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title: "二項オプション価格モデル：複製、キャリー、早期行使、収束"
description: "再結合型オプションツリーを構築・検証し、キャリーと割引を分離し、ノード価値を複製ポートフォリオで確認して、早期行使、収束、執行価格の境界を管理します。"
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# 二項オプション価格モデル：複製、キャリー、早期行使、収束

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資により損失が生じる可能性があります。

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## 直接的な回答

二項モデルは、原資産価格が実際に2通りにしか動かないと予測するのではなく、離散的な状態格子上でオプションを評価します。各ノードで上昇係数 `u` または下落係数 `d` を適用し、満期の契約キャッシュフローを計算して現在へ後ろ向きに評価します。1つのリスク要因からなる完備市場の仮定では、同じノード価値を株式と現金の局所的な複製ポートフォリオで検証できます。

長さ `Delta t` の1期間について、資金調達の成長係数 `B = exp(r Delta t)` と原資産のキャリー成長係数 `G = exp((r - q) Delta t)` を分けます。`q` が連続比例利回りなら、無裁定の価格付けウェイトは

`p = (G - d) / (u - d)` であり、`d < G < u` が必要です。

ヨーロピアン型の継続価値は `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B` です。保有者が行使できるノードでは、アメリカン型またはバミューダ型の価値は `V = max(H,C)` となり、`H` は即時行使価値、`C` は継続価値です。この枠組みが出すのは原資産1単位当たりのモデル価値であり、契約乗数、数量、公式決済値、執行可能なBid/Ask、手数料、証拠金、信用は別に扱います。

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## 仕組み

1. **権利と時計を固定します。** 正確な原資産とオプションシリーズ、コールまたはプット、行使価格、評価時刻、満期と日数計算、行使日と行使方式、公式決済、乗数、受渡物、通貨、配当、借株、調整条件、出力単位を記録します。
2. **格子を選び、記録します。** `N`、`Delta t = T / N`、パラメータ化を設定します。一般的なCRR設定は `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` と `d = 1 / u` です。別のツリーは異なるモーメントを合わせ、異なる収束特性を示し得ます。
3. **キャリーと割引を分離します。** モデルと整合するゼロ金利から `B = exp(r Delta t)`、連続キャリーから `G = exp((r - q) Delta t)` を作り、`p = (G - d) / (u - d)` を計算します。既知の現金配当は配当落ちノードで明示的に扱う必要があり、単純な再結合を壊す場合があります。
4. **状態と満期請求権を作ります。** 係数が一定の再結合ツリーでは `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)` です。契約のコール、プット、現金、現物、調整後受渡物、バリア、平均その他の満期規則を公式状態変数に適用します。経路依存商品には追加の状態が必要です。
5. **後ろ向きに評価し、行使を判定します。** 各ノードでリスク中立な子ノード価値を割り引きます。ヨーロピアン型は継続価値、アメリカン型は許可された各時点で `H` と `C` を比較し、バミューダ型は契約上の行使日のみで比較して通知・決済時刻を守ります。
6. **複製と数値を検証します。** 各1期間ノードで `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` と現金ポジション `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]` を計算します。状態別ペイオフ、価格境界、プット・コール・パリティ、ステップ倍増、奇偶振動、別ツリー、独立実装、行使境界を確認します。
7. **モデル出力を口座へ対応させます。** 金利曲線、配当、借株、行使価格・満期別ボラティリティ・サーフェスを較正し、実際の乗数と数量で1単位当たり価値を換算し、執行可能なbidとaskを比較します。利用前に離散ヘッジ、ギャップ、費用、流動性、証拠金、割当、決済、税務、モデル版をストレステストします。

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## 計算例

- **1期間の複製。** `S0 = $100`、`u = 1.20`、`d = 0.80`、`B = G = 1.05`、ヨーロピアン・コールの `K = $100` とします。すると `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`、満期ペイオフは `$20/$0`、`C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762` です。複製では `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50`、`b = -$38.095238` となります。上昇状態では `$60 - $40 = $20`、下落状態では `$40 - $40 = $0` を払い、当初費用は `$50 - $38.095238 = $11.904762` です。
- **アメリカン・プットと早期行使。** 2期間ツリーで `S0 = $100`、`K = $100`、`u = 1.20`、`d = 0.80`、`B = G = 1.05` とし、`p = 0.625` です。株価 `$144/$96/$64` での満期プット・ペイオフは `$0/$4/$36`。最初の上昇ノードの継続価値は `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571` で、本源的価値 `$0` より高い値です。下落ノードの継続価値は `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095` で、即時行使 `$20` より低いため行使します。アメリカン価値は `$7.993197`、ヨーロピアン価値は `$6.292517`、離散的早期行使プレミアムは `$1.700680` です。
- **キャリーと非単調収束。** `S0 = $100`、`K = $100`、`T = 1`、連続複利 `r = 5%`、連続利回り `q = 2%`、年率 `sigma = 20%` とします。CRRのヨーロピアン・コールは1ステップで `$11.073541`、2ステップで `$8.342293`、3ステップで `$9.855621`、4ステップで `$8.760327`、`64` ステップで `$9.196691` となり、整合するBlack-Scholes-Merton価値 `$9.227006` に近づきます。ステップ増加はこのモデル内の極限近似を改善しますが、単調とは限らず、誤ったキャッシュフロー入力は直せません。
- **モデル価値と執行可能な口座金額。** 最初の例の1株当たりモデル価値 `$11.904762` を用い、執行可能市場が `$11.60 bid / $12.20 ask` とします。`M = 100`、`Q = 1` の標準契約を1枚買う費用は `$12.20 x 100 = $1,220`、モデル金額は `$11.904762 x 100 = $1,190.4762` で、手数料前の差は `$29.5238` です。直ちにbidで売れば `$11.60 x 100 = $1,160` を受け取り、往復損失は `$60`。モデルの `Delta = 0.50` はこの乗数なら `50` 株に相当しますが、離散的リヘッジ、ギャップ、借株、執行により複製結果は保証されません。

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## モデルとライフサイクルのチェックリスト

- 原資産、オプション・ルート、コールまたはプット、行使価格、満期、行使方式、決済、乗数、通貨、受渡物を正確に一致させます。
- 評価時刻、カレンダー、タイムゾーン、年換算期間、ステップ数、ノード日付、営業日処理を固定します。
- ツリーのパラメータ化と、そのモーメント、キャリー、スキューその他の較正目標が対象モデルに合うかを明記します。
- 配当、外国金利、コンビニエンス・イールド、借株費用が重要なら、割引用 `B` と原資産キャリー用 `G` を分離します。
- `d < G < u` を要求します。`p` が `[0,1]` 外なら無裁定設定の失敗であり、予測確率ではありません。
- 連続利回り `q` と、既知の離散・特別・不確実・経路依存の分配を分けます。
- 公式決済、現金または現物受渡し、調整契約、コーポレートアクションに対して満期ペイオフを確認します。
- バリア、平均、ルックバック、複数資産、確率的ボラティリティ、金利、信用その他の経路依存には十分な状態を追加します。
- 契約上の権利者だけに、有効な通知期限前の許可された日に早期行使を適用します。
- アメリカン、バミューダ、ヨーロピアンの行使機会集合を、現金・現物・先物決済と区別します。
- `H` が `C` を上回る全ノードを記録し、配当、金利、借株、数値設定への行使境界の感応度を確認します。
- 市場仮定が完備性を意味する場合にノード複製と状態ペイオフを検証し、実務で無費用の連続ヘッジを仮定しません。
- 価格を信頼する前に無裁定境界、パリティ、単調性、凸性、極限ケースを確認します。
- 複数のステップ数、奇数・偶数系列、倍増、別パラメータ化、独立実装を比較します。
- 振動、安定した表示桁、関連コード経路の一致を正確性の証明とみなしません。
- 関連する完全なボラティリティ・サーフェスと金利曲線を較正します。単一の過去ボラティリティやATM気配は普遍的ではありません。
- モデル価値、理論ミッド、取引所マーク、公式決済、執行可能bid、執行可能ask、清算価格を分離します。
- 1単位当たり出力を実際の乗数と数量で換算します。調整・非標準契約は `100` とは限りません。
- bid-ask、部分約定、離散ヘッジ時刻、ジャンプ、取引停止、流動性、資金、借株、証拠金、割当、ブローカー清算をストレステストします。
- 入力、市場データ源、コーポレートアクションと配当の版、コードとソルバーの版、収束証拠、承認、費用、税務、最終口座照合を保存します。

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## よくある誤解

- **「リスク中立確率は次の値動きを予測する。」** `p` は指定された取引可能資産と無裁定仮定の下でモデルと整合する価格付けウェイトであり、現実確率の予測ではありません。
- **「無リスク成長係数は常に両方の式に入る。」** 割引には `B`、原資産の価格付けウェイトにはキャリー係数 `G` を使い、簡略化したゼロ利回り設定でのみ一致します。
- **「ステップを増やせば正しい価格が保証される。」** 細分化は1つのモデルの離散化だけを改善し、収束は振動し得ます。誤った配当、ボラティリティ、決済、行使条件は直せません。
- **「アメリカン価値はヨーロピアン価値に固定プレミアムを足したもの。」** 早期行使価値は状態、日付、金利、配当、借株、モデルに依存し、ゼロの場合もあります。
- **「複製により画面価格は無リスクになる。」** 証明はモデルの完備性と摩擦なし取引を仮定します。執行可能スプレッド、離散ヘッジ、ギャップ、資金、証拠金、税務、決済は残ります。

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## 関連トピック

- [アメリカン型とヨーロピアン型オプション](/ja/options/american-and-european/)
- [Black-Scholesモデル](/ja/options/black-scholes-model/)
- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)

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## 権威ある情報源

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier。同論文の仮定下でCRRの離散複製とリスク中立枠組みを確立しますが、現在の市場入力や執行価格を示しません。
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley。2状態の価格付けを展開しますが、現実価格が2結果だけを取る、または全ての不完備市場に一意価格があるとは示しません。
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis。対象モデルの振動、パラメータ化、収束比較を支えますが、全ペイオフへの普遍的誤差境界ではありません。
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier。分析対象ツリーのアメリカン・プット収束と加速法の注意点を支えますが、全行使商品や市場価格を対象としません。
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press。指定仮定下のアメリカン・オプション境界と数値比較を支えますが、ブローカー行使方針や精度保証ではありません。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation。標準化オプションの権利、行使、割当、決済、調整、リスクを扱いますが、二項較正や戦略推奨ではありません。
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation。特定DeltaサービスでOCC独自のCRR変形を使うことを示しますが、本稿の実装や普遍的市場価格ではありません。
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets。現在の教育用理論価格・ギリシャ指標ツールを提供しますが、執行可能気配、独立検証、個別契約との仮定一致保証ではありません。

Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/binomial-option-pricing/index.mdx