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title: "Modello di Heston: varianza neutrale al rischio, metodi numerici e calibrazione"
description: "Analizza Heston attraverso parametri neutrali al rischio, confini della varianza, shock correlati, convenzioni della funzione caratteristica, calibrazione ponderata sulle quotazioni e validazione numerica."
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# Modello di Heston: varianza neutrale al rischio, metodi numerici e calibrazione

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Sotto una comune misura neutrale al rischio `Q`, il modello di Heston specifica `dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q)` e `dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q)`, con `d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt`. I cinque parametri centrali per la valutazione sono `v_0`, `theta`, `kappa`, `xi` e `rho`.

Salvo che sia dichiarata una trasformazione dal mondo fisico a quello neutrale al rischio mediante il premio per il rischio di varianza, questi sono parametri di calibrazione neutrali al rischio. Possono generare varianza stocastica, skew ribassista ed effetti di scadenza, ma un insieme calibrato non rappresenta una verita unica di mercato, una previsione della volatilita o una prova della qualita della copertura.

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## Costruire, calibrare e validare in sette passaggi

1. Fissare il credito contrattuale, le regole di esercizio e regolamento, la valuta, l'istante di mercato, il forward, la curva di sconto, i dividendi, il prestito titoli e se l'analisi usa la misura fisica `P` o la misura di valutazione `Q`.
2. Dichiarare l'SDE e le unita: `v_0` e `theta` sono varianze annualizzate, `kappa` ha unita `1/year`, `xi` ha unita `1/sqrt(year)` e `rho` e adimensionale in `[-1, 1]`. Documentare ogni trasformazione del premio per il rischio di varianza da `P` a `Q`.
3. Imporre segni e correlazione ammissibili, quindi valutare `2 kappa theta >= xi^2`. Il processo esatto a radice quadrata e non negativo; la condizione sufficiente di Feller riguarda l'irraggiungibilita dello zero o la stretta positivita, mentre il suo mancato rispetto non rende negativa la varianza esatta ne invalida automaticamente ogni prezzo.
4. Fissare la convenzione della funzione caratteristica, per esempio `phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)]`, insieme alle coordinate log-price o log-forward, al segno di Fourier, allo smorzamento, all'attualizzazione, ai rami della radice quadrata e del logaritmo complessi, al limite d'integrazione, alla griglia e alla tolleranza.
5. Pulire dati sincronizzati ed eseguibili per bid, ask, size, forward, sconto, dividendi e operazioni societarie. Eliminare secondo regole documentate quotazioni stale, incrociate, senza size e violazioni dell'arbitraggio statico; definire se l'obiettivo usa pesi su prezzo, volatilita implicita, Vega, spread o altro.
6. Calibrare da piu punti iniziali e riportare limiti, eventuali penalita Feller, insiemi alternativi quasi ottimali, residui normalizzati per lo spread, gradienti o condizionamento dello Jacobiano e instabilita dei parametri, non soltanto un RMSE.
7. Validare parita put-call, limiti di volatilita deterministica, convergenza di quadratura e FFT, controlli incrociati con differenze finite o Monte Carlo, bias dello schema di simulazione, prezzi fuori campione e P/L di copertura; sottoporre poi a stress salti, eventi, liquidita, ricalibrazione e regolamento.

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## Quattro esempi svolti

- **Momenti e diagnostica Feller.** Siano `v_0 = 0.09`, `theta = 0.04`, `kappa = 2`, `xi = 0.30`, `rho = -0.70` e `t = 0.5`. Si ottengono `E^Q[v_t] = 0.0583939721` e `sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473`; l'emivita della varianza e `0.3465735903 year = 4.1588830834 months` e `2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09`. La condizione sufficiente e soddisfatta, ma `sqrt(E[v_t])` non coincide con `E[sqrt(v_t)]` ne con una volatilita implicita d'opzione.
- **Costruzione di shock correlati.** Con `rho = -0.70`, `Z_S = -1.2` e l'indipendente `Z_perp = 0.5`, usare `Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214`. Per `S = $100`, `v = 0.04`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `kappa = 2`, `theta = 0.04`, `xi = 0.30` e `Delta t = 1/252`, una diagnostica Euler semplice produce `S_next = $98.4980627429`, `v_next = 0.0445245047` e `sqrt(v_next) = 0.2110083048`. Serve a verificare segni e unita; l'Euler semplice non e la raccomandazione per un sistema di produzione.
- **Varianza integrata attesa.** Usando il primo insieme di parametri e `T = 1.5`, `E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years`. La varianza media attesa e `0.0558368822`, con radice quadrata `0.2362982907`. Non e la varianza realizzata di un singolo percorso ne una IV d'opzione quotata direttamente.
- **I pesi di calibrazione cambiano la diagnosi.** Tre quotazioni presentano valori bid/ask/modello/Vega `(5.10, 5.30, 5.18, 12)`, `(2.00, 2.10, 2.08, 4)` e `(0.45, 0.55, 0.60, 1.5)`. I residui rispetto al mid sono `-0.02`, `+0.03` e `+0.10`; i residui normalizzati per il semi-spread sono `-0.2`, `+0.6` e `+2.0`. L'SSE sui prezzi e `0.0113`, l'SSE ponderata per lo spread e `4.40` e i residui normalizzati per Vega sono `-0.0016667`, `+0.0075` e `+0.0666667` in decimali di volatilita. L'obiettivo modifica quali errori l'ottimizzatore considera rilevanti.

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## Rischi di modello, calibrazione e calcolo numerico

- Mescolare parametri fisici e neutrali al rischio oppure omettere il premio per il rischio di varianza.
- Confondere varianza e volatilita o applicare una conversione tramite radice quadrata errata.
- Mescolare unita annualizzate per anni, giorni, tassi, dividendi e volatilita.
- Usare input errati per forward, sconto o dividendi continui e discreti.
- Consentire segni dei parametri non validi o `rho` fuori da `[-1, 1]`.
- Trattare il mancato rispetto di Feller come varianza esatta negativa o invalidita automatica del modello.
- Usare percorsi Euler ingenui che generano varianza negativa e payoff distorti.
- Ignorare differenze di bias e convergenza tra troncamento, QE e schemi esatti.
- Mescolare convenzioni di log-price, log-forward, segno di Fourier o funzione caratteristica.
- Scegliere rami incoerenti della radice quadrata o del logaritmo complessi e innescare la Little Heston Trap.
- Usare un limite d'integrazione, una risoluzione di quadratura, uno smorzamento FFT o una tolleranza insufficienti.
- Non superare i test su volatilita deterministica, parita put-call, probabilita e motori indipendenti.
- Calibrare su quotazioni stale, asincrone, indicative, incrociate o senza size.
- Alimentare la calibrazione con una superficie distorta da arbitraggio statico o operazioni societarie.
- Trattare gli errori sul mid come eseguibili ignorando bid-ask e size.
- Supporre equivalenti gli obiettivi ponderati per prezzo, IV, Vega e spread.
- Affidarsi a un unico punto iniziale nonostante minimi locali, direzioni piatte e identificazione debole.
- Sovradattare una superficie senza validare prezzi e coperture fuori campione.
- Supporre che Heston continuo a parametri costanti catturi salti, eventi, default, ogni smile e la dinamica futura della superficie.
- Omettere liquidita, costi, margine, regolamento del prodotto, controlli di ricalibrazione e governance del modello.

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## Errori comuni

- **"Heston prevede la volatilita."** Specifica dinamiche condizionali dopo la scelta della misura e dei parametri.
- **"Il mancato rispetto di Feller rende negativa la varianza e invalida tutti i prezzi."** Il comportamento esatto al confine e la discretizzazione numerica sono questioni distinte.
- **"Forma chiusa significa assenza di metodi numerici."** La valutazione Heston richiede comunque l'inversione della funzione caratteristica e controlli numerici.
- **"Il miglior fit identifica in modo univoco dinamiche e copertura."** Insiemi di parametri e obiettivi diversi possono adattarsi in modo simile.
- **"La volatilita stocastica cattura i crash e ogni smile."** Heston standard resta una diffusione continua a parametri costanti.

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## Fonti primarie e accademiche

- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [A Theory of the Term Structure of Interest Rates](https://doi.org/10.2307/1911242)
- [Option Valuation Using the Fast Fourier Transform](https://doi.org/10.21314/JCF.1999.043)
- [Simple and Efficient Simulation of the Heston Stochastic Volatility Model](https://doi.org/10.21314/JCF.2008.189)
- [Exact Simulation of Stochastic Volatility and Other Affine Jump Diffusion Processes](https://doi.org/10.1287/opre.1050.0247)
- [A Comparison of Biased Simulation Schemes for Stochastic Volatility Models](https://doi.org/10.1080/14697680802392496)
- [The Little Heston Trap](https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/Literature/HestonTrap.pdf)
- [Full and fast calibration of the Heston stochastic volatility model](https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.05.018)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/heston-model/index.mdx