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title: "Modelli di volatilità stocastica: varianza casuale, premi di rischio e dinamica del sorriso"
description: "Comprendere la famiglia di modelli di volatilità stocastica, separare le dinamiche della varianza fisica e neutrale al rischio, confrontare le scelte Heston, SABR e di volatilità approssimativa e convalidare la calibrazione oltre un adattamento statico del sorriso."
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# Modelli di volatilità stocastica: varianza casuale, premi di rischio e dinamica del sorriso

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Un **modello di volatilità stocastica** rende la varianza istantanea di un asset una variabile di stato casuale anziché una costante o una funzione deterministica di spot e tempo. In una generica specifica continua a due fattori:

`dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S`

`dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v`, con `dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt`

Lo shock extra della varianza può creare volatilità variabile nel tempo, clustering, ritorno alla media, distorsione e dinamiche del sorriso più ricche. Il modello non rende “conosciuta” la volatilità; specifica una legge di probabilità i cui parametri e la versione neutrale al rischio devono essere stimati o calibrati.

Questa è una famiglia di modelli, non una formula. Heston utilizza un processo di varianza con radice quadrata e ritorno alla media, SABR fa evolvere un forward e la sua volatilità, i modelli di varianza forward modellano la struttura a termine della varianza e i modelli di volatilità approssimativa utilizzano memoria non markoviana. Ciascuna scelta si adatta e copre caratteristiche diverse e introduce rischi numerici e di modello diversi.

Ambito: questa pagina tratta la meccanica dei modelli per opzioni vanilla e dipendenti dal percorso, quotate e over-the-counter, su sottostanti azionari, valutari, di tasso e di materie prime. È un quadro generale, non una descrizione di una particolare borsa, intermediario, conto a margine, regime fiscale o giurisdizione. Gli esempi sono ipotetici e si riferiscono al 2026-08-22; prima di applicarli, verificare i termini del prodotto, le convenzioni di mercato, le regole del conto e la giurisdizione applicabile. Non costituisce consulenza individuale d’investimento, legale o fiscale.

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## Le dinamiche fisiche non sono dinamiche di prezzo

I rendimenti storici sono modellati sulla base della misura fisica `P`; La valutazione dell'opzione senza arbitraggio utilizza una misura neutrale al rischio `Q`. Con uno shock di varianza non negoziato, azioni e liquidità generalmente non riescono a coprire ogni fonte di incertezza. Il mercato è incompleto, quindi il solo assenza di arbitraggio non determina in modo univoco il premio per il rischio di varianza o la deriva della varianza `Q`.

Schematicamente, lo stesso stato di varianza può avere:

`dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}`

sotto `P`, ma

`dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}`

sotto `Q`. La differenza tra `a_P` e `a_Q` incorpora una compensazione per il rischio di volatilità. La stima dei parametri `P` dai rendimenti e l'inserimento invariati in un prezzo di opzione presuppone silenziosamente tale distinzione.

La correlazione `ρ` collega gli shock di rendimento e di varianza. Nei modelli azionari, una correlazione neutrale al rischio con adattamento negativo spesso aiuta a generare Opzioni Put (opzione put, ossia diritto di vendita) al ribasso più ricche. La volatilità della volatilità controlla quanto può disperdersi la varianza futura e influenza la curvatura del sorriso. La reversione alla media modella la struttura del termine. Queste interpretazioni sono condizionali: i parametri interagiscono e più set di parametri possono produrre prezzi vanilla simili.

### Adattamento statico contro dinamico

Una calibrazione riduce al minimo gli errori tra colpi e scadenze contemporaneamente. Un modello di rischio deve anche specificare come cambia la superficie adattata dopo shock spot, temporali e di volatilità. Due modelli possono eguagliare i valori vanilla di oggi e produrre diversi valori di barriera, inclinazioni future, rapporti di copertura e P/L del giorno successivo. La dinamica del sorriso e la copertura fuori campione sono quindi obiettivi di validazione separati dall'errore di calibrazione.

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## Esempio: una varianza corrente, due misure

Supponiamo che la varianza attuale sia `v₀ = 0.04`, quindi la volatilità istantanea attuale sia `√0.04 = 20%`. A titolo illustrativo, supponiamo che la varianza sia un ritorno alla media per ciascuna misura:

`E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)`

Utilizza questi ipotetici parametri:

| Misura | `κ` | `θ` | Semestrale `E[v_0.5]` |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| Fisico `P` | `1` | `0.04` | `0.04` |
| Neutrale rispetto al rischio `Q` | `2` | `0.0625` | `0.05422` |

Sotto `P`:

`0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04`

Sotto `Q`:

`0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422`

Le radici quadrate sono `20%` e `23.29%`, rispettivamente. Questa differenza non è una previsione del profitto delle opzioni e non identifica il premio per il rischio da un'osservazione. Mostra perché una struttura a termine della varianza neutrale al rischio, calibrata a partire dalle opzioni, non può essere rietichettata come volatilità attesa realizzata.

Inoltre, `√E[v_T]` non è generalmente uguale a `E[√v_T]`. L'esempio riporta la radice quadrata della varianza prevista, non della volatilità prevista. Il valore di un'opzione completa dipende dalla distribuzione e dal percorso della varianza, dalla sua correlazione con i rendimenti e dal payoff, non solo da questa media.

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## Lista di controllo per la selezione e la convalida del modello

- Indicare le equazioni stocastiche, la misura, le variabili di stato, le unità dei parametri, il comportamento al contorno e la struttura di correlazione.
- Separare i parametri stimati dai rendimenti in `P` da quelli calibrati sui prezzi delle opzioni in `Q`.
- Utilizza quotazioni eseguibili sincronizzate, forward, fattori di sconto, dividendi e termini contrattuali.
- Peso degli errori di calibrazione in base alla rilevanza economica come Bid-Ask o Vega e ispezione di ogni scadenza e ala.
- Eseguire più ipotesi iniziali e segnalare set di parametri quasi equivalenti; un risultato dell'ottimizzatore può non essere identificabile.
- Verifica positività, condizioni momento, bias di simulazione, discretizzazione, integrazione delle trasformazioni e gestione dei rami.
- Riprezzare tutti gli strumenti di calibrazione e confrontare gli errori con gli spread di mercato, non solo IV RMSE.
- Convalida futuri movimenti della superficie, copertura P/L e stabilità dei parametri fuori dal campione.
- Sollecitare i sbalzi dei prezzi, la varianza degli eventi, le interruzioni della correlazione, i picchi di volatilità della volatilità e la perdita di liquidità.
- Confronta Heston, volatilità locale, volatilità stocastico-locale, salto e alternative approssimative per il profitto effettivo.
- Trattare l'exercise (esercizio dell’opzione da parte del titolare) americano, i dividendi discreti, le barriere e la dipendenza dal percorso con metodi numerici adeguati.
- Includere i costi di transazione, la copertura discreta, il finanziamento, la assignment (assegnazione dell’obbligo al venditore dell’opzione) e gli strumenti di copertura non disponibili.
- Registrare quali rischi il modello omette deliberatamente; una calibrazione precisa non riduce il rischio omesso.

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## Errori comuni

- **"La volatilità stocastica predice la volatilità."** Definisce le dinamiche condizionali dopo la scelta del modello e dei parametri.
- **“Opzioni di prezzo con parametri di varianza storica”.** Il pricing richiede generalmente dinamiche neutrali rispetto al rischio e un premio per il rischio di volatilità.
- **“Un adattamento perfetto dimostra il modello.”** L'adattamento statico non identifica percorsi realistici o comportamenti di copertura.
- **"Più fattori migliorano sempre la precisione."** La flessibilità può aumentare l'instabilità, l'adattamento eccessivo e il rischio di parametri non controllabili.
- **“La volatilità stocastica include i crolli”.** Un modello a varianza continua può comunque omettere salti discontinui di prezzo e varianza.
- **"La varianza attesa neutrale rispetto al rischio è una previsione di mercato."** È un oggetto di determinazione del prezzo contenente premi di rischio e dipende da convenzioni.
- **“Un parametro calibrato ha un significato economico.”** I parametri si compensano a vicenda e possono essere scarsamente identificati.

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## Fonti accademiche

- [Hull and White: il prezzo delle opzioni su asset con volatilità stocastica](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb02568.x)
- [Heston: una soluzione in forma chiusa per opzioni con volatilità stocastica](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Bergomi: Dinamiche del sorriso IV](https://doi.org/10.2139/ssrn.1520443)
- [Hagan et al.: Gestione del rischio legato al sorriso](https://www.math.uchicago.edu/~rl/BFL2008v5.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/stochastic-volatility-model/index.mdx