il percorso modellizzato.
- Omettere margine, finanziamento, dividendi, disponibilità o richiamo del prestito e liquidazione forzata.
- Omettere esercizio anticipato, assegnazione, contratti rettificati, regolamento fisico o per contanti, inventario residuo, imposte o riconciliazione finale.

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## Errori comuni

- **“Un Gamma elevato rende da solo un'opzione interessante.”** Prezzo, Theta, dinamica della superficie, percorso e costi eseguibili continuano a determinare il risultato.
- **“Theta positivo è interesse giornaliero o reddito gratuito.”** È una derivata condizionale del modello accompagnata da altri rischi e termini di carry.
- **“Gamma e Theta sono negoziati a un rapporto fisso per tutto il giorno.”** Entrambi cambiano con stato del modello, posizione e convenzione temporale.
- **“La soglia locale è il pareggio dell'operazione o della scadenza.”** Non è né un movimento implicito né un trigger eseguibile garantito.
- **“Una copertura Delta o un premio limitato eliminano il rischio.”** Restano gap, rivalutazione della volatilità, liquidità, margine, assegnazione e perdite ripetute.

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## Argomenti correlati

- [Rischio Gamma](/it/options/gamma-risk/)
- [Theta](/it/options/theta/)
- [Gamma scalping](/it/options/gamma-scalping/)

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## Fonti primarie e accademiche

- [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma)
- [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta)
- [Delta delle opzioni](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta)
- [Calcolatore di opzioni](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)
- [Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Valutazione delle opzioni e passività societarie](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Valutazione e replica delle opzioni con costi di transazione](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x)
- [Copertura discreta: ottimizzazione dello Sharpe ratio con negoziazione discreta e costi di transazione](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/gamma-theta-tradeoff/index.mdx