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title: "Modello SABR: Alpha, Beta, Rho, Nu, calibrazione e rischio del modello"
description: "Comprendere il modello di volatilità stocastica SABR, come alfa, beta, rho e nu modellano un sorriso di volatilità implicita e come calibrare e convalidare le approssimazioni di Hagan."
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# Modello SABR: Alpha, Beta, Rho, Nu, calibrazione e rischio del modello

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Questa pagina descrive a scopo didattico la prassi di modellizzazione per opzioni europee negoziate in borsa e fuori borsa, inclusi casi d’uso su tassi e cambi. Non è una specifica per un determinato mercato, prodotto, broker, conto, accordo di compensazione o giurisdizione; convenzioni, requisiti, documentazione e trattamento fiscale dipendono dalla sede di negoziazione e dalla legge applicabile. Fatti e fonti sono stati verificati il 2026-08-22; il contenuto non costituisce consulenza individuale d’investimento, legale o fiscale.

Il **modello SABR** è un modello di volatilità stocastica in cui un forward `F_t` e il suo livello di volatilità `α_t` si muovono in modo casuale e i loro shock sono correlati. È ampiamente utilizzato per parametrizzare uno smile a volatilità implicita con un set di parametri piccolo e interpretabile e per generare prezzi e sensibilità coerenti con lo smile.

SABR non è una superficie di volatilità universale. Viene comunemente calibrato separatamente per scadenza o per la combinazione di scadenza e tenor di un’opzione su tassi, utilizzando una convenzione di quotazione Black, normale o shifted. La familiare formula di Hagan della volatilità implicita è un’approssimazione asintotica del modello, non un prezzo esatto e non è automaticamente priva di arbitraggio per tutti gli strike e le scadenze.

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## Dinamiche e ruoli dei parametri

Sotto una misura di pricing, le classiche dinamiche SABR forward sono:

`dF_t = α_t F_t^β dW_t¹`

`dα_t = ν α_t dW_t²`

`d⟨W¹,W²⟩_t = ρ dt`

con l'attuale `α > 0`, comunemente `0 ≤ β ≤ 1`, `ν ≥ 0` e `−1 < ρ < 1`.

- **Alpha (`α`)** imposta la scala di volatilità corrente, ma generalmente non è uguale alla volatilità implicita dell'ATM.
- **Beta (`β`)** controlla l'elasticità: `β = 1` è simile a lognormale, `β = 0` è simile a normale e i valori intermedi creano il ridimensionamento CEV.
- **Rho (`ρ`)** correla gli shock forward e di volatilità e influenza fortemente l'asimmetria del sorriso.
- **Nu (`ν`)** è la volatilità della volatilità e comunemente aumenta la curvatura del sorriso man mano che aumenta.

Queste interpretazioni non sono indipendenti. Alpha e Beta possono compensarsi intorno all’ATM; Rho e Nu possono compensarsi su un intervallo limitato di strike. Molte implementazioni fissano o vincolano strettamente Beta, quindi calibrano Alpha, Rho e Nu. Un errore di adattamento basso non dimostra l’identificabilità dei parametri o una dinamica futura realistica del sorriso.

Per il SABR nella convenzione Black, la principale intuizione ATM è:

`ATM Black IV ≈ α / F^(1−β)`

con correzioni di scadenza che coinvolgono tutti i parametri. Il SABR normale viene spesso utilizzato laddove i tassi o i forward possono essere vicini o inferiori allo zero. SABR spostato applica uno spostamento a `F` e `K`; quello spostamento cambia le dinamiche e le code e deve essere governato come parametro del modello.

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## Esempio su scala parametrica

Sia il forward `F = 100`, con maturità `T = 1 year`, `β = 0.50` fisso e `α = 2.00`. La principale approssimazione ATM è:

`ATM IV ≈ 2.00 / 100^(1−0.50) = 2.00 / 10 = 20.00%`

Se il forward scende a `81` mentre Alpha resta a `2.00`, la stessa approssimazione diventa:

`2.00 / 81^0.50 = 2.00 / 9 = 22.22%`

Pertanto Alpha invariato non implica ATM IV invariato quando `β < 1`. Al contrario, confrontare l’Alpha tra asset con unità o valori Beta diversi è generalmente privo di significato.

Ora confronta due configurazioni illustrative con gli stessi `F`, `T`, `β` e `α`:

| Insieme | `ρ` | `ν` | Effetto qualitativo tipico |
| --- | ---: | ---: | --- |
| A | `−0.20` | `0.30` | inclinazione e curvatura negative più lievi |
| B | `−0.70` | `0.80` | inclinazione al ribasso più ripida e curvatura più forte |

Tale descrizione è condizionale, non una garanzia numerica del prezzo. Un confronto valido deve valutare la formula Black/normale selezionata sugli strike effettivi, convertire gli errori IV in errori di prezzo e verificare l’estrapolazione. I parametri B possono adattarsi ai nodi osservati ma produrre ali lontane instabili o non plausibili.

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## Lista di controllo per la calibrazione e la convalida

- Fissare il sottostante, la costruzione a termine, l'attualizzazione, la scadenza, la durata, il regolamento e la convenzione di quotazione.
- Pulisci le quotazioni Bid/Ask contemporaneamente e mantieni i pesi di liquidità e i motivi di esclusione.
- Decidere esplicitamente tra SABR Black, normale e shifted; non mescolare mai le loro unità di volatilità.
- Fissare o limitare il Beta con motivazioni documentate e ripetere la valutazione con valori Beta alternativi.
- Imporre `α > 0`, `ν ≥ 0` e un limite interno sicuro per Rho.
- Utilizza più ipotesi iniziali e controlla i minimi locali, la covarianza dei parametri e i salti giornalieri.
- Ridurre al minimo gli errori di prezzo o ponderati Vega, a seconda dei casi, e non gli errori IV non ponderati per abitudine.
- Riportare separatamente l’aderenza per ATM, ala ribassista, ala rialzista e copertura Bid/Ask.
- Eseguire controlli "leave-one-out" o "out-of-sample" invece di fare affidamento solo sui residui all'interno del campione.
- Riconvertire il sorriso montato ai prezzi delle opzioni e controllare la monotonia e la convessità dello strike.
- Ispeziona la coerenza del calendario tra scadenze calibrate separatamente.
- Confrontare i prezzi approssimati di Hagan e quelli greci con un metodo numerico più accurato per scadenze lunghe, Nu elevato, Rho estremo e strike distanti.
- Stress Alpha, Beta, Rho, Nu, forward, shift, tassi e correlazioni congiuntamente.
- Conserva i dati di mercato, la formula con versione, la funzione obiettivo, i limiti, il risolutore, i valori iniziali e il timestamp di calibrazione.

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## Errori comuni

- "SABR è un modello di prezzo esatto in forma chiusa." La formula popolare è un'approssimazione asintotica della volatilità implicita.
- "Alfa è ATM IV." Dipende anche dalle correzioni su scala prospettica, Beta, maturità, Rho e Nu.
- "Rho è la correlazione storica prezzo/volatilità." Si tratta di un parametro del modello neutrale rispetto al rischio calibrato sui prezzi delle opzioni.
- "Nu controlla solo le ali." I parametri interagiscono e la modifica di Nu può influire sulla sensibilità dell'ATM e della copertura.
- "La beta può sempre essere stimata liberamente." La collinearità alfa-beta spesso rende l'adattamento instabile.
- "Un sorriso perfetto si rivela una buona copertura." Dinamiche diverse possono adattarsi alla stessa istantanea vanigliata e coprire elementi esotici in modo diverso.
- "Le volatilità normale e nera sono percentuali intercambiabili." Usano unità e convenzioni di prezzo diverse.
- "Il SABR spostato risolve i tassi negativi senza costi." Lo spostamento è un'ulteriore ipotesi strutturale che riguarda le code.
- "IV montato positivo significa assenza di arbitraggio." La curva dei prezzi risultante può ancora violare la convessità o le condizioni del calendario.
- "Un adattamento SABR descrive l'intera superficie." Le sezioni indipendenti possono essere incoerenti tra scadenze e durate.

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## Fonti autorevoli

- [Hagan et al.: Gestione del rischio legato al sorriso](https://www.next-finance.net/IMG/pdf/pdf_SABR.pdf)
- [Articolo: Put (opzione put, ossia diritto di vendita) a punto il tuo sorriso—Correzione a Hagan et al.](https://arxiv.org/abs/0708.0998)
- [Fukasawa: Approssimazioni asintoticamente prive di arbitraggio della volatilità implicita](https://arxiv.org/abs/2201.02752)
- [Choi e Seo: determinazione del prezzo delle opzioni secondo il modello SABR normale con quadrature gaussiane](https://arxiv.org/abs/2301.02797)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/sabr-model/index.mdx