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title: "Tracking error: variabilità del rendimento attivo, annualizzazione e livelli del fondo"
description: "Misura il tracking error ex post ed ex ante con rendimenti attivi sincronizzati, stimatori campionari o di popolazione espliciti, annualizzazione coerente con la dipendenza e livelli distinti di indice, NAV e prezzo di mercato."
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# Tracking error: variabilità del rendimento attivo, annualizzazione e livelli del fondo
> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.
## Risposta diretta
Il **tracking error** è la variabilità del rendimento periodico di un portafoglio rispetto a un benchmark specificato. Per rendimenti totali aritmetici sincronizzati, ogni osservazione è `aₜ = R_P,ₜ − R_B,ₜ`. Una comune stima ex post è la deviazione standard campionaria di questa serie di rendimenti attivi, non lo scarto di rendimento di un singolo periodo né la volatilità totale del portafoglio.
La **tracking difference** descrive livello o direzione, non variabilità. Può indicare lo scarto finale su un orizzonte dichiarato, `TD_H = R_P,H − R_B,H`, oppure il rendimento attivo periodico medio, ma la definizione va esplicitata. La ricchezza relativa geometrica, `RW_H = (1 + R_P,H) ÷ (1 + R_B,H) − 1`, è una misura distinta. Un ritardo stabile simile a una commissione può produrre tracking difference negativa con tracking error quasi nullo.
Il risultato è significativo solo specificando portafoglio o classe, identificativo e versione metodologica del benchmark, variante price/gross/net total return, livello NAV o prezzo di mercato, date e cut-off, frequenza, valuta e copertura, distribuzioni e ritenute, base lorda o netta di commissioni, stimatore, regola di annualizzazione e natura ex post o ex ante.
## Procedura riproducibile in sette passaggi
1. **Fissare oggetto e domanda.** Identificare conto, composite, classe del fondo o titolo negoziabile; benchmark esatto; istanti iniziale e finale; domanda di replica, mandato o esperienza dell’investitore; e uso del NAV ufficiale, di altra valutazione o del prezzo di borsa. Rendimento NAV e rendimento di mercato di un ETF non sono intercambiabili.
2. **Costruire serie sincronizzate di rendimento totale.** Usare intervalli non sovrapposti con fusi, festività, cut-off, conversione valutaria, copertura, distribuzioni, ritenute, flussi esterni e base commissionale coerenti. Abbinare il rendimento del portafoglio alla corretta variante dell’indice; price, gross/net total return, hedged/unhedged e decrement index misurano oggetti diversi.
3. **Scegliere la convenzione relativa.** Il rendimento attivo aritmetico è spesso `aₜ = R_P,ₜ − R_B,ₜ`. Un mandato può usare `gₜ = (1 + R_P,ₜ) ÷ (1 + R_B,ₜ) − 1` o differenze di log-rendimento. Dichiarare la convenzione, mantenere precisione e non combinare media o dato finale di una convenzione con la dispersione di un’altra.
4. **Separare tracking difference e tracking error.** Calcolare scarto finale e ricchezza relativa geometrica dai rendimenti cumulati abbinati. Calcolare separatamente `ā = Σaₜ ÷ n`. Né un dato finale né `ā` sono tracking error. Distinguere un ritardo medio stabile da dispersione episodica.
5. **Stimare la variabilità ex post con una statistica nominata.** Per `n > 1` osservazioni campionarie, usare `s_a = √[Σ(aₜ − ā)² ÷ (n − 1)]` per la deviazione standard campionaria. Una popolazione completa con centro noto `μ_a` può usare `σ_a = √[Σ(aₜ − μ_a)² ÷ n]`. La misura centrata su zero `RMS₀ = √[Σaₜ² ÷ n]` incorpora varianza e media al quadrato; non coincide con il tracking error centrato sulla media. Indicare osservazioni, dati mancanti, outlier e revisioni.
6. **Annualizzare e prevedere coerentemente.** Con rendimenti equidistanti, non sovrapposti, circa stazionari e serialmente incorrelati, `TE_annual ≈ s_a × √q`, dove `q` è il numero annuo di osservazioni. Con autocovarianza `γ_h`, l’aggregazione aritmetica ha `Var(Σ_{t=1}^{q}aₜ) = qγ₀ + 2Σ_{h=1}^{q−1}(q − h)γ_h`; prezzi stale, mercati asincroni, smoothing, sovrapposizione, esposizioni variabili e derivati possono invalidare la regola. Il tracking error ex ante è una grandezza di modello separata, di solito `TE_ex ante = √(w_AᵀΣw_A)`, con pesi attivi datati, orizzonte coerente e ipotesi esplicite.
7. **Riconciliare livelli, attribuire cause e verificare affidabilità.** Per la replica confrontare total return del NAV e indice corrispondente. Il confronto sul prezzo incorpora anche variazioni di premio/sconto, bid-ask, esecuzione e chiusure. Riconciliare commissioni, liquidità, sampling, imposte, prestito titoli, ricostituzioni, corporate action, trading, derivati, collateral e hedge. Se si usa attribution, imporre `active return = explained attribution + residual` e indagare il residuo. Mostrare finestre mobili, frequenze alternative, sottoperiodi, cambi benchmark, stress e differenze ex post/ex ante.
Form SEC e regole ETF disciplinano specifiche registrazioni, relazioni, campi e disclosure; non creano uno stimatore universale. GIPS sostiene coerenza dei dati, pertinenza del benchmark e presentazione corretta. NIST spiega scala e autocorrelazione; il provider definisce calcolo e varianti dell’indice. Questi livelli vanno collegati senza affermare che filing, fotografia delle posizioni o documento dell’indice misuri da solo il tracking error realizzato.
## Esempi svolti
- **Lo scarto finale non è ricchezza relativa né tracking error.** In un anno il benchmark rende `10.0000%` e il portafoglio `9.7200%`. Lo scarto è `TD_H = 9.7200% − 10.0000% = −0.2800%`, cioè meno 28 punti base. La ricchezza relativa è `RW_H = 1.0972 ÷ 1.1000 − 1 = −0.2545%`. Un solo dato non stima il tracking error. Se ogni rendimento attivo mensile fosse `−0.0300%`, il tracking error campionario sarebbe `0.0000%` pur con ritardo mensile.
- **Convenzioni campionaria, di popolazione e centrata su zero.** Sei rendimenti mensili sono `+0.1000%, −0.1000%, +0.2000%, −0.2000%, 0.0000%, 0.0000%`, media `0.0000%`. Gli scarti quadratici sommano `0.1000 percentage-points squared`. Il valore campionario è `√(0.1000 ÷ 5) = 0.1414%`; col divisore di popolazione `√(0.1000 ÷ 6) = 0.1291%`. Solo perché la media è zero, RMS centrato su zero è anch’esso `0.1291%`. Con l’approssimazione iid, il dato annuale è `0.1414% × √12 = 0.4899%`.
- **L’autocorrelazione cambia l’annualizzazione.** Con tracking error mensile `0.2000%`, autocorrelazione lag-one `ρ₁ = 0.5000` e lag superiori illustrativamente nulli, la scala meccanica è `0.2000% × √12 = 0.6928%`. Il fattore coerente dà `0.2000% × √[12 + 2 × 11 × 0.5000] = 0.9592%`. È un calcolo stilizzato, non una previsione completa della dipendenza futura.
- **Rischio ex ante e livelli ETF.** Pesi attivi `+2.0000%` e `−2.0000%`, volatilità annue previste `20.0000%` e `15.0000%`, correlazione `0.4000`: `√[(0.02² × 0.20²) + (−0.02)² × 0.15² + 2 × 0.02 × (−0.02) × 0.4000 × 0.20 × 0.15] = 0.3924%`. Quattro rendimenti attivi NAV `−0.0200%, −0.0300%, −0.0100%, −0.0200%` hanno media `−0.0200%` e tracking error `0.0082%`; quelli di mercato `+0.1000%, −0.2000%, +0.1500%, −0.0500%` hanno media `0.0000%` e tracking error `0.1581%`. Misurano livelli distinti e i quattro giorni ex post non sono direttamente confrontabili con la previsione annua.
## Checklist di calcolo e delle evidenze
- Identificare portafoglio, conto, composite, fondo, classe ed esperienza misurata.
- Registrare nome, identificativo, provider, versione metodologica e date del benchmark.
- Abbinare esattamente varianti price, gross/net total return, decrement, valuta e hedge.
- Dichiarare NAV, altra valutazione, close, bid, ask o prezzo di esecuzione.
- Sincronizzare cut-off, festività, fusi e intervalli non sovrapposti.
- Reinvestire distribuzioni coerentemente e allineare ritenute, imposte, commissioni, spese e lending income.
- Riconciliare flussi esterni e usare la metodologia adatta all’obiettivo.
- Dichiarare convenzione aritmetica, geometrica o logaritmica senza mescolarle.
- Separare tracking difference finale e rendimento attivo medio dal tracking error.
- Nominare stimatore campionario, di popolazione o altro, denominatore e centro.
- Non chiamare RMS centrato su zero deviazione standard centrata sulla media senza disclosure.
- Indicare osservazioni, frequenza, date, dati mancanti, outlier e revisioni.
- Testare autocorrelazione, prezzi stale, mercati asincroni, smoothing e overlap prima di annualizzare.
- Allineare annualizzazione o metodo multiperiodale a composizione e orizzonte.
- Separare stime storiche ex post da previsioni ex ante del modello.
- Datare pesi attivi, covarianze, fattori, derivati, liquidità, collateral ed esposizioni valutarie.
- Riconciliare NAV separatamente da premio, sconto, spread ed esecuzione del prezzo.
- Attribuire commissioni, liquidità, sampling, imposte, trading, lending, rebalance, eventi e hedge senza doppio conteggio.
- Riconciliare attribution e rendimento attivo totale e indagare residui.
- Mostrare finestre mobili, sensibilità alla frequenza, stress, cambi benchmark, incertezza e ricalcolo indipendente.
## Errori comuni
- **“Il tracking error è rendimento del fondo meno rendimento dell’indice.”** È un’osservazione attiva o uno scarto di orizzonte, non la variabilità.
- **“Tracking error basso significa buona performance.”** Un ritardo stabile per commissioni può coesistere con tracking error quasi nullo.
- **“Dividere per n o n meno uno è solo formattazione.”** Gli stimatori rispondono a domande diverse; RMS centrato su zero è ancora distinto.
- **“La radice quadrata rende identiche stime giornaliere e mensili.”** Dipendenza, overlap, prezzi stale, esposizioni, composizione e timing possono cambiarle.
- **“Il tracking error del prezzo ETF misura solo la replica.”** Il prezzo riflette anche premio/sconto, spread, liquidità, esecuzione e orari diversi.
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## Fonti autorevoli
- [Bollettino SEC sugli ETF](https://www.sec.gov/files/etfs.pdf) - quote, negoziazione, NAV, premi/sconti, costi, indici e rischi.
- [SEC Rule 6c-11](https://www.sec.gov/files/rules/final/2019/33-10695.pdf) - ambito e disposizioni su basket, portafoglio, premio/sconto e bid-ask.
- [SEC Form N-1A](https://www.sec.gov/files/form-n-1a.pdf) - registrazione e reporting dei fondi aperti, inclusi campi su performance, commissioni e benchmark.
- [SEC Form N-PORT](https://www.sec.gov/files/formn-port.pdf) - campi datati su portafoglio, strumenti, derivati, esposizione e rischio, utili ma non sostitutivi dell’analisi.
- [GIPS Standards Handbook for Firms](https://www.gipsstandards.org/wp-content/uploads/2021/04/gips-standards-handbook-firms.pdf) - coerenza dei dati, metodologia, benchmark, total return e presentazione corretta.
- [S&P DJI Index Mathematics Methodology](https://www.spglobal.com/spdji/en/documents/methodologies/methodology-index-math.pdf?force_download=true) - calcolo degli indici, serie price/total return, reinvestimento, pesi, divisori e varianti.
- [NIST Measures of Scale](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm) - varianza, deviazione standard campionaria, misure alternative, code e interpretazione.
- [NIST Autocorrelation](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35c.htm) - dipendenza ritardata, equidistanza, non casualità e diagnostica rilevante per annualizzare.
Source: https://wiki.fcontext.com/it/stocks/tracking-error/index.mdx