# 二項オプション評価：複製、リスク中立評価、早期行使

二項ツリーを構築し、リスク中立確率と複製ポートフォリオを導き、アメリカン型の早期行使を評価します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/binomial-option-pricing/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接的な答え

**二項オプション評価モデル**は時間を複数ステップに分け、各ステップで原資産が上または下の値に動くと仮定します。最終ノードのペイオフを計算し、現在まで後ろ向きに評価します。複製と早期行使の判断を明示できる点が特徴です。

価格が実際に二方向だけ動くという予測ではありません。ステップ増加は近似を細かくしますが、誤ったボラティリティ、配当、金利、行使・決済条件は直せません。

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## リスク中立の後ろ向き帰納

上昇・下落倍率を `u`、`d`、一期間の無リスク成長係数を `R` とします。`d < R < u` なら：

`p = (R − d) / (u − d)`

欧州型のノード価値 `V_u`、`V_d` から現在価値は：

`V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R`

`p` は価格評価の重みで、実際または予測上昇確率ではありません。`R` が `(d, u)` の外なら単純モデルの無裁定条件を満たしません。

各アメリカン型ノードでは：

`V = max(本源的価値, 継続価値の割引期待値)`

離散配当、変動金利、ボラティリティ期間構造、複数行使日はツリーを調整して扱えます。経路依存契約は追加状態を必要とし、規模が急増します。

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## 1期間コールの例

株価 `$100` が一期後に `$120` または `$80`、権利行使価格 `$100`、無リスク成長係数 `1.05` とします。満期ペイオフは `$20` または `$0` です。

`p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625`

`C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90`

複製でも同じです。ヘッジ比率は `(20 − 0) / (120 − 80) = 0.5` 株。現在約 `$38.10` を借りると一期後は `$40` となり、ポートフォリオは上昇時 `$20`、下落時 `$0` を支払います。初期費用は `$50 − $38.10 = $11.90` です。

配当、取引費用、スプレッド、税、離散ヘッジは除外しているため、モデル値は約定保証価格ではありません。

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## モデル確認事項

- 行使方式、満期、決済、乗数、企業行動条件を一致させる。
- 金利、配当、ボラティリティを同じ期間と複利基準に変換する。
- `d < R < u` と最終ペイオフの実装を確認する。
- ステップを増やして収束を確認する。行使価格付近では振動し得る。
- 複数のパラメータ化を比較する。
- 米国型では行使が継続を上回るノードと配当仮定を調べる。
- 市場境界と独立手法で照合し、違反は先に原因を調べる。
- 約定スプレッド、費用、ヘッジ頻度、流動性を取引判断に加える。

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## よくある誤解

- 「リスク中立確率は株価上昇確率。」無裁定評価の重みです。
- 「ステップを増やせば必ず正確。」入力やモデルの誤りは直せません。
- 「ツリーは各経路を予測する。」モデル状態間で条件付きキャッシュフローを評価します。
- 「米国型は常に大幅に高い。」早期行使プレミアムはゼロの場合があります。
- 「モデル値は市場中値と同じ。」需給、スプレッド、スキュー、慣行が異なります。
- 「実務の複製は無コスト。」スプレッド、費用、資金、ギャップリスクがあります。

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## 関連トピック

- [アメリカン型とヨーロピアン型](/ja/options/american-and-european/)
- [本源的価値と時間価値](/ja/options/intrinsic-and-time-value/)
- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)

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## 権威ある情報源

- [簡略化されたオプション評価法](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Cox、Ross、Rubinstein
- [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC
- [オプション計算機](https://www.cboe.com/optionsinstitute/tools/options_calculator/) - Cboe Options Institute