--- title: "Modello dell'opzione Jump-Diffusion: determinazione del prezzo dei movimenti discontinui" description: "Comprendere come la diffusione dei salti di Merton aggiunge gap casuali ai rendimenti continui, come l'intensità e le dimensioni dei salti influenzano le opzioni di coda e perché il rischio di salto non può essere continuamente coperto dal delta." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modello dell'opzione Jump-Diffusion: determinazione del prezzo dei movimenti discontinui > Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite. ## Risposta diretta Un **modello di diffusione a salti** integra la diffusione continua dei prezzi con movimenti discontinui temporizzati in modo casuale. Nel modello di Merton, un processo di Poisson determina gli arrivi dei salti e una distribuzione separata determina le dimensioni dei salti. Ciò fornisce alle opzioni a breve scadenza e lontano dal denaro una probabilità di coda maggiore di quella che un movimento browniano geometrico a volatilità costante può produrre. Può rappresentare divari di utili, notizie di acquisizioni, default, sorprese politiche o crisi in modo più realistico, ma rimane un modello. I tempi e l’entità del salto non sono noti in anticipo, quindi il trading azionario continuo non può replicare perfettamente e coprire l’opzione. ## Meccanica del modello e significato dei prezzi Una specifica comune è `dS_t/S_{t-}=(μ-λκ)dt+σdW_t+(J-1)dN_t`. Qui `σ` è la volatilità della diffusione, `N_t` è un processo di Poisson con intensità annuale `λ`, `J` è il salto moltiplicativo e `κ=E[J-1]`. Il compensatore `-λκ` impedisce al componente di salto di modificare silenziosamente la deriva prevista. Nei prezzi neutrali al rischio, la distribuzione dei drift e dei salti deve essere adeguata o calibrata in modo coerente con i prezzi negoziati. Condizionale sui salti `n`, il ritorno del log del terminale è spesso normale sotto il presupposto del salto lognormale. Un’opzione europea può quindi essere valutata come una miscela ponderata di Poisson di prezzi condizionati simili a quelli di Black-Scholes. Una maggiore intensità dei salti, una maggiore dispersione dei salti o più salti al ribasso negativi generalmente aumentano i valori delle opzioni di coda e modificano l’inclinazione, ma i parametri possono compensare la volatilità della diffusione e non sono identificati in modo univoco da un piccolo campione di opzioni. ## Un calcolo del salto di 30 giorni Fai `λ=4` salti all'anno e `T=30/365` anno. I salti previsti sono `λT=0.329` e la probabilità di Poisson di almeno un salto è `1-e^(-λT)=28.0%`. Questa è la probabilità del modello in base alla misura selezionata, non l’affermazione che ogni anno si verificano quattro incidenti visibili. Sia la volatilità della diffusione `σ=20%`, il salto logaritmico medio `m=-5%` e la deviazione standard della dimensione del salto `δ=10%`. Un semplice proxy della varianza del logaritmo annuale è: Se la dimensione del salto logaritmico è `Y~N(m,δ²)`, un semplice proxy della varianza annua del log-rendimento è: `σ²+λ(δ²+m²)=0.20²+4(0.10²+0.05²)=0.09`, la cui radice quadrata è `30%`. Il compensatore di salto è `κ=e^(m+δ²/2)-1=e^(-0.045)-1≈-4.40%`. Questi calcoli spiegano la scala dei parametri; `30%` non è automaticamente la volatilità implicita di un'opzione e il prezzo intero richiede uno sconto coerente con la misura e l'integrazione del payoff. ## Lista di controllo della calibrazione e dei rischi - Indicare se i parametri sono storici o neutrali rispetto al rischio. La frequenza del salto fisico non può essere inserita in una formula di determinazione del prezzo senza presupporre un premio di rischio. - Calibrazione tra strike (prezzo di esercizio) e scadenze utilizzando quotazioni eseguibili, forward, tassi, dividendi e termini contrattuali sincronizzati. - Identificabilità dei parametri del test: volatilità della diffusione, intensità del salto, salto medio e dispersione del salto possono produrre sorrisi simili. - Ispezionare l'idoneità al di fuori del set di calibrazione e attraverso le date; un eccellente adattamento all'interno del campione può essere instabile fuori dal campione. - Preservare i limiti di non arbitraggio e controllare la convergenza numerica dei metodi di troncamento, integrazione, simulazione o trasformazione di Poisson. - Salti clusterizzati di stress e intensità dipendente dallo stato. Un processo di Poisson costante e indipendente non può catturare ogni crisi o calendario degli utili. - Dispersione del salto simmetrica separata dall'asimmetria del salto negativo; influenzano opzioni Put (opzione put, ossia diritto di vendita), opzioni Call (opzione call, ossia diritto di acquisto) e skew in modo diverso. - La copertura delta non può essere scambiata durante un salto istantaneo. Riportate il divario in conto economico e il salto residuo dei greci invece di rivendicare una copertura completa. - Includere denaro/lettera, perdita di liquidità, margine, prestito, exercise (esercizio dell’opzione da parte del titolare) anticipato, dividendi e liquidazione quando si confronta il valore del modello con un'operazione. - Utilizzare Black-Scholes più semplici e limiti intrinseci/di assenza di arbitraggio osservati come diagnostica prima di affidarsi a un modello più flessibile. ## Errori comuni - "La diffusione del salto predice il prossimo divario." Specifica una distribuzione, non una tempistica o una direzione di un particolare evento. - "L'aggiunta di salti migliora sempre le previsioni." I parametri aggiuntivi possono sovrastimare il rumore delle opzioni e i regimi instabili. - "Lambda è il numero di incidenti all'anno." Conta i salti modellati secondo una misura e una convenzione di soglia stabilite. - "La proxy della varianza del 30% è l'opzione IV." Rimangono il sorriso, la maturità, il premio per il rischio e l'integrazione dei profitti. - "Più salti aumentano solo i prezzi opzione put." I salti positivi e negativi possono sollevare entrambe le code; l'asimmetria determina l'inclinazione. - "La copertura delta rimuove il rischio di salto." Un movimento discontinuo avviene prima che una copertura continua possa riequilibrarsi. - "Il salto storico stima parametri di prezzo uguali." I prezzi neutrali al rischio incorporano un compenso per sopportare il rischio di salto. - "La diffusione del salto Merton spiega ogni sorriso." Anche la volatilità stocastica, la volatilità locale, la liquidità e i processi di salto multiplo possono avere importanza. ## Argomenti correlati - [Modello Black-Scholes](/it/options/black-scholes-model/) - [Movimento browniano geometrico](/it/options/geometric-brownian-motion/) - [Modello Heston](/it/options/heston-model/) - [Opzioni spazio](/it/options/gap-options/) - [Volatilità implicita](/it/options/implied-volatility/) - [Copertura delta](/it/options/delta-hedging/) ## Fonti primarie e accademiche - [Merton: Prezzo delle opzioni quando i rendimenti delle azioni sottostanti sono discontinui](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2) - [Black e Scholes: Il prezzo delle opzioni e le passività aziendali](https://doi.org/10.1086/260062) - [Bates: salti e volatilità stocastica](https://doi.org/10.1093/rfs/9.1.69) - [Kou: un modello di diffusione a salti per la determinazione del prezzo delle opzioni](https://doi.org/10.1287/mnsc.48.8.1086.166) - [OCC (Options Clearing Corporation, camera di compensazione delle opzioni quotate negli Stati Uniti): Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - [Cboe: Metodologia VIX](https://cdn.cboe.com/api/global/us_indices/governance/VIX_Methodology.pdf) Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/jump-diffusion-option-model/index.mdx