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title: "Prezzi delle azioni lognormali: ipotesi, matematica e limiti"
description: "Comprendere perché i modelli di opzioni classici utilizzano prezzi azionari lognormali, come differiscono i rendimenti semplici e logaritmici, come i prezzi medi e mediani divergono e perché code spesse, salti e volatilità variabile limitano l'ipotesi."
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# Prezzi delle azioni lognormali: ipotesi, matematica e limiti

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

I modelli di opzioni classici spesso presuppongono che il **prezzo** futuro di un titolo sia distribuito in modo logaritmico, il che significa che il suo **rendimento logaritmico** composto in modo continuo è distribuito normalmente. Il prezzo in sé non è considerato normale e il rendimento non è “lognormale”. Sotto moto browniano geometrico:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, dove `Z∼N(0,1)`.

Qui μ è la deriva del prezzo sotto la misura di probabilità adottata, σ è la volatilità e T è l’orizzonte. L’esponenziazione mantiene positivi i prezzi modellati, rende additivi i rendimenti logaritmici multiperiodali e porta a formule di opzioni trattabili. I mercati reali non rispettano esattamente l’ipotesi: i rendimenti mostrano asimmetria, code spesse, concentrazione della volatilità, salti, sospensioni delle negoziazioni e distribuzioni mutevoli. La lognormalità è un riferimento trasparente, non una legge del mercato.

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## Meccanismi di distribuzione e prezzo

Il rendimento semplice è `R=S_T/S_0-1`; il rendimento logaritmico è `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`. I rendimenti logaritmici si sommano nel tempo, mentre quelli semplici si compongono moltiplicativamente. Un aumento da `$100` a `$110`, seguito da un calo a `$99`, dà `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`. Sommare `+10%` e `-10%` come rendimenti semplici porterebbe erroneamente a zero.

Se `ln S_T∼N(m,v)`, la mediana del prezzo è `e^m`, la media è `e^(m+v/2)` e la modalità è `e^(m-v)`. La distribuzione dei prezzi distorta a destra ha un limite inferiore pari a zero e nessun limite superiore finito. Non può raggiungere esattamente lo zero in un tempo finito, quindi default e altri eventi assorbenti sono assenti a meno che non vengano modellizzati separatamente.

Sotto la misura fisica, scegliere μ richiede di ipotizzare o stimare un rendimento. Sotto la misura neutrale al rischio di Black-Scholes, la deriva del prezzo diventa r−q; la media del rendimento logaritmico è quindi `(r-q-σ²/2)T`. Questa distribuzione valuta i crediti contingenti in assenza di arbitraggio; non prevede le frequenze reali. Una `σ` costante implicherebbe inoltre la stessa volatilità implicita per tutti i prezzi di esercizio di una scadenza, in contrasto con lo skew o lo smile osservato.

<a id="example"></a>

## Un esempio di distribuzione su un anno

Sia `S_0=$100` e supponiamo che il rendimento logaritmico a un anno sia normale, con media `5%` e deviazione standard `20%`. La mediana del prezzo futuro è `$100e^0.05=$105.13`, la media è `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25` e la moda è `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`. Il “prezzo atteso” non coincide quindi con il centro né con il valore più probabile della distribuzione.

Usando `Z=-1` e `Z=+1` come approssimazioni del 16° e dell’84° percentile, si ottengono `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` e `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`. L’intervallo in dollari è asimmetrico, anche se quello del rendimento logaritmico è simmetrico.

Un altro esempio mostra perché la definizione di rendimento è importante. Un calo del `50%`, da `$100` a `$50`, seguito da un rialzo del `50%`, porta il prezzo soltanto a `$75`: il rendimento semplice cumulato è `-25%`. I rendimenti logaritmici sommano esattamente a `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`. Per tornare da `$50` a `$100` serve un rialzo del `100%`.

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## Verifiche e rischi del modello

- Utilizzare dati di rendimento totale o prezzi correttamente rettificati; frazionamenti e distribuzioni ordinarie possono creare falsi salti nelle serie non rettificate.
- Allineare date e orari, valute, orari di chiusura, osservazioni mancanti e giorni senza negoziazioni prima di calcolare i rendimenti.
- Indicare esplicitamente se si usano rendimenti semplici o logaritmici; i due valori sono vicini solo per variazioni contenute.
- Confrontare asimmetria empirica, curtosi in eccesso, quantili 1%/5%/95%/99%, istogrammi e grafici Q-Q con un riferimento normale.
- Controllare separatamente i periodi di calma e quelli di crisi. Mescolare regimi di volatilità mutevoli può di per sé creare rendimenti incondizionati dalla coda grassa.
- Verificare la dipendenza seriale nei rendimenti e nei loro quadrati; il clustering della volatilità viola l’ipotesi di incrementi costanti e indipendenti.
- Non applicare meccanicamente la scala `√T` in prossimità di risultati societari, eventi programmati, memoria lunga o cambi di regime.
- Separare i parametri fisici utilizzati per la previsione dai parametri neutrali al rischio dedotti per la determinazione del prezzo.
- Utilizzare la superficie corrente di volatilità implicita per valutare opzioni con prezzi di esercizio diversi, invece di imporre la stessa volatilità at-the-money a ogni strike.
- Sottoporre a stress salti, default, sospensioni delle negoziazioni, perdita di liquidità e riprezzamento della volatilità al di fuori della diffusione continua.
- Convalidare parametri ed errori di copertura fuori campione; l’adattamento agli estremi storici non dimostra la stabilità futura.
- Per le opzioni dipendenti dal percorso, simulare percorsi intermedi ed errori di discretizzazione, non solo prezzi terminali lognormali.

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## Errori comuni

- "I rendimenti azionari sono lognormali." L’affermazione classica è che i prezzi sono lognormali e i rendimenti logaritmici sono normali.
- “Prezzi modellati positivi dimostrano il realismo.” La positività non coglie default, salti, code spesse o regimi di volatilità.
- "Il prezzo medio è il prezzo più probabile." La media, la mediana e la moda di una distribuzione lognormale differiscono.
- "Un intervallo di rendimenti logaritmici simmetrico è simmetrico in dollari." L’esponenziazione crea una fascia di prezzo asimmetrica.
- "La probabilità neutrale al rischio è la probabilità effettiva." È la misura coerente con prezzi scontati privi di arbitraggio e ha uno scopo diverso da una previsione fisica.
- "La volatilità annuale corrisponde sempre alla volatilità giornaliera moltiplicata per `√252`." Questo ridimensionamento necessita di incrementi stabili e indipendenti.
- "Una volatilità storica prezza ogni opzione." I prezzi delle opzioni di mercato implicano generalmente una volatilità dipendente dallo strike e dalla scadenza.
- "Gli eventi rari dovrebbero essere eliminati come valori anomali." Dopo il controllo dei dati, gli estremi possono costituire una prova essenziale contro le code presunte.
- "Campionare prezzi terminali lognormali consente di valutare qualsiasi derivato." Le opzioni barriera, asiatiche e americane dipendono dal percorso o dalle decisioni di esercizio.

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## Fonti accademiche

- [Black e Scholes: Il prezzo delle opzioni e le passività aziendali](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: Teoria del prezzo razionale delle opzioni](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Mandelbrot: La variazione di alcuni prezzi speculativi](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Fama: Il comportamento dei prezzi di borsa](https://doi.org/10.1086/294743)
- [Cboe: L’indice Cboe SKEW](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/lognormal-stock-returns/index.mdx