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title: "Modello di volatilità SVI: adattamento della varianza totale senza arbitraggio statico"
description: "Comprendi i cinque parametri di Raw SVI, calcola un sorriso in termini di denaro log-forward, calibra quotazioni eseguibili e testa i vincoli di positività, farfalla, calendario e ala."
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# Modello di volatilità SVI: adattamento della varianza totale senza arbitraggio statico

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

**SVI**, o Stochastic Volatility Inspired, è una rappresentazione parametrica della **varianza totale** implicita tra gli strike (prezzo di esercizio) per una scadenza. Nella sua forma SVI grezza:

`w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}`

dove `w(k) = σ_imp²(k,T)T` e `k = ln(K/F_T)` rappresentano la moneyness log-forward. Raw SVI utilizza cinque parametri per trasformare le quotazioni discrete delle opzioni in un sorriso regolare per interpolazione, valutazione, greche e diagnostica del valore relativo.

Nonostante il nome, una fetta SVI adattata non è di per sé un processo stocastico o una previsione della volatilità futura. Descrive una superficie di prezzo statica e neutrale al rischio. Scelte separate determinano il modo in cui le sezioni si collegano tra le scadenze e il modo in cui la superficie si muove nel tempo.

Questo articolo tratta quotazioni di opzioni vanilla con una curva forward e di sconto sincronizzata, soprattutto contratti quotati di tipo europeo o equivalente. È una spiegazione di modelli e dati di mercato, non un'indicazione per un conto specifico; condizioni contrattuali, liquidità, trattamento fiscale e obblighi legali variano in base a prodotto, mercato, intermediario e giurisdizione. L'ambito fattuale è verificato fino al 22-08-2026 e non costituisce consulenza d'investimento, legale o fiscale.

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## Cosa controllano i cinque parametri

- `a`: livello di varianza totale verticale, ma non necessariamente varianza ATM.
- `b ≥ 0`: scala complessiva delle pendenze dell'ala sinistra e destra.
- `−1 < ρ < 1`: asimmetria; negativo `ρ` rende la pendenza asintotica sinistra maggiore di quella destra.
- `m`: posizione orizzontale del centro del sorriso in log-moneyness.
- `σ > 0`: levigatezza e larghezza attorno al centro; questo parametro non è volatilità implicita.

Le pendenze asintotiche della varianza totale sono `b(1−ρ)` a sinistra e `b(1+ρ)` a destra. La varianza totale minima è:

`w_min = a + bσ√(1−ρ²)`

quindi la varianza totale non negativa richiede `a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0`. Queste restrizioni di base **non** garantiscono l’assenza di arbitraggio a farfalla.

Per un sorriso a varianza totale due volte differenziabile, una condizione di densità ampiamente utilizzata è:

`g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0`

per tutti i `k` rilevanti, insieme al comportamento appropriato delle ali. Un `g(k)` negativo corrisponde a una densità neutrale al rischio negativa nella costruzione a prezzo di esercizio continuo. Implementazioni robuste applicano regioni analitiche senza arbitraggio o testano una griglia e le ali sufficientemente ampie e dense; la fluidità visiva e il basso RMSE sono insufficienti.

### Una fetta non è una superficie

Calibrare ogni scadenza in modo indipendente può creare attraversamenti nel tempo. In base a convenzioni forward e sconti coerenti, la varianza totale non dovrebbe diminuire con la scadenza a un livello monetario log-forward fisso in una costruzione standard senza arbitraggio di calendario. SSVI e le relative parametrizzazioni collegano le sezioni con restrizioni esplicite. Le scadenze degli eventi possono creare passaggi reali nella varianza totale; Il controllo senza arbitraggio dovrebbe preservare informazioni valide sugli eventi anziché eliminarle esteticamente.

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## Esempio: lettura di una porzione SVI grezza

Sia `T = 0.25` anno e:

`a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20`

Il minimo di positività è:

`w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0`

Valuta tre punti di log moneyness:

| `k` | Varianza totale `w(k)` | `IV = √[w(k)/T]` |
| ---: | ---: | ---: |
| `−0.20` | `0.04828` | `43.95%` |
| `0` | `0.03000` | `34.64%` |
| `+0.20` | `0.02828` | `33.64%` |

Alle `k = 0`:

`w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000`

Alle `k = −0.20`:

`w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828`

Il negativo `ρ` produce un'ala sinistra più ripida. Le sue pendenze asintotiche sono `0.10(1−(−0.5)) = 0.15` a sinistra e `0.10(1+(−0.5)) = 0.05` a destra.

Questo calcolo non dimostra né un buon adattamento del mercato né l’assenza di arbitraggio statico. L'intera sezione necessita ancora dei controlli `g(k)`/densità e ali, mentre le scadenze vicine necessitano di controlli del calendario. Inoltre, i valori sono IV annualizzati derivati ​​dalla varianza totale; confrontare `w` piuttosto che IV grezzo è essenziale per tutte le scadenze.

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## Lista di controllo per la calibrazione e la produzione

- Fissare una scadenza e ricavare un fattore forward e di sconto sincronizzato da input affidabili o parità Put (opzione put, ossia diritto di vendita)-Call (opzione call, ossia diritto di acquisto).
- Converti ogni strike in `k = ln(K/F_T)` e ogni IV valido in `w = IV²T` utilizzando un orologio.
- Preferire quotazioni OTM eseguibili; trattamento documentale di offerte zero, mercati incrociati, quotazioni obsolete, azioni societarie e deepwing.
- Errori di prezzo di adattamento, IV o varianza totale con pesi legati a Vega, ampiezza Bid-Ask e liquidità; segnalare l'obiettivo scelto.
- Utilizzare i limiti dei parametri e più punti di partenza; I parametri SVI grezzi possono compensarsi a vicenda.
- Controllare i prezzi delle opzioni montate rispetto a Bid/Ask, non solo un errore medio statistico.
- Applicare varianza totale non negativa, vincoli di farfalla/densità e ali asintotiche valide.
- Testare la monotonicità del calendario in tutte le scadenze in coordinate coerenti e preservare i passaggi degli eventi spiegabili.
- Ispezionare l'interpolazione tra le scadenze e l'estrapolazione oltre le ali citate; la maggior parte dei rischi può risiedere al di fuori della regione adatta.
- Ricalcola i prezzi e le greche su fitte griglie strike/scadenza e confronta i derivati ​​numerici attraverso le dimensioni della griglia.
- Contrassegnare le stime dei nodi mancanti come valori del modello, non come osservazioni di mercato.
- Monitorare i salti e i residui dei parametri nel tempo; una superficie di prezzo stabile può avere parametri grezzi instabili.
- Non considerare la distanza di una quotazione da SVI come arbitraggio finché non vengono controllati i prezzi dei pacchetti eseguibili, le commissioni, i dividendi e i vincoli.
- Versione dei dati, della curva diretta, del risolutore, dei vincoli, dei pesi e delle regole di fallback in modo che un segno possa essere riprodotto.

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## Errori comuni

- **"SVI è un modello di previsione della volatilità stocastica."** Una sezione calibrata è una parametrizzazione statica della varianza totale implicita.
- **“`σ` è la volatilità implicita dell'opzione.”** È il parametro di larghezza centrale del Raw SVI; IV è `√(w/T)`.
- **"`a` è la varianza ATM."** Anche altri parametri e `m` determinano il valore e il minimo vicino all'ATM.
- **"Cinque limiti di parametri validi rendono il sorriso esente da arbitraggio."** Rimangono le condizioni del calendario Butterfly, Wings e con scadenza incrociata.
- **“Un RMSE inferiore è sempre una superficie migliore.”** Può adattarsi al rumore o violare vincoli economicamente critici.
- **"Ogni scadenza può essere adattata in modo indipendente."** Le fette buone possono incrociarsi e implicare un arbitraggio del calendario se combinate.
- **“Un residuo SVI è un segnale commerciale.”** Dati errati, illiquidità, dividendi speciali e diversi costi di esecuzione possono spiegarlo.

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## Fonti accademiche

- [Gatheral and Jacquier: Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Martini and Mingone: No Arbitrage SVI](https://arxiv.org/abs/2005.03340)
- [Guo et al.: Generalized Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1137/120900320)
- [Gatheral and Jacquier: Convergence of Heston to SVI](https://arxiv.org/abs/1002.3633)

Source: https://wiki.fcontext.com/it/options/svi-volatility-model/index.mdx