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title: "Moto browniano geometrico: misure, simulazione esatta e rischio di modello"
description: "Verifica il GBM attraverso le misure fisica e neutrale al rischio, i momenti lognormali, la simulazione esatta rispetto a Euler, l'errore Monte Carlo, il monitoraggio dei percorsi e i limiti del modello."
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# Moto browniano geometrico: misure, simulazione esatta e rischio di modello
> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.
## Risposta diretta
Sotto la misura fisica `P`, il moto browniano geometrico a parametri costanti e `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`. La sua soluzione esatta e `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]`; quindi `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)` e i prezzi su orizzonti finiti sono strettamente positivi.
Qui `mu` e il parametro istantaneo di crescita attesa del prezzo, non la crescita media del rendimento logaritmico. Sotto la misura neutrale al rischio `Q`, un'attivita ex dividendo con rendimento continuo `q` segue `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`. Queste misure rispondono a domande diverse e usano moti browniani distinti; le probabilita neutrali al rischio non sono previsioni di rendimento.
## Costruire e validare il GBM in sette passaggi
1. Specificare se il compito e previsione fisica, valutazione neutrale al rischio, stress test, verifica numerica o didattica; non mescolare risultati di `P` e `Q`.
2. Fissare `S_0`, valuta, convenzione di prezzo o rendimento totale, `mu` o `r - q`, volatilita, tassi, dividendi, orizzonte, timestamp, conteggio dei giorni, capitalizzazione e trattamento delle operazioni societarie.
3. Scrivere l'SDE specifica della misura, la soluzione esatta e le unita. Sotto `P`, `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` e `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`.
4. Validare media e varianza del rendimento logaritmico, media, varianza, mediana, moda e quantili del prezzo e la distinzione tra rendimento semplice e logaritmico prima di usare percorsi o payoff.
5. Per un GBM costante a tratti, simulare con `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]`, variabili indipendenti `Z_i ~ N(0,1)`, un generatore registrato e un seed riproducibile. Confrontare Euler solo come studio di discretizzazione.
6. Riportare numero di percorsi, stimatore, errore standard, intervallo di confidenza e convergenza. Per barriere, estremi, primo passaggio o monitoraggio discreto, trattare gli attraversamenti tra passi con ponti browniani o un'approssimazione di monitoraggio esplicita.
7. Separare gli errori di parametro, campionamento, discretizzazione e struttura del modello; sottoporre a stress salti, volatilita stocastica, code pesanti, leverage, default, liquidita, sospensioni, costi, regolamento e cambi di regime.
## Quattro esempi svolti
- **Momenti della distribuzione fisica.** Siano `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` e `T = 1`. La media del rendimento logaritmico e `0.06` e la varianza `0.04`. La mediana e `$106.1836546545`, la media `$108.3287067675`, la moda `$102.0201340027`, la varianza `$478.9188716836` e la deviazione standard `$21.8842151261`. Gli shock `Z = -1` e `Z = +1` producono `$86.9358235399` e `$129.6930086666`; sono scenari, non limiti.
- **Percorso esatto rispetto a Euler.** Con `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` e `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]`, i prezzi esatti sono `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` e `$117.9393118711`. Euler termina a `$119.3300424062`. La transizione esponenziale esatta preserva la positivita per questi coefficienti costanti; Euler presenta distorsione di discretizzazione e puo diventare negativo.
- **Valore dell'opzione neutrale al rischio.** Siano `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` e `T = 0.75`. Il forward e `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995` e `d_2 = -0.2470027504`; il valore della call europea e `$7.2291486749`. La deriva fisica `mu` non entra in questo prezzo controllato dall'assenza di arbitraggio.
- **Errore di campionamento Monte Carlo.** Sotto `P`, usare `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` e `T = 0.5`. Per `S_T > $120`, la soglia e `z_star = 0.9217649222` e la probabilita esatta `0.1783256040`. Con `N = 100,000` percorsi indipendenti, l'errore standard teorico di Bernoulli e `0.0012104775`; la semiampiezza al `95%` e `0.0023725358`, da cui l'intervallo di riferimento centrato sulla probabilita vera `[0.1759530681, 0.1806981400]`. Piu percorsi riducono l'errore di campionamento, non quello di modello.
## Rischi di input, numerici e di modello
- Mescolare misura fisica e neutrale al rischio o i rispettivi moti browniani.
- Trattare `mu` come crescita media del rendimento logaritmico o rendimento semplice finito.
- Confondere prezzo ex dividendo, rendimento totale e distribuzioni reinvestite.
- Mescolare `r`, `r - q`, dividendi discreti, capitalizzazione e convenzioni forward.
- Mescolare unita temporali di calendario, negoziazione, intraday e annualizzate.
- Applicare la volatilita in percentuale anziche in decimale o con annualizzazione errata.
- Usare parametri obsoleti, dati rivisti, informazioni future o timestamp incoerenti.
- Affidarsi a una stima breve e rumorosa della deriva per prevedere la direzione.
- Presumere incrementi logaritmici gaussiani, stazionari e indipendenti in ogni regime.
- Considerare la volatilita costante compatibile con skew, struttura a termine, clustering ed effetto leverage.
- Omettere salti, gap overnight, default a zero e sospensioni delle negoziazioni.
- Presumere che un modello lognormale catturi code pesanti e dipendenza nelle crisi.
- Ignorare tassi, dividendi e costo del prestito stocastici o correlazione multi-asset.
- Usare Euler quando e disponibile una transizione GBM esatta o ignorarne la possibilita di prezzi negativi.
- Non registrare generatore, seed, metodo antitetico o di riduzione della varianza e dati di riproducibilita.
- Riportare percorsi senza errore standard dello stimatore, intervallo di confidenza e convergenza.
- Perdere attraversamenti di barriera tra passi, estremi ed eventi di primo passaggio.
- Confondere piu passi temporali con minore errore strutturale del modello.
- Trattare l'adattamento a un prezzo o momento della distribuzione come validazione del modello.
- Omettere prezzi eseguibili, liquidita, costi, chiusura del mercato, regolamento del prodotto, governance e riconciliazione.
## Idee errate comuni
- **"Il GBM prevede il prezzo di un'azione."** Definisce una distribuzione condizionata ai parametri scelti.
- **"La deriva del rendimento logaritmico e mu."** E `mu - 0.5 sigma^2` nella notazione fisica usata qui.
- **"La probabilita neutrale al rischio e una previsione reale."** E una misura di valutazione sotto ipotesi di mercato dichiarate.
- **"Piu passi o percorsi rendono realistico il modello di mercato."** Affrontano l'errore di discretizzazione o campionamento, non l'economia mancante.
- **"Prezzi lognormali positivi limitano il rischio di ribasso."** Possono avvicinarsi arbitrariamente a zero e il GBM omette il default improvviso.
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## Fonti primarie e accademiche
- [Sulle equazioni differenziali stocastiche](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Matematica del prezzo speculativo](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [La valutazione delle opzioni e delle passivita societarie](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Teoria della valutazione razionale delle opzioni](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Introduzione algoritmica alla simulazione numerica delle equazioni differenziali stocastiche](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Distribuzione lognormale](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Valutazione delle opzioni quando i rendimenti del sottostante sono discontinui](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [La variazione di alcuni prezzi speculativi](https://doi.org/10.1086/294632)
Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/geometric-brownian-motion/index.mdx