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title: "Curva dei rendimenti: tassi par, zero e forward, forma e valutazione"
description: "Definisci con precisione la curva dei Treasury USA, uniforma le convenzioni di quotazione, distingui tassi par, zero e forward, interpreta la dinamica senza eccessi causali e associa la curva corretta a strumenti e valutazioni."
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# Curva dei rendimenti: tassi par, zero e forward, forma e valutazione

> Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

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## Risposta diretta

Una **curva dei rendimenti** associa una specifica misura di rendimento o di sconto alla scadenza per un emittente, un insieme di strumenti, una valuta, una data, un orario, un lato del mercato e una convenzione di quotazione definiti. Non esiste un'unica curva universale dei Treasury USA. La serie nominale ufficiale Constant Maturity Treasury, o CMT, è una **curva dei rendimenti par**; una curva zero coupon associa scadenze a rendimenti spot o fattori di sconto; una curva forward deriva dai fattori di sconto; la curva reale dei Treasury si basa sui TIPS; le curve stimate di ricerca o dei premi a termine sono prodotti modellistici distinti.

Attualmente il Tesoro ricava la curva par nominale ufficiale da prezzi denaro indicativi, non da transazioni, dei Treasury bill, note e bond nominali collocati più di recente, osservati verso le 15:30, ora orientale, in ogni giornata di negoziazione. Converte gli input in rendimenti, ricava mediante bootstrap i tassi forward istantanei alle scadenze degli input e applica un'interpolazione monotona convessa nello spazio dei tassi forward. I punti CMT a scadenza fissa sono rendimenti par teorici letti da tale curva e possono non coincidere con il rendimento di alcun titolo acquistabile. Il Tesoro può cambiare gli input o la metodologia, non pubblica il programma completo di calcolo e applica un limite inferiore pari a zero ai CMT nominali derivati, anche quando alcuni titoli di input hanno rendimenti negativi.

Tassi par, zero e forward rispondono a domande diverse. Il rendimento par è il tasso cedolare che prezza alla pari un ipotetico titolo con cedola secondo una convenzione specificata. Un rendimento zero sconta un unico flusso di cassa a una determinata scadenza. Un tasso forward è il tasso privo di arbitraggio implicito tra date future nella curva di sconto odierna; non è una previsione pura. Uno spread come `spread10y−2y = y10y − y2y` descrive due punti selezionati, non l'intera curva, e il suo segno non identifica un'unica causa economica.

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## Procedura in sette passaggi per la curva

1. **Definire oggetto e decisione.** Indicare emittente, valuta, diritto nominale o reale, universo degli strumenti, oggetto par, zero o forward, denaro, lettera o valore medio, data, ora, fuso orario, frequenza, fonte, versione dei dati e uso previsto. Un segnale macroeconomico, un riferimento per un indice, una copertura e una curva di valutazione possono richiedere oggetti diversi.
2. **Uniformare strumenti e convenzioni di quotazione.** Distinguere i Treasury bill dalle note e bond con cedola, dai TIPS e dalle note a tasso variabile. Convertire coerentemente sconto bancario, rendimento d'investimento, rendimento equivalente obbligazionario, rendimento annuo effettivo, prezzo secco, rateo d'interesse e prezzo tel quel o di regolamento; fissare regolamento, frequenza cedolare, conteggio dei giorni e capitalizzazione prima di confrontare i tassi.
3. **Costruire i fattori di sconto.** Associare ogni titolo ai flussi di cassa datati, ricavare mediante bootstrap fattori di sconto o rendimenti zero dai prezzi osservati e documentare il trattamento di bill, date cedolari, riaperture, imposte, liquidità, valore speciale nel mercato repo e titoli esclusi. Scegliere consapevolmente interpolazione ed estrapolazione; i soli punti CMT pubblicati non costituiscono la curva di sconto interna completa del Tesoro.
4. **Derivare e validare le rappresentazioni della curva.** Da un'unica funzione di sconto, derivare curve zero, par e forward con convenzioni coerenti. Riprezzare ogni titolo di input e verificare residui, monotonicità dei fattori di sconto, oscillazioni implausibili dei tassi forward, comportamento ai margini e sensibilità ai nodi. Tenere distinta la curva CMT ufficiale del Tesoro dalle curve di ricerca della Federal Reserve e da quelle dei fornitori di mercato.
5. **Descrivere livello, pendenza, curvatura e movimento.** Registrare più scadenze, spread denominati con precisione, una misura di curvatura e variazioni sulle scadenze chiave. Classificare irripidimento o appiattimento rialzista o ribassista solo dopo aver indicato quali rendimenti si sono mossi e di quanto; un'unica etichetta può nascondere movimenti opposti in segmenti diversi.
6. **Separare l'aritmetica dall'attribuzione economica.** Scomporre un rendimento zero stimato, all'interno dello stesso modello e della stessa versione dei dati, tra tassi brevi futuri attesi e premio a termine stimato, invece di applicare meccanicamente tale identità a un CMT par. Nei confronti nominali e reali, separare tassi reali, inflazione attesa, premio per il rischio d'inflazione, liquidità, ritardo d'indicizzazione e floor dei TIPS, ed effetti del modello. Trattare probabilità di recessione e narrazioni causali come evidenze dipendenti dal modello, non come regole temporali deterministiche.
7. **Associare la curva al diritto finanziario e sottoporla a stress.** Scontare i flussi datati di un Treasury con rendimenti zero coerenti; per altri diritti aggiungere componenti di credito, liquidità, opzionalità, garanzia e servicing. Associare il debito societario a valuta, scadenza, tasso fisso o variabile, data di rifinanziamento e spread dell'emittente; associare le azioni a flussi e rendimenti richiesti coerenti con il diritto. Simulare shock paralleli, di irripidimento, appiattimento, curvatura e key rate invece di spostare meccanicamente ogni tasso di sconto con un singolo punto CMT.

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## Esempi svolti

- **Conversione della quotazione di un Treasury bill.** Un bill a 91 giorni ha valore nominale di `$100` e tasso di sconto bancario di `5.0000%`. Con la convenzione di sconto indicata su 360 giorni, `P = $100 × [1 − 5.0000% × 91 ÷ 360] = $98.736111`. Il rendimento d'investimento semplice sul prezzo e su base 365 giorni è `investment yield = ($100 − $98.736111) ÷ $98.736111 × 365 ÷ 91 = 5.134337%`. Se lo stesso rendimento del periodo di detenzione potesse essere reinvestito per un anno, il tasso annuo effettivo sarebbe `EAR = ($100 ÷ $98.736111)^(365 ÷ 91) − 1 = 5.234134%`. Sono tre convenzioni applicate allo stesso flusso ipotizzato, non tre risultati di mercato; i valori CMT sono pubblicati su base equivalente obbligazionaria, non come tasso di sconto bancario o EAR.
- **Bootstrap da par a zero e derivazione di un tasso forward.** Si ipotizzi una curva semestrale semplificata con rendimento par equivalente obbligazionario a sei mesi del `4.0000%`. Poiché esiste un solo flusso a scadenza, `DF₀.₅ = 1 ÷ (1 + 4.0000% ÷ 2) = 0.980392157`. Un rendimento par a un anno del `4.5000%` implica due cedole di `$2.25` ogni `$100` di nominale, quindi `DF₁ = [$100 − $2.25 × 0.980392157] ÷ $102.25 = 0.956421688` e `z₁ = 2 × [0.956421688^(−1 ÷ 2) − 1] = 4.505639%`. Il tasso a sei mesi con decorrenza tra sei mesi è pertanto `f₀.₅,₀.₅ = 2 × (0.980392157 ÷ 0.956421688 − 1) = 5.012531%`. La verifica `$2.25 × 0.980392157 + $102.25 × 0.956421688 = $100.000000` riprezza alla pari il titolo a un anno. Inserire direttamente rendimenti par in una formula forward mescolerebbe oggetti diversi.
- **La stessa disinversione prodotta da shock opposti.** Inizialmente il rendimento a due anni è `5.00%` e quello a dieci anni è `4.20%`, quindi `spread10y−2y = 4.20% − 5.00% = −80 bp`. In un irripidimento rialzista, il biennale scende di `120 bp` al `3.80%` e il decennale di `30 bp` al `3.90%`, producendo `3.90% − 3.80% = +10 bp`; la pendenza varia di `+90 bp`. In un irripidimento ribassista, il biennale resta al `5.00%` mentre il decennale sale di `90 bp` al `5.10%`, producendo anch'esso `5.10% − 5.00% = +10 bp` e la stessa variazione della pendenza di `+90 bp`. Il segno finale dello spread è identico, ma non lo sono il livello dei tassi, lo shock di duration, la narrazione sull'inflazione, la pressione finanziaria e il probabile contesto dei flussi di cassa.
- **Scontare ogni flusso con il rendimento zero corrispondente.** Una Treasury note a due anni ha valore nominale di `$100`, cedola annua del `4.0000%` e pagamenti semestrali. Si ipotizzino rendimenti zero equivalenti obbligazionari a sei, dodici, diciotto e ventiquattro mesi del `3.0000%`, `3.5000%`, `4.5000%` e `5.5000%`. Il valore coerente con la curva è `P = $2 ÷ (1 + 3.0000% ÷ 2)^1 + $2 ÷ (1 + 3.5000% ÷ 2)^2 + $2 ÷ (1 + 4.5000% ÷ 2)^3 + $102 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^4 = $97.283998`. Utilizzando invece il tasso a due anni per tutti i flussi si ottiene `Pflat = $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^1 + $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^2 + $2 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^3 + $102 ÷ (1 + 5.5000% ÷ 2)^4 = $97.195429`, con un errore di `$97.283998 − $97.195429 = $0.088569`. In genere l'errore aumenta con la forma della curva, la scadenza e i flussi intermedi.

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## Rischi e controlli di validazione

- Indicare emittente, valuta, diritto nominale o reale, tipo di curva, scadenze, lato del mercato, fonte, data, ora, fuso orario, frequenza e versione dei dati.
- Trattare un punto CMT come rendimento par teorico interpolato, non automaticamente come rendimento o prezzo eseguibile di un titolo.
- Distinguere la curva par ufficiale monotona convessa del Tesoro dalle medie H.15, dalle curve di ricerca della Federal Reserve, da quelle dei fornitori e dai modelli stimati del premio a termine.
- Convertire tassi di sconto bancario dei bill, rendimenti d'investimento, rendimenti equivalenti obbligazionari e rendimenti annui effettivi prima del confronto.
- Riconciliare prezzo secco, rateo d'interesse, prezzo tel quel o di regolamento, data di regolamento, calendario cedolare, conteggio dei giorni e capitalizzazione.
- Non sostituire rendimenti par con rendimenti zero né usare gli uni o gli altri come tassi forward senza una derivazione coerente dalla funzione di sconto.
- Documentare ordine del bootstrap, strumenti inclusi, date dei nodi, interpolazione, estrapolazione, arrotondamento e trattamento di osservazioni mancanti o anomale.
- Considerare il floor zero del Tesoro sui CMT nominali derivati quando si studiano periodi di tassi bassi o negativi.
- Fissare versione dei dati e metodologia; valori storici o parametri stimati possono cambiare dopo revisioni dei dati o del metodo.
- Indicare entrambi gli estremi e l'ordine di sottrazione per ogni spread; dieci anni meno due anni e dieci anni meno tre mesi sono serie diverse.
- Monitorare livelli assoluti, più pendenze, curvatura e variazioni sulle scadenze chiave; un solo spread non rappresenta l'intera curva.
- Usare le etichette rialzista o ribassista e irripidimento o appiattimento solo dopo aver calcolato le variazioni dei rendimenti sottostanti.
- Trattare un tasso forward implicito come livello di pareggio privo di arbitraggio condizionato dalla curva, non come previsione non distorta o tasso futuro garantito.
- Trattare le componenti dei tassi brevi attesi e del premio a termine come stime soggette a incertezza di parametri, campione, versione dei dati e specificazione.
- Rendere coerenti le curve nominali e reali prima di calcolare l'inflazione di pareggio e conservare gli scarti dovuti a rischio d'inflazione, liquidità, ritardo d'indicizzazione, floor e fattori tecnici.
- Predefinire spread di recessione, campionamento, orizzonte, definizione di recessione, soglia, versione dei dati e regola decisionale prima di testare la capacità predittiva.
- Per le banche, riconciliare rendimenti degli attivi fruttiferi, volumi e costi di raccolta, beta dei depositi, gap di riprezzamento, coperture, liquidità e perdite su crediti anziché usare un solo spread Treasury.
- Per il debito societario, associare ogni scadenza, valuta, tasso fisso o variabile, data di rifinanziamento, covenant, garanzia, spread creditizio e opzione incorporata.
- Per le azioni, separare le revisioni dei flussi di cassa da quelle dei tassi di sconto e usare un rendimento richiesto coerente con diritto, valuta, inflazione e orizzonte.
- Per futures, swap, mutui, ETF e opzioni, incorporare consegna contrattuale, garanzia, basis, roll, convessità, rimborso anticipato, tracking e volatilità anziché trattare il CMT come rendimento del prodotto.

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## Idee errate comuni

- **«La curva dei rendimenti dei Treasury USA è un unico insieme di dati inequivocabile.»** CMT par nominale, par reale, bill, zero, forward, curve stimate di ricerca e dei premi a termine sono oggetti diversi.
- **«Un CMT pubblicato è il rendimento di un Treasury che posso acquistare.»** Può essere un rendimento par teorico interpolato da quotazioni denaro indicative.
- **«Tassi par, zero e forward alla stessa scadenza sono intercambiabili.»** Struttura cedolare e sconto li rendono diversi anche all'interno di una curva coerente.
- **«Un tasso forward implicito o uno spread invertito è una previsione deterministica.»** I tassi forward contengono premi per il rischio e le relazioni storiche con le recessioni sono evidenze condizionate dal modello, non garanzie né orologi.
- **«Un irripidimento è sempre rialzista o favorisce sempre le banche.»** Può derivare dal calo dei tassi brevi o dall'aumento dei lunghi, mentre struttura della raccolta, coperture, credito, liquidità e attese sui flussi possono prevalere.

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## Fonti autorevoli

- [Daily Treasury Par Yield Curve Rates](https://home.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/TextView?type=daily_treasury_yield_curve) - U.S. Department of the Treasury
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - U.S. Department of the Treasury
- [Interest Rates - Frequently Asked Questions](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/interest-rates-frequently-asked-questions) - U.S. Department of the Treasury
- [H.15 Selected Interest Rates](https://www.federalreserve.gov/releases/h15/) - Board of Governors of the Federal Reserve System
- [The Yield Curve as a Leading Indicator](https://www.newyorkfed.org/research/capital_markets/ycfaq.html) - Federal Reserve Bank of New York
- [Treasury Term Premia](https://www.newyorkfed.org/research/data_indicators/term-premia-tabs) - Federal Reserve Bank of New York
- [Daily Treasury Par Real Yield Curve Rates](https://home.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/TextView?type=daily_treasury_real_yield_curve) - U.S. Department of the Treasury
- [10-Year Breakeven Inflation Rate](https://fred.stlouisfed.org/series/T10YIE) - Federal Reserve Bank of St. Louis

Source: https://wiki.fcontext.com/it/stocks/yield-curve/index.mdx