# Breeden-Litzenberger公式：オプションからリスク中立密度を抽出する

欧州型コールからリスク中立テール確率と密度を導き、有限差分と裁定・データノイズの注意点を解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/breeden-litzenberger-formula/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接的な答え

**Breeden-Litzenberger関係**は同一満期、複数行使価格の欧州型コールから状態価格情報を復元します。`C(K,T)` が滑らかな無裁定価格関数、連続複利金利が `r` なら：

`−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)`

`∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)`

したがって `f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²` です。`f_Q` はリスク中立満期価格密度で、現実の直接予測ではありません。

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## 行使価格の曲率が密度になる理由

コールの満期ペイオフは `max(S_T − K, 0)` です。`K` を上げると満期価格が行使価格を超える状態のペイオフを薄く削るため、負の一階微分は割引デジタル価格またはテール確率に対応します。さらに微分すると局所密度になります。

無裁定コール価格は行使価格に対して非増加かつ凸、つまり `∂²C/∂K² ≥ 0` です。負の二階微分は負の状態価格で、入力不整合または理想的執行下のバタフライ裁定を示します。

市場の行使価格は離散的なので、無裁定制約付き曲線を当てはめ、等間隔 `ΔK` では：

`∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²`

分子は狭いコール・バタフライ価格で、ペイオフが中央行使価格付近に集中するため密度近似になります。

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## 3行使価格の有限差分

同一満期の同期コール価格を次とします。

| 行使価格 | コール価格 |
| ---: | ---: |
| `$95` | `$8.20` |
| `$100` | `$5.00` |
| `$105` | `$2.80` |

`ΔK = $5` なら `$100` 付近の曲率は：

`[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 1ドル当たり0.04`

割引を無視すれば局所リスク中立密度は約`1ドル当たり0.04`、金利があれば `e^(rT)` を掛けます。これはちょうど `$100` になる確率ではなく、確率は価格区間で積分します。

中央価格が `$5.60` なら分子は負です。負確率と解釈せず、古い気配、Bid/Ask不整合、米国型行使、裁定違反の当てはめを調べます。

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## 抽出チェック

- 一つの満期で同期した約定可能な欧州型気配を使う。
- 割引、先渡し、配当、決済、行使条件を統一する。
- 流動的なOTM気配を優先し、パリティ変換を慎重に行う。
- エラーを除き、単調性と凸性制約で価格を当てはめる。
- 当てはめた曲線を微分する。生の二階差分は誤差を増幅する。
- Bid、Mid、Askと複数平滑法で繰り返す。
- 密度の非負性、積分約1、平均と先渡しの整合を確認する。
- 行使価格が疎なテールは観測でなくモデル外挿とみなす。

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## よくある誤解

- 「リスク中立確率は客観予測。」状態価格とリスク選好を含みます。
- 「密度0.04はちょうど$100の確率4%。」区間積分が必要です。
- 「生の中値を微分すればよい。」二階微分はノイズを増幅します。
- 「滑らかな図なら正確。」平滑化がテール形状を作り得ます。
- 「負密度をゼロに切ればよい。」裁定を隠し価格整合性を壊します。
- 「米国型株式にもそのまま使える。」早期行使と離散配当が関係を崩します。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [ブラック・ショールズモデル](/ja/options/black-scholes-model/)
- [オプションチェーン](/ja/options/options-chain/)

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## 権威ある情報源

- [オプション価格に内包された状態条件付き請求権価格](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden and Robert H. Litzenberger
- [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC
- [SPXオプション商品仕様](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe