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title: "Black-Scholes-Mertonモデル：契約、入力、インプライド・ボラティリティ、Greeks"
description: "オプション請求権、評価時系列、割引、配当、ボラティリティ気配、決済条件、Greek単位を一致させてBlack-Scholes-Mertonモデルを適用します。"
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# Black-Scholes-Mertonモデル：契約、入力、インプライド・ボラティリティ、Greeks
> 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。
## 端的な答え
**Black-Scholes-Mertonモデル**は無裁定評価枠組みで、法的気配でも原資産予測でもありません。閉形式は所定の拡散、資金調達、配当、取引、市場完備性の下で単純なヨーロピアンを評価します。実際のシリーズ、行使権、受渡物、乗数、公式決済値、通貨を先に特定します。同じ行使価格・満期でも、アメリカン現物決済株式オプションとヨーロピアン現金決済指数オプションは別請求権です。
現物 `S₀`、行使価格 `K`、年数 `T`、連続複利ゼロ金利 `r`、連続比例配当利回り `q`、年率ボラティリティ `σ` の場合、CallとPutは `C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)` と `P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)`、`d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)`、`d₂ = d₁ − σ√T` です。`N(x)` は標準正規累積分布関数で、パリティは `C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)` です。
**インプライド・ボラティリティ**は選択モデルが選択価格を再現する `σ` です。契約、時刻、原資産、曲線、配当、気配側、数値法、モデルに依存します。価格、IV、Greekはいずれも約定価格、現実確率、ヘッジ保証ではありません。
## 7段階の契約・データ・評価・管理プロセス
1. **式の前に請求権を分類する。** 発行体・清算請求権、原資産、種類、行使価格、満期、最終取引、行使方式、公式決済、現金・現物、乗数、受渡物、通貨、調整を記録します。早期行使、障害、調整・経路依存は対応モデルが必要です。
2. **評価時刻と単位を固定する。** 評価時点 `t₀`、満期・決済時点、時間帯、営業日暦、年換算 `T` を設定し、最終取引、行使期限、決済決定を分けます。プレミアムとGreeksの単位を明示します。
3. **同期市場入力を作る。** 同時点の現物・先渡、行使価格、割引因子 `D(0,T)`、配当、借株・資金調達、Bid/Ask/数量を使います。Treasury CMTはパー利回りで、連続複利ゼロ金利 `r` ではありません。一貫した割引曲線を作ります。
4. **境界とパリティを確認する。** `max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT)` と `max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT)` を検証します。同一条件だけを比較し、既知現金配当は割引キャッシュフローで橋渡しします。
5. **モデルを明示して実行する。** BSMは連続拡散、一定ボラ・金利、無摩擦連続取引、ジャンプなし、十分な借貸・空売り・複製を仮定します。ツリー等は早期行使・離散事象を、他モデルは別リスクを表しますが追加較正が必要です。
6. **価格からIVを慎重に逆算する。** 無裁定範囲外を調査し、Bid・中値・Askを記録済み求根法で別々に解きます。オプション価値は `σ` とともに上昇するため、内部の有限ヨーロピアンIVは通常一意ですが、境界ではゼロ・無限・有限解なしとなり得ます。サーフェスの陳腐化・裁定も検証します。
7. **局所リスクを報告し市場と照合する。** Delta、Gamma、Vega、Theta、Rhoの符号・単位・時間約定を示し、気配とモデル版を保存します。ジャンプ、配当、スキュー、期間構造、借株、離散ヘッジ、費用、流動性を検証し、理論値、約定可能価格、決済、実現現金を分けます。
## 計算例
- **閉形式評価とパリティ。** `S₀ = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5.00%`、`q = 2.00%`、`σ = 20.00%` とすると、`d₁ = 0.250000`、`d₂ = 0.050000`、`N(d₁) = 0.598706326`、`N(d₂) = 0.519938806` です。`C = $9.227006`、`P = $6.330081`、`C − P = $2.896925` は `$100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925` と一致します。乗数・費用前の単位値です。
- **Greeksには単位が必要。** Call Deltaは `0.586851`、Put Deltaは `−0.393348`、Gammaは `0.018951 delta per $1 underlying move`。Vegaは `37.901158 per 1.00 volatility`、すなわち `$0.379012 per 1 volatility point`。Call Thetaは `−$5.089319 per year`、単純表示では1日当たり `−$0.013943 per calendar day`（`÷ 365`）です。Call Rhoは `49.458109 per 1.00 decimal rate`、すなわち `$0.494581 per 100 bp` です。契約乗数・数量も掛けます。
- **市場価格からIVレンジ。** `S₀ = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5.00%`、`q = 2.00%` を維持します。Call価格 `$11.123762` は `σ = 25.00%`、`d₁ = 0.245000`、`d₂ = −0.005000` を示します。`20.00%` と `30.00%` の値は `$9.227006` と `$13.020281`。気配 `$10.90 bid / $11.35 ask` の逆算は `24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV` です。
- **既知離散配当とパリティ。** `S₀ = $100`、`K = $95`、`T = 0.5`、連続複利 `r = 4.00%`、既知配当 `$2`、その支払時点を `t = 0.25` とします。`PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100`、`PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874`、`C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026`。`C = $8.20` なら `P = $3.298974`。未説明の連続 `q` やアメリカンへの等式適用は請求権を変えます。
## リスクと検証項目
- シリーズ、法的請求権、商品仕様を確認します。
- アメリカン、ヨーロピアン等の行使権を確認します。
- 現金、現物、調整後バスケット、乗数、通貨を区別します。
- 公式決済源、時刻、丸め、更正、混乱規則を固定します。
- 現物、オプション、金利、配当、借株を同期します。
- `T` で最終取引、満期、行使期限、決済日を区別します。
- 暦、日数、年率化、複利約定を一致させます。
- Treasuryパー利回りをゼロ金利に機械変換しません。
- 既知配当を日付別に扱い、連続 `q` の限界を認識します。
- 借株、資金、担保、空売り制約を含めます。
- 真に一致した請求権・同期入力だけで境界とパリティを検証します。
- 古い、クロス、ロック、片側、数量不足の気配を警告とします。
- スプレッドが大きければBid/Ask IVを報告します。
- 求根失敗、境界解、許容誤差、上限を検証します。
- サーフェスのカレンダー、垂直、蝶裁定を検証します。
- ジャンプ、決算、分配、停止、ギャップをストレステストします。
- 確率ボラ、スキュー、各入力相関を検証します。
- 離散リバランス、遅延、インパクト、費用を定量化します。
- 各Greekの符号・尺度・時間を表示し過度に外挿しません。
- モデル値、約定価格、会計・税務、決済、実現損益を分けます。
## よくある誤解
- **「Black-Scholesは法的・約定可能価格」。** 契約が請求権、市場が取引を決め、モデルは条件付き基準です。
- **「`N(d₂)`は現実の満期ITM確率」。** 所定のニュメレール・仮定下のリスク中立量で、現実予測ではありません。
- **「IVは直接観測され実現ボラを予測する」。** 選択モデルで価格から逆算され、リスクプレミアムや誤差を含み得ます。
- **「1つのボラとGreeksが全行使価格・満期に適合」。** 市場はサーフェスを持ち、感応度は変化します。
- **「連続Deltaヘッジは全リスクを消す」。** ジャンプ、離散取引、流動性、費用、早期行使、配当・モデル誤差が残ります。
## 関連トピック
- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [二項オプション価格評価](/ja/options/binomial-option-pricing/)
- [アメリカン型とヨーロピアン型](/ja/options/american-and-european/)
## 権威ある情報源
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - Black-Scholesの原論文。
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - Mertonの無裁定理論。
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - CRR離散時間モデル。
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - 固定 `σ` を超える確率ボラモデル。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 標準化オプションの権利・リスク資料。
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - 行使、決済、乗数、時系列の商品仕様。
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - Treasuryパー曲線の構築説明。
- [Search Filings](https://www.sec.gov/search-filings) - 発行体申請・価格補足の検索入口。
Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/black-scholes-model/index.mdx