--- title: "Modello di volatilità locale: dalla superficie delle opzioni alla volatilità dipendente dallo stato" description: "Comprendere come un modello di volatilità locale converte una superficie di opzioni coerente con l'arbitraggio in una funzione di volatilità deterministica, come funziona l'equazione di Dupire e perché la calibrazione esatta non garantisce dinamiche future realistiche." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modello di volatilità locale: dalla superficie delle opzioni alla volatilità dipendente dallo stato > Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite. ## Risposta diretta Un **modello di volatilità locale** rende la volatilità istantanea una funzione deterministica del livello e del tempo sottostante corrente: `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t` in base a una semplice specifica neutrale rispetto al rischio. A differenza di Black-Scholes con una volatilità costante, può riprodurre un’intera sezione trasversale dei prezzi delle opzioni europee attraverso strike (prezzo di esercizio) e scadenze se calibrato su una superficie sufficientemente liscia e coerente con l’arbitraggio. Il modello è completo nella sua impostazione di diffusione idealizzata ed è utile per valutare i sinistri dipendenti dal percorso e calcolare coperture coerenti con l'attuale superficie standard. L'adattamento esatto oggi non significa che preveda la superficie di volatilità implicita di domani. Le sue future dinamiche del sorriso sono imposte dalla funzione deterministica e possono differire materialmente dai mercati osservati. ## Meccanica di calibrazione Dupire Sia `C(K,T)` un prezzo Call (opzione call, ossia diritto di acquisto) europeo in funzione dello strike `K` e della scadenza `T`, con tasso costante `r` e rendimento da dividendo `q` a scopo illustrativo. L'equazione diretta di Dupire dà: `σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`. La curvatura di strike `∂²_KK C` è collegata alla densità terminale neutrale al rischio. Pertanto, affinché la formula abbia senso, i prezzi delle opzioni call devono diminuire e rimanere convessi nello strike, e le relazioni di calendario devono essere coerenti. In pratica, i desk prima ripuliscono le quotazioni, convertono tassi e dividendi in fattori forward e di sconto, adattano una superficie liscia controllata dall’arbitraggio, la differenziano e quindi interpolano o estrapolano la griglia della volatilità locale. Un σ_loc(K,T) calibrato non è semplicemente la volatilità implicita quotata a quello strike e scadenza. la volatilità implicita è un parametro costante di Black-Scholes che riproduce un particolare prezzo di opzione; la volatilità locale è il coefficiente di diffusione istantaneo dipendente dallo stato la cui distribuzione riproduce la superficie più ampia. ## Calcolo Dupire illustrativo A `K=$100` e `T=1` anno, supponiamo che una superficie di opzioni call levigata dia `C=$8`, `∂_T C=10` dollari all'anno, `∂_K C=-0.45` e `∂²_KK C=0.018` per dollaro. Siano `r=5%` e `q=2%`. Il numeratore è: `10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`. Il denominatore è `0.5×100²×0.018=90`. La varianza locale è quindi `8.81/90=0.0979` e la volatilità locale è `√0.0979=31.3%`. Si tratta di un esempio numerico, non di una stima di mercato. Se un adattamento rumoroso modificasse la curvatura da `0.018` a `0.012` mentre gli altri input rimanessero fissi, la volatilità dedotta aumenterebbe a `√(8.81/60)=38.3%`. La sensibilità mostra perché sono importanti il filtraggio delle quotazioni, il livellamento senza arbitraggio, la stabilità della griglia e i controlli fuori campione. ## Calibrazione e lista di controllo del rischio modello - Utilizzare quotazioni di opzioni eseguibili sincronizzate, prezzi a termine, fattori di sconto, dividendi, termini contrattuali e convenzioni di regolamento. - Rimuovere le osservazioni barrate, obsolete, a offerta zero ed economicamente incoerenti secondo regole documentate. - Applicare la convessità degli strike e un'adeguata monotonia del calendario prima di prendere le derivate numeriche. - Testare la sensibilità all'interpolazione, alle penalità di livellamento, ai pesi delle quote, alla spaziatura della griglia, alle condizioni al contorno e all'estrapolazione. - Riprezzare tutte le calibrazione vanilla e segnalare gli errori nelle unità di prezzo eseguibili, non solo nei punti di volatilità implicita. - Confrontare il comportamento di copertura della volatilità locale con le alternative di Black-Scholes e di volatilità stocastica in caso di shock spot e smile. - Lacune e salti di stress. Una diffusione continua non può coprire una discontinuità istantanea. - Trattare la futura dinamica della superficie come un'ipotesi di modello; la volatilità locale spesso produce movimenti del sorriso diversi da quelli del mercato. - Siate cauti con le barriere e altre rivendicazioni dipendenti dal percorso, il cui valore dipende dalla distribuzione del percorso modellato, non solo dai prezzi finali vanilla. - Ricalibrare quando la superficie cambia e distinguere profitti e perdite di mercato, carry, errori di copertura ed effetti di ricalibrazione del modello. - Evitare di estrapolare ali sparse o scadenze lunghe senza limiti espliciti; i derivati ​​possono amplificare piccoli errori di input. - Includere liquidità, costi di transazione, copertura discreta, exercise (esercizio dell’opzione da parte del titolare) anticipato e termini di controparte o di regolamento al di fuori dell'equazione idealizzata. ## Errori comuni - “La volatilità locale è uguale alla volatilità implicita in ogni punto.” I due oggetti hanno definizioni e usi diversi. - "La calibrazione esatta dimostra che il modello è vero." Molti modelli possono adattarsi ai prezzi standard di oggi, pur implicando percorsi e coperture diversi. - "La formula Dupire può essere applicata direttamente alle quotazioni grezze." Richiede derivate regolari e input coerenti con l'arbitraggio. - “Una diffusione completa elimina ogni rischio.” Rimangono lacune, coperture discrete, liquidità, modifiche dei parametri ed errori del modello. - "Un maggiore dettaglio della superficie migliora sempre la precisione." La differenziazione può amplificare quotazioni rumorose e illiquide. - "Il modello prevede la volatilità." La calibrazione estrae una funzione di determinazione del prezzo neutrale rispetto al rischio; non è una previsione fisica. - "Due modelli che corrispondono a tutte le varietà vanigliate devono valutare allo stesso modo ogni esotico." Le distribuzioni del percorso e le dinamiche future del sorriso possono differire. - "La varianza locale negativa è un segnale valido." Di solito indica dati incoerenti, livellamenti, derivati ​​o ipotesi che richiedono un'indagine. ## Argomenti correlati - [Modello Black-Scholes](/it/options/black-scholes-model/) - [Volatilità implicita](/it/options/implied-volatility/) - [Modello Heston](/it/options/heston-model/) - [Valutazione delle opzioni con differenze finite](/it/options/finite-difference-option-pricing/) - [Copertura delta](/it/options/delta-hedging/) - [Rischio gamma](/it/options/gamma-risk/) ## Fonti primarie e accademiche - [Dupire: prezzi con un sorriso](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile) - [Derman e Kani: cavalcando un sorriso](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf) - [Derman, Kani e Zou: The Local Volatility Surface](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf) - [Hagan et al.: Managing Smile Risk](https://wilmott.com/managing-smile-risk/) - [OCC (Options Clearing Corporation, camera di compensazione delle opzioni quotate negli Stati Uniti): Caratteristiche e rischi delle opzioni standardizzate](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/local-volatility-model/index.mdx