# ブラック・ショールズモデル：公式、仮定、インプライド・ボラティリティ
Black-Scholes-Merton 公式と数値例を検証し、モデルの仮定と市場での限界を理解します。
正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/black-scholes-model/
事実確認日: 2026-07-22
> 教育目的のみであり、投資助言ではありません
## 直接的な答え
**Black-Scholes-Merton モデル**は特定の仮定の下で欧州型オプションの無裁定価値基準を示します。入力は原資産価格 `S`、権利行使価格 `K`、残存期間 `T`、連続複利無リスク金利 `r`、連続配当利回り `q`、ボラティリティ `σ` です。
`C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)`
`P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)`
ここで `d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)`、`d₂ = d₁ − σ√T`、`N(x)` は標準正規累積分布関数です。
## モデルの仕組み
動的複製と無裁定を組み合わせます。理想的な連続取引では、原資産と無リスク借入・貸付で局所的にヘッジでき、原資産期待収益率を方程式から除いてリスク中立ペイオフの割引期待値を得ます。
標準仮定は対数正規価格、一定のボラティリティと金利、連続取引、ジャンプと取引費用なし、必要な取引・借入能力です。上式は連続配当利回りと欧州型行使を用います。離散配当と米国型行使は調整または数値手法が必要です。
実務では市場価格から `σ` を逆算します。この**インプライド・ボラティリティ**は選択モデルと価格を整合させる入力です。権利行使価格と満期ごとに異なり、一つの定数ではなく曲面になります。
## 1年物ATMの例
`S = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5%`、`q = 0%`、`σ = 20%` とします。
`d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35`
`d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15`
`N(0.35) ≈ 0.6368`、`N(0.15) ≈ 0.5596` より、コールは約 `$10.45`、プットは約 `$5.57` です。
プット・コール・パリティで検算します。
`C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88`
`$10.45 − $5.57 = $4.88`。丸めによる微差はあり得ます。これはモデル出力であり約定価格ではありません。
## 利用時の確認事項
- 欧州型・米国型、現金・現物決済を確認する。
- 暦、年率、複利、配当、金利の規約を統一する。
- 既知の離散配当と連続利回り近似を分ける。
- IV逆算には約定可能価格を使い、広いスプレッドはIV範囲として扱う。
- ATM値を全行使価格に使わず、スマイルや曲面全体を見る。
- ジャンプ、イベント、スキュー変化、流動性、離散ヘッジ誤差を検証する。
- 本源的価値、上限、パリティ、独立モデルで照合する。
- Greeksは価格、時間、ボラティリティで変わる局所感応度と考える。
## よくある誤解
- 「満期株価を予測する。」仮定下で条件付きペイオフを評価します。
- 「IVは直接予測。」市場価格とモデルを整合させる入力です。
- 「一つのボラティリティで全契約を評価できる。」市場にはスキューがあります。
- 「デルタヘッジで全リスクが消える。」ジャンプ、費用、離散取引、変動性変化が残ります。
- 「米国型も正しく評価する。」早期行使には通常別の手法が必要です。
- 「精密な出力は正確な価格。」入力、モデル、執行誤差は残ります。
## 関連トピック
- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [二項オプション評価](/ja/options/binomial-option-pricing/)
- [アメリカン型とヨーロピアン型](/ja/options/american-and-european/)
## 権威ある情報源
- [オプションと企業債務の価格評価](https://doi.org/10.1086/260062) - Fischer Black and Myron Scholes
- [合理的オプション評価の理論](https://doi.org/10.2307/3003143) - Robert C. Merton
- [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC